1. Cinemática

Introdução

Final de uma corrida de 100 metros.

A cinemática é a análise do movimento sem consideração das suas causas. No caso das corredoras na fotografia, o movimento dos braços e pernas é oscilante, enquanto que o movimento da cabeça é mais aproximadamente uniforme e, por isso, mais fácil de descrever; basta contabilizar o deslocamento horizontal da cabeça, em função do tempo. Para descrever o movimento das pernas, para além de considerar o deslocamento horizontal, é necessário considerar a variação de algum ângulo em função do tempo.

1.1. Movimento dos corpos rígidos

Um objeto encontra-se em movimento se a sua posição for diferente em diferentes instantes; se a posição permanece constante, o objeto está em repouso. Para medir a posição do objeto, é necessário usar um referencial; nomeadamente, outros objetos usados como referencia. Se a posição do corpo em estudo varia em relação ao referencial, o corpo está em movimento em relação a esse referencial. Assim, o movimento é um conceito relativo, já que um objeto pode estar em repouso em relação a um dado referencial, mas em movimento em relação a um outro referencial.

O movimento mais simples de um corpo rígido, de translação sem rotação, é quando todos os pontos do corpo seguem trajetórias idênticas (ver figura 1.1). Assim sendo, basta estudar o movimento de um único ponto para conhecer o movimento do corpo rígido.

Possíveis movimentos num plano
Figura 1.1: Movimentos de translação, rotação em torno de um eixo e sobreposição dos dois.

No movimento de rotação em torno de um eixo, todos os pontos num eixo permanecem em repouso e os outros pontos deslocam-se. Na segunda parte na figura 1.1, o martelo rodou em torno de um eixo perpendicular à página. Nesse tipo de movimento as trajetórias de pontos diferentes já não são idênticas mas todas elas são arcos de círculo, com o mesmo ângulo, que só diferem no valor do raio. Basta saber como varia o ângulo de rotação para descrever o movimento de qualquer ponto no corpo.

Um movimento mais complicado é a sobreposição de translação e rotação em torno de um eixo (terceira parte na figura 1.1). Nesse caso, as trajetórias do diferentes pontos do corpo são curvas diferentes. No entanto, esse movimento mais complicado pode ser descrito apenas com a trajetória de um ponto qualquer do corpo e a variação do ângulo de rotação de uma reta qualquer no corpo; com efeito, o ângulo de rotação é o mesmo para qualquer segmento no corpo rígido e após fixar a posição do ponto num instante e o ângulo de rotação, consegue dizer onde estarão todos os outros pontos do corpo nesse instante.

Existe também outro tipo de rotação mais geral, rotação à volta de um ponto, em que um único ponto permanece em repouso. Nesse caso as trajetórias dos diferentes pontos são curvas na superfície de uma esfera com centro no ponto em repouso. A forma mais conveniente de descrever esse tipo de movimento consiste em determinar a variação de três ângulos. O caso mais geral do movimento de um corpo rígido consiste na sobreposição de translação e rotação à volta de um ponto. Nesse caso será necessário conhecer a trajetória de um ponto do corpo e a variação de três ângulos.

1.2. Movimento e graus de liberdade

Os graus de liberdade de um sistema são as variáveis necessárias para determinar a sua posição exata. Por exemplo, para determinar a posição de uma mosca numa sala "retangular", podem medir-se as suas distâncias até o chão e duas paredes perpendiculares da sala, dando origem a um sistema de três coordenadas perpendiculares (coordenadas cartesianas ou retangulares), que se costumam designar pelas letras , e (figura 1.2).

Coordenadas cartesianas
Figura 1.2: Coordenadas cartesianas de uma mosca numa sala retangular.

Ou seja, o movimento de um ponto no espaço está associado a 3 graus de liberdade. A trajetória do ponto é uma curva no espaço, que pode ser descrita indicando as expressões para as 3 coordenadas cartesianas , e em função do tempo. Como o movimento mais geral de um corpo rígido é a sobreposição do movimento de um ponto e variação de três ângulos, esse movimento tem 6 graus de liberdade: 3 coordenadas que descrevem o movimento do ponto, mais os 3 ângulos que descrevem a rotação. Outros movimentos mais simples possuem menos graus de liberdade; a rotação em torno de um eixo fixo tem apenas um grau de liberdade, a translação sem rotação 3 graus de liberdade e a translação com rotação em torno de um eixo fixo está associada a 4 graus de liberdade.

Neste capítulo estuda-se apenas o movimento de um ponto. Esse estudo será suficiente para descrever a translação dos corpos rígidos e servirá de base para estudar movimentos mais complexos.

Quando um ponto está limitado a seguir uma trajetória pré determinada, o movimento desse ponto têm um único grau de liberdade. Por exemplo, no movimento de cada uma das rodas de um carrinho nos carris de uma montanha russa, enquanto o carrinho siga os carris sem perder o contacto com eles, o movimento do centro da roda segue uma curva determinada. Se a posição do ponto num instante inicial é conhecida, para determinar a posição em qualquer outro instante basta saber o deslocamento ao longo dos carris, desde o instante inicial até esse instante.

No movimento de translação de um automóvel numa autoestrada poderá ser suficiente um único grau de liberdade (figura 1.3). Se o automóvel sofrer uma avaria e o condutor tiver que telefonar para pedir um reboque, basta dizer em que quilómetro da autoestrada se encontra para que o condutor do camião de reboque saiba para onde se dirigir. Assim, o movimento dos automóveis na autoestrada é caraterizado por um único grau de liberdade, o deslocamento ao longo da estrada.

Autoestrada no Amazonas
Figura 1.3: A translação de um automóvel numa autoestrada considera-se um movimento com um grau de liberdade.

