2. Cinemática vetorial

Introdução

Aviões de acrobacia

Quando um objeto se desloca no espaço sem seguir uma trajetória determinada, a sua posição já não pode ser definida com uma única variável como nos exemplos estudados no capítulo anterior. No século XVII, o matemático Gottfried Leibniz escreveu que seria desejável criar uma área da matemática que descrevesse a posição diretamente, assim como na álgebra usam-se variáveis para representar valores numéricos. Na mesma época, Isaac Newton enunciou a lei do paralelogramo para somar forças. No entanto, o conceito de vetor usado hoje em dia, que permite concretizar o sonho de Leibnitz, só foi inventado muitos anos depois, no século XIX.

2.1. Vetores

Uma grandeza que tem sempre o mesmo valor, quando é medida por diferentes observadores em diferentes referenciais, chama-se escalar. Algumas das grandezas usadas no capítulo anterior são escalares; por exemplo, o deslocamento Δ  e o intervalo de tempo Δ  .

Vetores livres

Figura 2.1: Vetores livres.

Alguns exemplos de grandezas físicas que não são escalares são as componentes da posição, velocidade e aceleração ao longo de um eixo. Alterando a direção, o sentido ou a origem desse eixo, os valores dessas grandezas também se alteram.

É útil escrever as equações da física de forma a que sejam iguais em qualquer referencial e os vetores permitem atingir esse objetivo. Um exemplo típico de vetor é o vetor deslocamento, que é um segmento de reta orientado entre dois pontos P1 e P2 no espaço, em que o primeiro ponto é considerado a origem do segmento e o outro ponto o fim.

Por exemplo, na figura 2.1 está representado o vector com origem num ponto P1 e fim num ponto P2; a seta indica qual é o ponto final e por cima da letra usada para representar o vetor coloca-se também uma seta, , para que fique claro que se trata de um vetor e não de uma variável algébrica comum.


2.1.1. Propriedades dos vetores

A distância entre o ponto inicial e final de um vetor deslocamento chama-se módulo, ou norma. Se um vetor é representado por , então neste livro o módulo desse vetor representa-se por (a mesma letra mas sem seta). Como a distância entre dois pontos é um escalar, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar. Um vetor é caraterizado pelo seu módulo, pela sua direção, que é a orientação da reta que passa pelos dois pontos, e pelo seu sentido, que indica qual o ponto inicial e qual o ponto final nessa reta.

Dois vetores são iguais se, e só se, a suas direções, sentidos e módulos são iguais. Por exemplo, na figura 2.1 o vetor entre os pontos P1 e P2 e o vetor entre os pontos P3 e P4 consideram-se iguais e, por isso, foram identificados com a mesma letra, . A distância entre P3 e P4 é igual à distância entre P1 e P2 e as retas que passam por esses dois pares de pontos são paralelas. O vetor , entre os pontos P5 e P6, não é igual a por ter módulo e direção diferentes. Este tipo de vetores chamam-se vetores livres porque não interessam os pontos específicos onde estejam colocados, sempre que esses pontos definam corretamente o módulo, direção e sentido do vetor.

Soma de vetores

Figura 2.2: Soma de vetores.

Na figura 2.2, partindo do ponto P o vetor produz um deslocamento até o ponto Q; a seguir, o vetor provocará um deslocamento até o ponto R; assim sendo, o deslocamento combinado de e é equivalente ao deslocamento desde P até R, representado na figura pelo vetor . Diz-se que é igual à soma dos vetores e

(2.1)

Ou seja, a adição de dois vetores consiste em deslocar um deles de forma a fazer coincidir o seu ponto inicial com o ponto final do primeiro, obtendo-se como resultado o vetor que vai desde o ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do segundo.

A equação + = implica que = e a figura 2.2 mostra que o vetor vai desde o ponto final de até o ponto final de , quando os pontos iniciais de e coincidem. Como tal, para subtrair dois vetores deslocam-se para um ponto inicial comum e o resultado da subtração é o vetor que vai desde o ponto final do segundo vetor, até o ponto final do primeiro vetor.

A adição de vetores é comutativa: deslocar o vetor a continuação do vetor produz o mesmo resultado do que deslocar o vetor a continuação do vetor (figura 2.3). A soma dos vetores e é a diagonal do paralelogramo em que dois dos lados são iguais a e os outros dois lados são iguais a . A soma de vários vetores também verifica a propriedade associativa.

Regra do paralelogramo
Figura 2.3: Regra do paralelogramo para somar vetores.