De referir que o deslocamento na estrada não é medido em linha reta, mas ao longo de uma curva no espaço; no entanto, como a forma detalhada dessa curva já está estabelecida, basta uma variável para descrever a posição em cada instante. Em outros casos poderá ser necessário descrever a variação de outros graus de liberdade, por exemplo, a distância à berma da estrada. Se o automóvel fosse perfeitamente rígido e sempre em contacto com a estrada, a descrição completa do movimento seria feita incluindo também um ângulo. Na prática há sempre muitos mais graus de liberdade porque não existem corpos perfeitamente rígidos.

Se um ponto está limitado a deslocar-se sobre uma superfície, basta usar duas coordenadas para determinar a sua posição e o seu movimento tem dois graus de liberdade.

Um biólogo a seguir o movimento de uma raposa num território terá apenas de medir a sua longitude e latitude, por exemplo, com um dispositivo de GPS, para indicar o ponto onde se encontra em cada instante. Não são necessárias 3 variáveis, mas apenas duas, se o mapa topográfico da região for conhecido, permitindo localizar um ponto apenas com a sua longitude e latitude; uma terceira variável, a altura, tem um valor pré determinado de acordo com a topografia do terreno, como no exemplo da figura 1.4. Realmente há um terceiro grau de liberdade, a altura sobre a superfície do terreno, mas como essa altura terá variações insignificantes comparada com as variações da latitude e longitude, poderá não ter relevância.

Topografia da superfície de um terreno
Figura 1.4: A translação na superfície de um terreno é um movimento com dois graus de liberdade.

Consequentemente, o movimento da raposa é um movimento com dois graus de liberdade, porque bastam duas coordenadas para determinar a posição. A latitude e a longitude na superfície do terreno não são realmente distâncias mas sim ângulos com vértice no centro da Terra, mas continuam a ser dois graus de liberdade que podem ter diferentes valores em diferentes instantes.

Regressando ao exemplo inicial do voo da mosca, que foi considerada como um único ponto em movimento com 3 coordenadas , e , a mosca também pode mudar a sua orientação. Para definir a orientação da reta segundo o corpo da mosca podem usar-se 2 ângulos e é necessário um terceiro ângulo para indicar a rotação da mosca em relação a essa reta; ao todo são 6 graus de liberdade. Mas a mosca pode também esticar ou dobrar o corpo e abrir ou fechar as asas, por exemplo, pelo que, do ponto de vista físico, tem muitos mais graus de liberdade. Se a mosca for modelada com 3 corpos rígidos: as duas asas e o bloco constituído por cabeça, tórax e abdómen, para descrever o movimento do primeiro corpo rígido — cabeça, tórax e abdómen — são precisos os seis graus de liberdade já descritos. Cada asa acrescenta outros 3 graus de liberdade — os ângulos da rotação à volta de um ponto fixo onde a asa está ligada ao tórax — tendo no total 12 graus de liberdade.

1.3. Deslocamento e velocidade

Neste capítulo considera-se apenas o movimento com um grau de liberdade, no qual a trajetória é uma curva conhecida. Para determinar a posição na trajetória, , escolhe-se como origem um ponto qualquer da trajetória (ponto onde  = 0) e arbitra-se sinal positivo para os pontos a um dos lados da origem e negativo para os pontos no outro lado. A posição num ponto da trajetória é o comprimento de arco da trajetória, desde o ponto até à origem, com sinal positivo ou negativo segundo o lado onde estiver o ponto.

A posição é uma função do tempo , porque em cada instante o objeto só pode estar num ponto e é uma função contínua porque o objeto não pode passar de um ponto para outro, sem passar antes por todos os pontos intermédios. Num instante posterior a , ou seja, em  + Δ  , onde Δ  é positivo, o objeto estará na posição . O aumento da posição nesse intervalo de tempo Δ  , chamado deslocamento, é igual a:

(1.1)

Define-se a velocidade média, nesse intervalo de tempo Δ  , igual ao deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:

(1.2)

O deslocamento e a velocidade média podem ser positivos ou negativos. Se o deslocamento e a velocidade são positivos, quer dizer que o movimento é no sentido positivo em que se mede ; caso contrário, o movimento é no sentido negativo. O valor absoluto de é a rapidez com que se desloca o objeto. As unidades da velocidade são distância sobre tempo: por exemplo, metros por segundo, m/s, quilómetros por hora, km/h, etc.

Exemplo 1.1

Um condutor que se desloca sempre no mesmo sentido de uma estrada registou a distância total por si percorrida durante vários instantes, obtendo os valores na seguinte tabela:

tempo (h)00.51.01.52.0
distância (km)06090100140

Calcule a velocidade média em cada intervalo de meia hora e represente os gráficos da posição na trajetória e da velocidade média.

Resolução. Como não existe inversão do sentido do deslocamento, as distâncias na tabela correspondem também às posições em relação ao ponto inicial. Sendo , , ..., os 5 instantes indicados na tabela, as velocidades médias nos vários intervalos são:

O gráfico da posição em função do tempo pode ser criado com o programa Maxima (consulte o apêndice A). Convém agrupar os valores de tempo e posição numa lista que é logo usada na função plot2d para traçar o gráfico:

(%i1) s_t: [[0,0], [0.5,60], [1,90], [1.5,100], [2,140]]$
(%i2) plot2d ([discrete, s_t], [style, points], [xlabel, "t (h)"], [ylabel, "s (km)"])$

O resultado mostra-se na figura 1.5. Como é uma função contínua, o seu gráfico deve ser uma curva que passa pelos pontos apresentados na figura, mas a informação dada não permite determinar qual é essa curva.

Gráfico de posição vs tempo
Figura 1.5: Gráfico da posição na trajetória em alguns instantes.

Para traçar o gráfico da velocidade média em função do tempo, há que ter em conta que cada velocidade média foi calculada num intervalo de tempo e, por isso, o seu valor deve ser atribuído a todos os pontos nesse intervalo. O seguinte comando associa os dados de tempo e velocidade média a uma lista com quatro sublistas, uma para cada intervalo:

(%i3) v_t: [[[0,120],[0.5,120]], [[0.5,60],[1,60]], [[1,20],[1.5,20]], [[1.5,80],[2,80]]]$

A seguir, para fazer o gráfico com quatro segmentos que representem a velocidade média nos quatro intervalos, cria-se uma lista em que cada segmento é identificado pela palavra chave discrete, seguida pelos dois pontos que definem o intervalo; essa lista é logo dada à função plot2d para fazer o gráfico. Já não é necessário usar a opção [style, points], porque será usado o valor por omissão que liga os pontos dados com segmentos de retas, mas usa-se [style, blue] para que os quatro segmentos tenham a mesma cor:

(%i4) plot2d (makelist ([discrete,g], g, v_t), [x,0,2], [y,0,150], [xlabel,"t (h)"], [ylabel,"v (km/h)"], [legend,false], [color,blue])$

A figura 1.6 mostra o resultado.

Gráfico velocidade média vs tempo
Figura 1.6: Gráfico da velocidade média em alguns intervalos de tempo.

O gráfico 1.6 não dá informação precisa sobre o verdadeiro movimento do automóvel. Por exemplo, no segundo intervalo, entre 0.5 e 1 hora, em vez de ter andado a uma velocidade de 60 km/h como mostra o gráfico, o condutor pode ter mantido a mesma velocidade de 120 km/h que teve durante a primeira meia hora durante mais 15 minutos e depois ter parado por 15 minutos; assim, durante os primeiros 15 minutos desse segundo intervalo o automóvel deslocava-se mais 30 km, ficando na posição  = 90 km registada na tabela.

A posição calcula-se a partir da velocidade média, combinando as duas equações 1.1 e 1.2:

(1.3)

O segundo termo na equação anterior é o deslocamento Δ  durante o intervalo de tempo Δ  . Dividindo esse intervalo em subintervalos Δ  …Δ  , a equação anterior fica:

(1.4)

Onde é a velocidade média no subintervalo Δ  . Assim sendo, a velocidade média de 60 km/h no intervalo Δ   = 0.5 h, conduz a um deslocamento Δ   = 30 km, que é o mesmo que se obtém com velocidade média  = 120 km/h, durante Δ   = 0.25 h, seguida de  = 0, durante Δ   = 0.25 h.

Mas a velocidade também não pode passar de 120 km/h para 0, sem antes passar por todos os valores entre 120 e 0. Ou seja, a velocidade, tal como a posição, também é uma função contínua do tempo. Para determinar essa função contínua é então necessário dividir o intervalo Δ  em muitos subintervalos. No limite quando vai para infinito, o somatório na equação 1.4 chama-se integral e é indicado assim:

(1.5)

Dentro do integral, sem barra por cima indica a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade média em cada intervalo de tempo muito pequeno, com Δ  aproximando-se de zero:

(1.6)

Este limite chama-se derivada; o lado direito da equação mostra a notação usada habitualmente para a derivada. Neste caso trata-se da derivada da função em ordem a . Neste livro usa-se com maior frequência outra notação alternativa para as derivadas em ordem ao tempo, em que um ponto por cima da função indica a sua derivada em ordem ao tempo:

(1.7)

A partir de agora, quando se fale de velocidade estará implícito que se está a falar da velocidade instantânea, num instante qualquer .

Num automóvel, o valor absoluto da velocidade instantânea é dado com boa aproximação pelo velocímetro. O valor dado pelo velocímetro tem algum erro associado com o facto de que o instrumento tem um tempo de resposta mínimo . Num velocímetro de boa qualidade, com tempo de resposta muito baixo, ou em situações em que a velocidade não tem mudanças muito bruscas, admite-se que o velocímetro indica a velocidade instantânea exata.

1.4. Aceleração

Seguindo o mesmo raciocínio usado no caso da posição , o aumento da velocidade num intervalo de tempo Δ  é igual a:

(1.8)

E define-se a aceleração tangencial média, nesse intervalo, igual ao aumento da velocidade, dividido pelo intervalo de tempo:

(1.9)

Combinando essas duas últimas equações, a velocidade no fim do intervalo pode ser calculada a partir da velocidade no início do intervalo e da aceleração tangencial média:

(1.10)

Ou em função da aceleração tangencial instantânea

(1.11)

Onde a aceleração tangencial instantânea é igual à derivada da velocidade, em ordem ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição em ordem ao tempo.

(1.12)

A aceleração tem unidades de distância sobre tempo ao quadrado. Por exemplo, metros por segundo ao quadrado, m/s2.

Se a aceleração tangencial de um objeto é negativa, a sua velocidade está a diminuir: pode estar a abrandar se a velocidade é no sentido positivo ou pode estar a andar cada vez mais rápido, se a velocidade é no sentido negativo. Aceleração tangencial positiva indica que o objeto está a andar cada vez mais rápido, se a velocidade é positiva, ou mais devagar se a velocidade é negativa. Aceleração tangencial nula implica velocidade constante.