Seguindo as regras para soma e subtração de vetores, a soma de um vetor com si próprio, + , é um vetor com a mesma direção e o mesmo sentido, mas com módulo duas vezes maior e a subtração de um vetor a si próprio, - , produz um vetor nulo (o mesmo ponto inicial e final). Generalizando esses resultados, define-se o produto de um escalar e um vetor , igual a outro vetor com a mesma direção de mas com módulo igual a . O sentido de é o mesmo de , se for positivo, ou oposto se for negativo. Costuma escrever-se primeiro o escalar e a seguir o vetor, mas o produto entre escalar e vetor é comutativo. Se for igual a zero, é o vetor nulo, .

Qualquer vetor é igual ao produto , em que é um vetor de módulo unitário, com a mesma direção e sentido de (figura 2.4). Esse vetor unitário, com a mesma direção e sentido de , chama-se versor de . Neste livro usa-se um til para indicar versores.

Versor de um vetor
Figura 2.4: Versor associado ao vetor .

No capítulo anterior foi dito que a posição de um ponto P no espaço é dada por três coordenadas definidas em algum sistema de coordenadas e foram introduzidas as coordenadas cartesianas. A figura 2.5 mostra as coordenadas cartesianas ( , , ) de um ponto P.

Coordenadas cartesianas de um ponto
Figura 2.5: Coordenadas cartesianas de um ponto P e versores cartesianos.

Existem duas formas diferentes de definir os sentidos positivos dos três eixos , e . A forma habitual consiste em seguir a regra da mão direita: fecha-se o punho direito, esticam-se os dedos maior, indicador e polegar, de forma a formarem ângulos retos entre si; o indicador apontará no sentido do eixo dos , o dedo maior no sentido do eixo dos e o polegar no sentido do eixo dos . Um referencial cartesiano pode ser definido indicando o ponto O que define a origem e 3 versores perpendiculares, , e , que definem as direções e sentidos dos 3 eixos.

Qualquer vetor pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos; por exemplo,

(2.2)

em que ( , , ) e ( , , ) são as componentes cartesianas dos vetores. Usando as propriedades da soma vetorial e do produto de escalar por vetor, a soma dos dois vetores e pode obtida somando as respetivas componentes:

(2.3)

Ou seja, a soma de dois vetores é outro vetor com componentes iguais à soma das componentes dos vetores originais. Observe que a direção, o sentido e o módulo de um vetor são independentes do sistema de eixos usado e da escolha da origem O; no entanto, as suas componentes ( , , ) são diferentes em diferentes sistemas de eixos. Se dois vetores são iguais, as suas componentes, no mesmo sistema de eixos, também devem ser iguais.

O vetor posição de um ponto P, com coordenadas ( , , ), é o vetor que vai desde a origem O até o ponto P e pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos (ver figura 2.5):

(2.4)

Observe-se que as componentes desse vetor posição são iguais as coordenadas cartesianas do ponto P, ( , , ). O vetor posição do ponto P depende da origem do sistema; ou seja, em dois sistemas com origens diferentes os vetores posição do ponto P são diferentes. Em dois sistemas diferentes mas com a mesma origem, o vetor posição de P é o mesmo, mas as suas componentes são diferentes nos dois sistemas.

2.1.2. Velocidade e aceleração vetoriais

A trajetória de um ponto em movimento pode ser definida em cada instante através do vetor posição do ponto,

(2.5)

Cada uma das três componentes, , e , é uma função do tempo. Num intervalo de tempo Δ  = 2 1 o deslocamento do ponto (ver figura 2.6) é igual a

(2.6)

em que e são os vetores posição nos instantes 1 e 2.

Trajetoria e deslocamento
Figura 2.6: Trajetória de um ponto e deslocamento Δ  entre dois instantes 1 e 2.

O vetor obtido dividindo o deslocamento Δ  por Δ  é o vetor velocidade média, com a mesma direção e sentido do deslocamento Δ  . Define-se o vetor velocidade em cada instante, igual ao deslocamento dividido por Δ  , no limite em que Δ  se aproxima de zero,

(2.7)

Como as componentes cartesianas do deslocamento vetorial Δ  são Δ  , Δ  e Δ  , então o vetor velocidade é igual a

(2.8)

As equações obtidas aplicando a equação 1.5 às três componentes do vetor posição combinam-se numa única equação vetorial:

(2.9)

O aumento do vetor velocidade, Δ  , durante o intervalo de tempo Δ  , dividido por esse intervalo, define o vetor aceleração,