O uso do termo "aceleração tangencial", e não apenas aceleração, é porque como se explica no capítulo 3, a aceleração tem outra componente perpendicular à trajetória, que não está relacionada com a variação da velocidade mas sim com a curvatura da trajetória. No caso da velocidade, também se mostra nesse capítulo que é sempre na direção da trajetória e, por isso, não é necessário o índice t, porque é sempre tangencial.

Tal como a posição e a velocidade, a aceleração tangencial também é uma função do tempo. No entanto, não tem de ser uma função contínua. A posição e a velocidade são propriedades que definem o estado de um objeto e esse estado não pode mudar bruscamente, enquanto que a aceleração está associada a fatores externos que podem aparecer ou desaparecer em qualquer instante. Como tal, não costuma definir-se nenhuma outra grandeza física associada à derivada da aceleração.

Exemplo 1.2

Um barco encontra-se inicialmente parado num canal; no instante = 0 liga-se o motor durante 5 minutos e a seguir deliga-se, deixando que o barco abrande até travar pela resistência da água. Em unidades SI, a expressão da velocidade em função do tempo é

Encontre as expressões da aceleração tangencial e da posição na trajetória, em função do tempo. Represente os gráficos da velocidade, aceleração e posição em função do tempo. Calcule as distâncias percorridas enquanto o motor esteve ligado e enquanto esteve desligado até o barco parar.

Resolução. Antes de começar, observe-se que a expressão dada para a velocidade é contínua, como era de esperar. A aceleração tangencial calcula-se derivando a expressão da velocidade. Para fazer os cálculos no Maxima, pode começar-se por associar as duas expressões para a velocidade a duas variáveis diferentes

(%i5) v1: 12*(1-exp(-3*t/50))$
(%i6) v2: 12*(1-exp(-18))*exp(18-3*t/50)$

A derivação é feita usando a função diff

(%i7) a1: diff (v1, t);
(%o7)     
(%i8) a2: diff (v2, t);
(%o8)     

Observe-se que a aceleração tangencial neste caso é descontínua. Em  = 300, a expressão a1 aproxima-se de , que é um valor positivo, enquanto a2 aproxima-se de , que é negativo. A aceleração é descontinua em = 300 s, devido a que o motor foi desligado subitamente nesse instante.

Para obter a expressão da posição em qualquer instante , usa-se a equação 1.5, substituindo o instante inicial por zero e o instante final +Δ  por um tempo qualquer e arbitrando que a posição inicial é igual a zero. Se for menor ou igual a 300, a expressão para a velocidade é a primeira expressão dada:

Se for maior que 300, em vez de substituir-se por 0 na equação 1.5 substitui-se  = 300, a posição (300) já não pode ser arbitrada porque deve ser consistente com o cálculo em menor que 300 e usa-se a segunda expressão dada para a velocidade.

No Maxima, esses dois integrais calculam-se assim:

(%i9) s1: expand(integrate(v1, t, 0, t));
(%o9)    
(%i10) s2: subst(t=300, s1) + expand(integrate(v2, t, 300, t));
(%o10)    

Ou seja, a expressão para a posição (arbitrando a origem no ponto inicial) é:

O gráfico da velocidade obtém-se com o seguinte comando:

(%i11) plot2d (if t<300 then v1 else v2,[t,0,400], [ylabel,"v"], [y,0,14])$

E o resultado é apresentado na figura 1.7.

Gráfico da velocidade
Figura 1.7: Gráfico da velocidade.

O gráfico da aceleração é obtido com:

(%i12) plot2d (if t<300 then a1 else a2, [t,0,400], [ylabel,"a"])$

E o resultado pode ver-se na figura 1.8.

Gráfico da aceleração
Figura 1.8: Gráfico da aceleração.

Finalmente, para criar o gráfico da posição usa-se o seguinte comando:

(%i13) plot2d (if t<300 then s1 else s2, [t,0,400], [ylabel,"s"])$

E o resultado pode ver-se na figura 1.9.

Gráfico da posição
Figura 1.9: Gráfico da posição na trajetória.

Os gráficos fornecem muita informação útil que é menos evidente nas expressões algébricas. O gráfico da velocidade mostra que o barco atinge rapidamente, no primeiro minuto, uma velocidade máxima de 12 m/s e permanece com velocidade quase constante até o instante em que é desligado o motor; a partir desse instante, a velocidade diminui rapidamente e em = 360 s (6 minutos) já é praticamente nula. A expressão exponencial da velocidade implica que, em teoria, nunca chega a ser completamente nula.

Na prática, a expressão dada no enunciado para a velocidade não pode ser válida quando o valor obtido for muito pequeno; por exemplo, em = 400 s a velocidade obtida com essa expressão é

(%i14) float (subst (t=400, v2));
(%o14)     0.02975

quase 3 centímetros por segundo. Existem outros fenómenos como correntes na água ventos e ondas na superfície da água, que produzem variações da velocidade maiores do que esse valor. A expressão dada para a velocidade é o resultado de um modelo matemático, que só pode ser válido quando os valores obtidos ultrapassem os efeitos de outras flutuações que não são tidas em conta no modelo.

No gráfico da aceleração, a descontinuidade em =300 s aparece como uma risca contínua, devido a que o comando plot2d do Maxima não deteta a descontinuidade nesse ponto, mas considera as duas partes do gráfico como uma única função contínua. O gráfico da posição mostra um aumento linear em quase todo o intervalo dos primeiros 5 minutos e a paragem rápida após esses primeiros minutos. A distância percorrida enquanto o motor esteve ligado é o deslocamento desde = 0 até = 300; como arbitrou-se (0) = 0, essa distância é,

Segundo o modelo teórico, o barco demorava um tempo infinito até parar; na prática, demorará só um pouco mais de 6 minutos, como já foi dito. Como tal, a distância percorrida enquanto o motor esteve desligado é . O valor é o limite de quando é infinito. No Maxima, o limite calcula-se assim:

(%i15) limit (s2, t, inf);
(%o15)     3600

Conclui-se então que o barco percorre 200 m desde o instante em que o motor é desligado até parar.

1.5. Movimento uniforme e uniformemente acelerado

Chama-se movimento uniforme ao movimento com velocidade constante. Como a derivada de uma função constante é nula, então a aceleração tangencial é nula nesse caso. Na equação 1.4, independentemente do número de subintervalos, o resultado será o mesmo, porque é igual em todos os subintervalos (a velocidade média é igual à velocidade ) e o resultado é:

(1.13)

onde representa a posição em qualquer instante , é a posição no instante  = 0 e é a velocidade constante.

O movimento uniformemente acelerado é o movimento com aceleração tangencial constante. Na equação 1.10, a aceleração tangencial média em qualquer subintervalo é a própria aceleração constante e obtém-se a expressão para a velocidade em qualquer instante ,

(1.14)

onde é a velocidade em  = 0. Substituindo esta expressão na equação 1.5, obtém-se a expressão para a posição,

(1.15)

Entre as equaçõeso 1.14 e 1.15 pode eliminar-se o tempo e obtém-se assim uma terceira relação entre a velocidade e a posição:

(1.16)

Há que ter em conta que as equações 1.14, 1.15 e 1.16 são apenas válidas no caso em que a aceleração tangencial é constante. Quando esse não for o caso, para obter a expressão da velocidade a partir da equação 1.11, é necessário integrar a expressão de em ordem . E para obter a expressão da posição a partir da equação 1.5, é necessário integrar a expressão de em ordem a . Se essas expressões não são conhecidas, em alguns casos pode usar-se o método explicado na seguinte secção.

1.6. Equações cinemáticas

As equações diferenciais 1.7 e 1.12 definem a relação entre as variáveis cinemáticas ( , , ) e o tempo . Se for conhecida a expressão para uma das variáveis cinemáticas em função do tempo, as expressões para as outras duas variáveis podem ser obtidas por simples derivação ou integração, tal como no exemplo 1.2.

Nos casos em que é conhecida uma expressão para a velocidade em função da distância percorrida , a derivada da velocidade em ordem ao tempo deve ser calculada usando a regra da cadeia para funções compostas:

(1.17)

Esta é outra equação cinemática. Resumindo, as quatro equações que relacionam três das quatro variáveis cinemáticas , , e são (note-se que as equações com pontos incluem a variável ):

(1.18)

Qualquer uma dessas equações pode ser resolvida quando existe uma relação conhecida entre algumas das três variáveis na equação. Por exemplo, considere-se a primeira equação, ; se for conhecida uma expressão para a posição em relação ao tempo, ou seja, , a equação fica

(1.19)

que implica que a expressão para em relação a é a derivada da função dada. Note-se que quando a função depende de outras variáveis, por exemplo ou , a velocidade não seria simplesmente a derivada de , já que seria necessário usar a regra da cadeia:

(1.20)

No primeiro caso, obtém-se uma expressão para a aceleração em relação à velocidade e no segundo caso obtém-se apenas uma relação entre a aceleração, a velocidade e o tempo. Nos casos em que é conhecida uma expressão para em função de , ou seja, , tal como no exemplo 1.2, a equação fica igual a

(1.21)

que é equivalente a (como na equação 1.5):

(1.22)

Em casos mais complicados, por exemplo se a relação conhecida é da forma , obtém-se uma equação diferencial ordinária, isto é, uma equação com duas variáveis e a derivada de uma delas em relação à outra. Pode fazer-se uma análise semelhante para as outras 3 equações.

Algumas equações diferenciais podem ser resolvidas analiticamente, usando vários métodos conhecidos, como mostra o exemplo seguinte, mas em outros casos a solução deve ser obtida de forma numérica, que será o tema do capítulo 7.

Exemplo 1.3

Num tiro com arco (ver figura), enquanto a flecha está em contacto com a corda, a sua aceleração diminui linearmente em função da sua posição , desde um valor máximo inicial de 4500 m/s2, na posição A, até zero, na posição B que se encontra a 600 mm de A. Calcule a velocidade com que sai disparada a flecha em B.

Tiro com arco

Resolução: Usando o ponto A como origem para a posição da seta e em unidades SI, a expressão da aceleração tangencial no intervalo 0 ≤ ≤ 0.6 m é a equação da reta que passa pelos pontos ( , ) = (0, 4500) e ( , ) = (0.6, 0), ou seja,

que pode ser substituída na equação

conduzindo a uma equação diferencial ordinária

Este tipo de equação em particular chama-se de variáveis separáveis, porque as duas variáveis podem ser separadas nos dois lados da equação da forma seguinte

Escolhendo = 0 no instante em que a seta parte do ponto A, então a condição inicial necessária para resolver esta equação é que = 0 quando = 0. Integração nos dois lados da equação, desde esses valores iniciais até os valores no ponto B, conduz a

Note-se que os limites nos dois integrais devem ser consistentes; ou seja, cada limite no integral em ordem a é o valor de num ponto e o limite correspondente no integral em ordem a no outro lado da equação é o valor de nesse mesmo ponto. A resolução dos dois integrais conduz ao valor de no ponto B

1.6.1. Projeção do movimento num eixo

Em alguns casos é mais conveniente determinar a posição do ponto na trajetória indicando o valor da projeção desse ponto num eixo retilíneo, por exemplo o eixo dos , em vez de usar o comprimento de arco.