(2.10)

e as suas componentes são as derivadas das componentes da velocidade:

(2.11)

As equações obtidas aplicando a equação 1.11 às três componentes do vetor velocidade combinam-se também numa única equação vetorial:

(2.12)

As equações 2.8 e 2.11 são as equações cinemáticas em 3 dimensões, escritas de forma vetorial. Como a igualdade de dois vetores implica a igualdade das suas componentes, verifica-se , e equações semelhantes para as componentes e . Portanto, o movimento em 3 dimensões é a sobreposição de 3 movimentos em uma dimensão, ao longo dos eixos , e , e cada um desses movimentos obedece as equações cinemáticas ao longo de um eixo, estudadas no capítulo anterior.

Para cada uma das componentes cartesianas há uma quarta equação cinemática que relaciona a aceleração com a velocidade e a posição,

(2.13)

que podem ser combinadas numa equação vetorial: , onde o ponto "·" representa o produto escalar, que será introduzido na próxima secção. No entanto, para resolver equações diferenciais usando o método do capítulo anterior é mais útil usar as 3 equações 2.13 por separado.

A rapidez referida no capítulo anterior é o módulo do vetor . Quando se trabalha com vetores, costuma chamar-se velocidade ao vetor e "valor da velocidade" a ; de forma análoga, o vetor costuma chamar-se aceleração e chama-se valor da aceleração.

Exemplo 2.1

A velocidade de uma partícula em função do tempo é dada pela expressão (unidades SI):

A partícula passa pela posição (2  + 5  ) no instante = 0. Encontre o vetor posição, a velocidade e a aceleração no instante = 15 s e quando tende para infinito. Trace o gráfico da trajetória da partícula durante os primeiros 60 segundos do movimento.

Resolução. As componentes da velocidade podem ser representadas por uma lista no Maxima:

(%i1) v: [5-t^2*exp(-t/5), 3-exp(-t/12)];
(%o1)     

As funções diff e integrate aceitam também uma lista com expressões, derivando (ou integrando) cada um dos elementos da lista. Assim sendo, a aceleração (derivada da velocidade em ordem ao tempo) é,

(%i2) a: diff (v, t);
(%o2)     

O vetor posição em qualquer instante pode obter-se a partir da equação 2.9. Quando se integram listas no Maxima, integrate não aceita que a mesma variável de integração apareça num dos limites do integral. Para evitar esse erro, a variável de integração, , pode ser substituída por outra variável .

(%i3) assume (t > 0)$
(%i4) r: expand([2,5] + integrate(subst(t=u,v), u, 0, t));
(%o4) ,

usou-se o comando assume para indicar que é positiva; se não tivesse sido usado, Maxima teria perguntado o sinal de , já que o resultado do integral depende desse sinal.

O vetor posição, a velocidade e a aceleração aos 15 segundos são,

(%i5) float (subst (t=15, r));
(%o5)     
(%i6) float (subst (t=15, v));
(%o6)     
(%i7) float (subst (t=15, a));
(%o7)     

Para obter os vetores no limite do tempo infinito, usa-se a função limit e o símbolo inf que representa infinito:

(%i8) limit (r, t, inf);
(%o8)     
(%i9) limit (v, t, inf);
(%o9)     
(%i10) limit (a, t, inf);
(%o10)     

Ou seja, a partícula atinge velocidade constante , afastando-se até infinito.

Para traçar o gráfico da trajetória, usa-se a opção parametric da função plot2d. As componentes e do vetor posição devem ser dadas por separado, porque a função plot2d não admite que sejam dadas numa lista. O primeiro elemento da lista r (componente ) identifica-se usando a sintaxe r [ 1] e o segundo elemento (componente ) com r[ 2]

(%i11) plot2d ([parametric,r[1],r[2]], [t,0,60], [xlabel,"x"], [ylabel,"y"]);

O intervalo de tempo desde 0 até 60 foi indicado usando a notação [t , 0 , 60 ]. O resultado mostra-se na figura 2.7.

Gráfico da trajetória de uma partícula
Figura 2.7: Trajetória da partícula durante os 60 segundos após ter passado pelo ponto (5, 2).

2.1.3. Produto escalar

O produto escalar entre dois vetores e , indicado por meio de um ponto entre os vetores, , define-se como o produto entre os módulos dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles:

(2.14)

A figura 2.8 mostra dois vetores e e o ângulo entre eles. A projeção do vetor na direção paralela ao vetor é igual a e a projeção do vetor na direção paralela ao vetor é igual a . Assim sendo, o produto escalar entre os dois vetores é igual ao produto do módulo de um dos vetores pela projeção do outro vetor na direção do primeiro.