A derivada da projeção em ordem ao tempo é a velocidade, , com que a projeção do ponto se desloca ao longo do eixo dos e a derivada de em ordem ao tempo é a aceleração, , do movimento do ponto projetado no eixo dos . Observe-se que não implica que a velocidade seja nula; pode acontecer que nesse ponto a trajetória seja perpendicular ao eixo .

As equações cinemáticas da projeção do movimento no eixo dos são semelhantes às equações 1.18

(1.23)

No caso particular do movimento retilíneo, o eixo pode ser a própria trajetória e, nesse caso, , e . Em vez da variável pode usar-se qualquer outra letra para identificar ou eixo, por exemplo, ou .

1.6.2. Aceleração da gravidade

No seu livro de 1638, "Diálogos Acerca de Duas Novas Ciências", Galileu Galilei explicou, pela primeira vez, que o movimento de um projétil no ar pode ser decomposto na sobreposição de dois movimentos: o movimento da projeção do projétil num eixo horizontal e o movimento da sua projeção num eixo vertical. A figura 1.10 é igual à figura 108 no livro de Galileu e representa um objeto que foi lançado numa plataforma horizontal, abandonando a plataforma no ponto b.

Trajetória de um projétil
Figura 1.10: Trajetória de um projétil, tal como foi explicada por Galileu.

Galileu também descobriu que, quando a resistência do ar pode ser desprezada, por exemplo, se o projétil tem forma compacta e a sua trajetória não é muito comprida, o movimento da projeção horizontal é retilíneo e uniforme. Ou seja, em intervalos de tempo iguais, os deslocamentos horizontais do objeto são , , , , etc, todos com o mesmo comprimento. Na direção vertical, as distâncias que o objeto cai durante esses intervalos de tempo aumentam quadraticamente; isto é, durante o primeiro intervalo de tempo a distância descida é , durante o segundo intervalo já tem descido uma distância total , que é quatro vezes maior que e durante o terceiro intervalo a distância total descida é , nove vezes maior do que .

A componente vertical da velocidade aumenta, mas como os deslocamentos verticais nos intervalos de tempo iguais, , , e , estão na proporção 1, 3, 5 e 7, então a componente vertical da aceleração (aumento da componente vertical da velocidade) é constante. Galileu também observou que essa aceleração é igual para todos os objetos, independentemente do seu tamanho ou da sua massa, e é a aceleração da gravidade, representada pela letra .

O valor da aceleração da gravidade é ligeiramente diferente em diferentes locais na superfície da Terra, mas é aproximadamente igual a 9.8 m/s2. A resistência do ar produz outra aceleração que contraria o movimento, mas quando essa resistência for desprezável, admite-se que o valor da aceleração é constante e igual a .

A aceleração tangencial produzida pela gravidade pode ser positiva, negativa ou nula, já que pode fazer aumentar ou diminuir a velocidade do objeto, e pode ter um valor menor que se a trajetória não for vertical, mas a componente vertical da trajetória é sempre e a componente horizontal é nula. Se o eixo dos for definido na vertical e apontando para cima, então as componentes da aceleração são = −9.8 m/s2 e = 0.

Exemplo 1.4

Atira-se uma pedra desde uma ponte que está 5 m acima de um rio, com velocidade de 15 m/s e dirigida 36.9° para cima da horizontal. Determine a velocidade que terá a pedra quando entrar na superfície do rio e a altura máxima da sua trajetória, medida desde a superfície do rio (admita que a resistência do ar pode ser desprezada).

Resolução. A componente horizontal da velocidade inicial é = 12.0 m/s e a componente vertical é = 9.0 m/s. é conveniente escolher o eixo dos na horizontal, seguindo a direção da projeção horizontal da velocidade, e o eixo dos na vertical e apontando para cima. A origem pode ser escolhida no ponto onde a pedra foi lançada, mas neste caso vamos escolhê-la diretamente por baixo desse ponto e sobre a superfície do rio. Nesse sistema de coordenadas, a posição inicial é = 0 e = 5 (unidades SI), as componentes da velocidade são = 12, = 9 e as componentes da aceleração são = 0, = −9.8.

Os dois movimentos ao longo dos dois eixos podem ser analisados independentemente. Como o movimento ao longo do eixo dos é uniformemente acelerado, podem usar-se as equações  1.14, 1.15 e 1.16. No entanto, mostraremos como resolver o problema usando o método de separação de variáveis, que pode ser aplicado em mais casos.

O valor constante de pode substituir-se na segunda e quartas equações  1.23 (usando em vez de ), obtendo-se duas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:

Para obter a velocidade da pedra quando entra na água, é necessário resolver a segunda equação, que pode ser feito separando as variáveis e aos dois lados da equação

A seguir, integra-se o lado esquerdo da equação, desde a altura inicial = 5, até à altura final = 0 e o lado direito integra-se desde a velocidade inicial = 9 até o seu valor final, , ainda desconhecido

Calculam-se estes dois integrais (no Maxima usa-se integrate (9.8, y, 5, 0) e integrate (vy, vy, 9, vf)) e o resultado é

(a segunda solução, , corresponde à velocidade que a pedra teria se tivesse sido lançada para cima desde o rio, passando pela ponte com componente vertical da velocidade igual a 9 m/s e para cima).

Assim sendo, a componente vertical da velocidade quando a pedra entra no rio é = −13.38 m/s. Como o movimento na horizontal é uniforme, a componente horizontal da velocidade é sempre igual ao seu valor inicial 12.0 m/s e a velocidade com que a pedra entra no rio é

No ponto da trajetória onde a altura é máxima, a componente vertical da velocidade é nula, porque a pedra pára de subir e começa a descer. Os mesmos dois integrais já calculados podem ser calculados novamente, mas mudando o ponto final do integral do ponto onde a pedra entra no rio, para o ponto onde está na sua altura máxima, com valor de ainda desconhecido, mas com componente vertical da velocidade nula

onde é a altura máxima. Resolvem-se esses integrais e obtém-se assim o valor da altura máxima

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

  1. A aceleração tangencial de um objeto é (unidades SI). Se no instante inicial = 0 a velocidade for igual a 4 m/s, qual será a velocidade 3 segundos mais tarde?
    1. 22 m/s
    2. 18 m/s
    3. 40 m/s
    4. 36 m/s
    5. 4 m/s
  2. Em qual dos seguintes casos é possível afirmar, sem lugar a dúvida, que a rapidez do objeto está a diminuir?
    1. = 3 m/s, = 5 m/s2
    2. = −3 m/s, = 5 m/s2
    3. = 3 m/s, = 5 m/s2
    4. = −3 m/s, = 5 m/s2
    5. = −3 m/s, = −5 m/s2
  3. A expressão da velocidade de uma partícula que se desloca no eixo dos é . Qual é a expressão correta para a componente da aceleração ( )?
  4. O gráfico mostra a velocidade de um corpo, em função do tempo. Determine a distância percorrida desde = 0 até = 5 s.
    Gráfico de velocidade vs tempo
    1. 1 m
    2. 12 m
    3. 7 m
    4. 5 m
    5. 19 m
  5. Num gráfico da velocidade em função da posição na trajetória, o declive em cada ponto representa:
    1. A aceleração tangencial.
    2. A velocidade.
    3. A aceleração tangencial dividida pela velocidade.
    4. A velocidade vezes a aceleração tangencial.
    5. A velocidade dividida pela aceleração tangencial.

Problemas

  1. A posição de um objeto na sua trajetória é dada pela expressão (unidades SI). Determine o tempo, posição e aceleração tangencial nos instantes em que a velocidade do objeto é nula ( = 0).
  2. A aceleração de um objeto que se desloca no eixo dos é = −4 m/s2. Se em = 0, = +24 m/s e = 0, determine a velocidade e a posição em = 8 s e a distância total percorrida entre = 0 e = 8 s.
  3. Em = 0, um objeto encontra-se em repouso na posição = 5 cm num percurso. A partir desse instante o objeto começa a deslocar-se no sentido positivo de , parando novamente num instante . A expressão da aceleração tangencial, entre e , é: , onde o tempo mede-se em segundos e a aceleração em cm/s2. Determine: (a) O instante em que o objeto volta a parar. (b) A posição no percurso nesse instante.
  4. A aceleração tangencial de uma partícula é dada pela expressão , onde é uma constante positiva. A partícula parte do repouso em = 800 mm, e em = 500 mm a sua velocidade é −6 m/s. Determine: (a) O valor de . (b) A velocidade da partícula em = 250 mm.
  5. A aceleração de um objeto que oscila no eixo dos é , onde é uma constante positiva. Determine:
    1. O valor de para que a velocidade seja = 15 m/s em = 0 e = 0 em = 3 m.
    2. A velocidade do objeto em = 2 m.
  6. A aceleração tangencial de um objeto é (unidades SI), onde é a posição ao longo da trajetória e uma constante. Sabendo que o objeto passa pela origem com velocidade = 17 m/s, determine a velocidade em = 4 m, para os seguintes valores da constante : (a) = 0, (b) = 0.015, (c) = −0.015.
  7. O quadrado da velocidade de um objeto diminui linearmente em função da posição na sua trajetória, , tal como se mostra no gráfico. Calcule a distância percorrida durante os dois últimos segundos antes do objeto chegar ao ponto B.
    Quadrado da velocidade, num caso particular.
  8. A aceleração tangencial de um objeto é = −0.4 v, onde é medida em mm/s2 e em mm/s. Sabendo que em = 0 a velocidade é 30 mm/s, determine:
    1. A distância que o objeto percorre desde = 0 até parar.
    2. O tempo necessário para o objeto parar.
    3. O tempo necessário para que a velocidade diminua ate 1 por cento do seu valor inicial.
  9. A posição de uma partícula que se desloca no eixo dos é aproximada pela relação (unidades SI).
    1. Encontre as expressões para a velocidade e a aceleração em função do tempo.
    2. Determine os valores do tempo, a posição e a aceleração nos instantes em que a partícula está em repouso ( = 0).
    3. Trace os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração, em 0 ≤ ≤ 20.
  10. Um projétil é lançado desde o topo de um prédio com 7 m de altura, com velocidade de 15 m/s, inclinada 56.3°, como mostra a figura. Admitindo que a resistência do ar pode ser desprezada, determine:
    1. O tempo de voo, ou seja, o tempo desde o inicio do lançamento até quando o projétil bate no chão.
    2. O alcance horizontal, ou seja, a distância na figura.
    Projétil lançado desde um prédio.
  11. Um berlinde é lançado sobre a superfície horizontal no topo de umas escadas e sai no início das escadas com velocidade horizontal igual a 3 m/s. Cada degrau tem 18 cm de altura e 30 cm de largura. Qual será o primeiro degrau onde o berlinde bate?
  12. A aceleração tangencial de um objeto em queda livre no ar, incluindo a resistência do ar, é dada pela expressão , onde e são constantes. Sabendo que o objeto parte do repouso em = 0,
    1. Demonstre que a velocidade num instante posterior é
    2. Determine a expressão da velocidade do objeto após ter caído uma distância .
    3. Porquê será que a velocidade chama-se velocidade terminal?

Respostas

Perguntas: 1. A. 2. B. 3. A. 4. C. 5. C.