Produto escalar entre vetores
Figura 2.8: Dois vetores e e o ângulo entre entre eles.

Este produto denomina-se escalar porque os módulos dos dois vetores e o ângulo entre as direções são grandezas escalares, que não dependem do referencial usado para os medir; consequentemente, o produto é também um escalar, independente do sistema de eixos usado.

Duas retas que se cruzam num ponto definem dois ângulos e (180° − ). No caso de vetores, não existe ambiguidade na definição do ângulo, porque deslocando os vetores para um vértice comum, mede-se o ângulo na região por onde passa o vetor + (ver figura 2.9).

O produto escalar entre dois vetores com módulos e está sempre no intervalo [ , ]. Se o ângulo entre os vetores é agudo, > 0, o produto é positivo. Se o ângulo é obtuso, < 0, o produto é negativo e se os vetores são perpendiculares, = 0, o produto é nulo (figura 2.9). O valor mínimo do produto, , obtém-se quando os vetores têm a mesma direção, mas com sentidos opostos. O valor máximo, , obtém-se quando os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido.

Vetores com ângulo agudo, reto e obtuso entre eles
Figura 2.9: Vetores que formam ângulos agudo, reto e obtuso.

Como o módulo dos versores é igual a 1, o produto entre dois versores é sempre igual ao cosseno do ângulo entre eles. Assim sendo, o ângulo entre duas direções no espaço pode ser determinado calculando o arco cosseno do produto escalar entre dois versores nessas direções

(2.15)

Em função das componentes cartesianas dos vetores, o produto escalar é,

(2.16)

Usando a propriedade distributiva do produto escalar e o facto de que o produto escalar entre dois dos versores cartesianos , e diferentes é zero, por serem perpendiculares, e o produto de um desses versores consigo próprio é 1, obtém-se uma expressão útil para calcular o produto escalar em função das componentes cartesianas,

(2.17)

As componentes dos dois vetores são diferentes em diferentes referenciais, mas o produto ( + + ) deve dar o mesmo resultado em qualquer referencial, já que é um escalar.

Usando as duas expressões 2.14 e 2.17 para calcular o produto escalar de um vetor consigo próprio, obtém-se:

(2.18)

Conclui-se que o módulo de um vetor com componentes ( , , ) é dado pela expressão,

(2.19)

2.2. Velocidade e aceleração relativas

A figura 2.10 mostra os vetores posição de um mesmo ponto P em dois referenciais diferentes, O e O' ' ' '

Referenciais com movimento relativo
Figura 2.10: Vetores posiçao de um ponto em dois referenciais diferentes.

Nesta secção as derivadas serão calculadas no referencial que se considera estático. O referencial e o ponto P encontram-se em movimento em relação ao referencial fixo . Os vetores posição do ponto P, em relação aos dois referenciais, são e , que verificam a seguinte relação:

(2.20)

em que é o vetor posição da origem O do referencial em movimento, em relação ao referencial fixo.

As derivadas de e , em ordem ao tempo, são as velocidades dos pontos P e O, em relação ao referencial fixo. O vetor tem componentes ( , , ) no referencial em movimento:

(2.21)

Se o movimento do referencial O é unicamente de translação, sem rotação, os versores , e são os mesmos em qualquer instante e, como tal, a derivada do vetor posição no referencial em movimento é,

(2.22)

em que é a velocidade do ponto P, em relação ao referencial em movimento. Observe-se que se o referencial tivesse movimento de rotação, seria necessário também calcular as derivadas dos versores e a equação anterior teria um termo adicional devido a essas derivadas.

Assim sendo, a derivação da equação 2.20 em ordem ao tempo conduz à relação entre as velocidades,

(2.23)

Isto é, a velocidade do ponto P, relativa ao referencial fixo, é igual à sua velocidade relativa ao referencial em movimento, mais a velocidade do referencial em movimento, relativa ao referencial fixo.

A relação entre as velocidades pode ser derivada novamente, em ordem ao tempo, e, tendo em conta novamente que os versores do referencial em movimento permanecem constantes, obtém-se uma equação análoga à relação entre as velocidades:

(2.24)

em que e são as acelerações dos pontos P e O, relativas ao referencial fixo, e é a aceleração do ponto P, relativa ao referencial em movimento.

Assim, por exemplo, se viajarmos num comboio que se desloca com velocidade e observarmos um objeto com velocidade , dentro do comboio, a velocidade desse objeto em relação à Terra será igual a + . Mas como a Terra se desloca em relação ao Sol, a velocidade do objeto em relação ao Sol seria , em que é a velocidade da Terra relativa ao Sol. Em relação à Galaxia teríamos de somar também a velocidade do Sol na galaxia e assim sucessivamente.

O princípio de adição de acelerações relativas é aproveitado para treinar os candidatos a astronautas. Se o astronauta, a bordo de um avião, tropeça e cai para o chão, a sua aceleração durante a queda, em relação à Terra, é o vetor , que aponta para o centro da Terra e com valor igual à aceleração da gravidade. Se o avião também estiver em queda livre, a sua aceleração em relação à Terra será o mesmo vetor (figura 2.11). A aceleração do astronauta em relação ao avião é igual à diferença entre essas duas acelerações em relação à Terra, que é zero. Ou seja, em relação ao avião, o astronauta não acelera em nenhuma direção, mas flutua no meio do avião durante os segundos que o piloto conseguir manter o avião em queda livre.

Avião e passageiro em queda livre
Figura 2.11: Avião e passageiro em queda livre (aceleração relativa nula).

2.3. Lançamento de projéteis

No capítulo 1 foi estudado o movimento de um objeto em queda livre, sob a ação da gravidade, quando a resistência do ar pode ser ignorada, considerando unicamente a componente vertical do movimento. Nesta secção estuda-se o mesmo problema, considerando agora todas as componentes do movimento.

Escolhendo o eixo dos na direção vertical, com sentido positivo para cima, a forma vetorial da aceleração da gravidade é

(2.25)

onde é, aproximadamente, 9.8 m/s2.

Se um projétil for lançado com velocidade inicial , a aceleração da gravidade alterará essa velocidade, na direção de , produzindo uma nova velocidade que estará no mesmo plano formado pelos vetores e . Conclui-se assim que a trajetória do projétil estará sempre no plano vertical formado por e . A única excepção a essa regra é quando for vertical; nesse caso, e não formam um plano e a trajetória é uma reta vertical.

Exemplo 2.2

Um canhão dispara uma bala, desde o terraço de um edifício, na posição (unidades SI):

com velocidade inicial (unidades SI):

em que o eixo dos aponta na direção vertical, para cima, e com origem no chão. Admitindo que a resistência do ar pode ser desprezada, calcule a altura máxima atingida pela bala e a posição em que a bala bate no chão.


Bala lancada desde um predio

Resolução: A expressão para o vetor velocidade em qualquer instante obtém-se substituindo a velocidade inicial e a expressão 2.25 da aceleração da gravidade na equação 2.12 e integrando

Onde é medido a partir do instante inicial em que a bala é disparada.

Substituindo essa expressão e a posição inicial na equação 2.9, obtém-se a expressão para o vetor posição em qualquer instante

A altura máxima será atingida no instante em que a velocidade seja na horizontal, ou seja, quando a componente da velocidade for nula

nesse instante, a componente do vetor posição determina a altura máxima:

Para calcular o instante em que a bala bate no chão, calcula-se o tempo em que a componente da posição é igual a zero,

e nesse instante a posição da bala é,

2.4. Movimentos dependentes

Em alguns sistemas em que aparentemente são necessárias várias variáveis para descrever o movimento das diferentes componentes do sistema, o número de graus de liberdade pode ser menor devido à existência de restrições no movimento. A figura 2.12 mostra um exemplo; enquanto o cilindro desce, o carrinho desloca-se sobre a mesa.

Carrinho e cilindro ligados por um fio
Figura 2.12: Sistema com dois movimentos dependentes e um único grau de liberdade.

O movimento do carrinho pode ser descrito pela variação da distância horizontal até o eixo da roldana fixa. O movimento do cilindro é igual ao movimento da roldana móvel e, como tal, pode ser descrito pela expressão para a distância vertical entre os centros das roldanas, em função do tempo.

Mas enquanto o fio permanecer esticado e sem se quebrar, existirá uma relação entre as velocidades e as acelerações do carrinho e do cilindro. Para encontrar essa relação, escreve-se a o comprimento do fio, , em função das distâncias e :

(2.26)

em que e são os raios das duas roldanas. O fio toca um quarto do perímetro da roldana fixa ( ) e metade do perímetro da roldana móvel ( ). Tendo em conta que , , e são constantes, e derivando a equação anterior em ordem ao tempo, obtém-se,

(2.27)

Ou seja, o valor da velocidade do carrinho será sempre o dobro do valor da velocidade do cilindro. O sinal negativo na equação acima indica que se o cilindro desce o carrinho desloca-se para a direita e vice-versa.