Problemas

  1. = 0, = 10 m, = −12 m/s2 e = 2 s, = 2 m, = 12 m/s2.
  2. Velocidade −8 m/s, posição = 64 m e distância percorrida 80 m.
  3. (a) 3 s (b) 25.25 cm.
  4. (a) 24 m3/s2 (b) −11.49 m/s.
  5. (a) 25 s−2 (b) ±11.18 m/s (o objeto oscila).
  6. (a) ±15 m/s, porque o objeto oscila (b) ±14.74 m/s, porque o objeto oscila. (c) 15.25 m/s, unicamente positiva porque o objeto desloca-se sempre no sentido positivo. (Para saber se o objeto oscila ou não, pode obter-se a expressão de em função de e observar-se o seu gráfico).
  7. 65.33 m
  8. (a) 75 mm (b) infinito (c) 11.51 s.
    1. ,
    2. Em = 0.0835 s,  = 0.429 m,  = −123 m/s2.  Em = 16.4 s,  = −5480 m,  =123 m/s2
    3. Gráficos de posição, velocidade e aceleração.
  9. (a) 3.02 s. (b) 25.1 m.
  10. No quarto.
  11. (b)
    (c) Porque após um tempo elevado, aproxima-se para:
Certa

O aumento da velocidade durante os 3 segundos é o integral de , em ordem ao tempo, que é somado à velocidade inicial.

(clique para continuar)

Errada

18 m/s é apenas o aumento da velocidade durante os 3 segundos. Falta somar a velocidade inicial que o objeto já tinha.

(clique para continuar)

Errada

O aumento da velocidade durante os 3 segundos é o integral de em ordem ao tempo, que deve ser somado à velocidade inicial.

(clique para continuar)

Errada

O aumento da velocidade durante os 3 segundos não é igual vezes , mas sim o integral de em ordem ao tempo, desde = 0 até = 3.

(clique para continuar)

Errada

A velocidade não pode permanecer igual, porque há aceleração tangencial, sempre positiva, que implica aumento da velocidade.

(clique para continuar)

Errada

Aceleração tangencial positiva implica aumento da velocidade e como é positiva, então está a aumentar em valor absoluto: o objeto está a andar mais depressa.

(clique para continuar)

Certa

Aceleração tangencial positiva implica aumento da velocidade e como é negativa, então está a diminuir em valor absoluto: o objeto está a abrandar.

(clique para continuar)

Errada

O valor positivo de implica que está a aumentar. Mas o valor absoluto da velocidade pode estar a aumentar ou a diminuir, porque a velocidade pode ter outras componentes para além de .

(clique para continuar)

Errada

O valor positivo de implica que está a aumentar e como é negativa então está a diminuir em módulo. No entanto, o valor absoluto da velocidade pode estar a aumentar ou a diminuir, porque a velocidade pode ter outras componentes para além de

(clique para continuar)

Errada

O valor negativo de implica que está a diminuir e como é negativa, então está a aumentar em valor absoluto. Mas o valor absoluto da velocidade pode estar a aumentar ou a diminuir, porque a velocidade pode ter outras componentes para além de .

(clique para continuar)

Certa

A derivada de em ordem a obtém-se multiplicando a derivada em ordem a , vezes a derivada de em ordem a , que é a própria .

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Errada

A aceleração é a derivada de em ordem a , que não é igual à derivada em ordem a .

(clique para continuar)

Errada

A aceleração não pode ser calculada dividindo por . A equação é válida unicamente quando a aceleração é constante, que não é certo neste caso.

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Errada

Se obteve este resultado dividindo por , essa não é a forma correta de calcular a aceleração. Se obteve este resultado derivando em ordem a , enganou-se na derivação.

(clique para continuar)

Errada

Se obteve este resultado pela equação , essa equação é válida unicamente quando a aceleração é constante (falso neste caso) e a velocidade igual a zero em = 0 (isso sim é verdadeiro neste caso).

(clique para continuar)

Errada

A distância percorrida é o integral de , desde = 0 até = 5, que no gráfico corresponde à área do triângulo desde = 0 até = 3, mais a área do quadrado desde = 3 até = 5.

(clique para continuar)

Errada

A distância percorrida é o integral de , desde = 0 até = 5, que no gráfico corresponde à área do triângulo desde = 0 até = 3, mais a área do quadrado desde = 3 até = 5.

(clique para continuar)

Certa

A distância percorrida é o integral de , desde = 0 até = 5, que no gráfico corresponde à área do triângulo desde = 0 até = 3, mais a área do quadrado desde = 3 até = 5.

(clique para continuar)

Errada

A distância percorrida é o integral de , desde = 0 até = 5, que no gráfico corresponde à área do triângulo desde = 0 até = 3, mais a área do quadrado desde = 3 até = 5.

(clique para continuar)

Errada

A distância percorrida é o integral de , desde = 0 até = 5, que no gráfico corresponde à área do triângulo desde = 0 até = 3, mais a área do quadrado desde = 3 até = 5.

(clique para continuar)

Errada

O declive no gráfico representa a derivada , que não tem de ser igual à derivada .

(clique para continuar)

Errada

O declive no gráfico representa a derivada , enquanto que a velocidade é a derivada

(clique para continuar)

Certa

O declive no gráfico representa a derivada , que é igual a

(clique para continuar)

Errada

O declive no gráfico representa a derivada , com unidades de 1 sobre tempo, enquanto que tem unidades de distância ao quadrado sobre tempo ao cubo.

(clique para continuar)

Errada

O declive no gráfico representa a derivada , com unidades de 1 sobre tempo, enquanto que tem unidades de tempo.

(clique para continuar)