Derivando novamente essa última equação em ordem ao tempo, conclui-se que a aceleração tangencial do carrinho é também o dobro da aceleração tangencial do cilindro:

(2.28)

Essas relações entre as posições, velocidades e acelerações implicam que o sistema tem apenas um grau de liberdade. Uma vez conhecidas as expressões para a posição, velocidade e aceleração de um dos objetos, as expressões da posição, velocidade e aceleração do outro objeto serão obtidas multiplicando (ou dividindo) por 2.

Um segundo exemplo, com dois graus de liberdade, é o sistema de três roldanas e três cilindros na figura 2.13. As alturas dos três cilindros são determinadas pelos valores das 3 distâncias , e ; como existe um único fio em movimento, existe apenas uma restrição (comprimento do fio constante), que permitirá expressar uma das três distâncias em função das outras duas.

Cilindros ligados por fios e roldanas
Figura 2.13: Sistema com três movimentos dependentes e dois graus de liberdade.

O comprimento do fio é,

(2.29)

em que a constante é a soma de metade dos perímetros das roldanas, que não é importante conhecer, já que vai desaparecer quando a equação for derivada e só altera as posições num valor constante.

A derivada da equação anterior em ordem ao tempo é,

(2.30)

Neste caso existem vários possíveis movimentos; por exemplo, se o cilindro A estiver a subir e o cilindro C estiver a descer com a mesma velocidade, o cilindro B permanecerá estático; ou um dos cilindros poderá estar a descer e os outros dois a subir. O que sim não é possível é que os 3 cilindros estejam simultaneamente a descer ou a subir.

A derivada da equação 2.30 conduz à relação entre as acelerações,

(2.31)

Exemplo 2.3

No sistema da figura, calcule o valor da velocidade com que sobe o cilindro, quando o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor 2 m/s.

Maquina com três roldanas móveis

Resolução: Neste caso há 4 sistemas em movimento, as três roldanas móveis e o anel A (o movimento do cilindro é igual ao da roldana móvel da qual está pendurado) e 3 fios inextensíveis; portanto, este sistema tem apenas um grau de liberdade. Com o valor da velocidade de A dada no enunciado será possível calcular as velocidades de todas as roldanas móveis.

Sendo a distância desde o teto até o anel e , e as distâncias desde o teto até cada uma das roldanas móveis, os comprimentos dos 3 fios são:

Derivando essas três equações, obtém-se:

e substituindo, encontra-se a relação entre e ,

isto é, o valor da velocidade com que desce o anel é 8 vezes o da velocidade com que o cilindro sobe. Assim sendo, o cilindro sobe com velocidade de valor 0.25 m/s.

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

  1. O bloco na figura encontra-se sobre um plano inclinado a 40°. Um extremo do fio está preso na parede e o outro extremo está a ser deslocado com velocidade de valor no sentido indicado na figura. Qual é o valor da velocidade do bloco em função de ?
    Plano inclinado bloco e roldana

  2. Um automóvel entra numa curva com velocidade de valor 10 m/s em direção sul e 6 segundos mais tarde continua com o mesmo valor da velocidade, mas em direção oeste. Calcule o módulo da aceleração média durante esse intervalo.
    1. 1.67 m/s2
    2. 2.36 m/s2
    3. 2.89 m/s2
    4. 3.33 m/s2
    5. 0
  3. Dispara-se um projétil com velocidade inclinada 40° sobre a horizontal. Se no ponto mais alto da sua trajetória o valor da sua velocidade é 80 m/s e se a resistência do ar pode ser ignorada, qual foi aproximadamente o valor da velocidade com que foi lançado?
    1. 104.4 m/s
    2. 124.5 m/s
    3. 61.3 m/s
    4. 51.3 m/s
    5. 80 m/s
  4. Uma partícula que se desloca a 4 m/s na direção do eixo dos sofre uma aceleração com valor constante 3 m/s2, na direção do eixo dos , durante dois segundos. Qual será o valor final da velocidade?
    1. 5.0 m/s
    2. 6.3 m/s
    3. 7.2 m/s
    4. 8.4 m/s
    5. 10.0 m/s
  5. No sistema da figura, com um carrinho, uma barra, um cilindro, 2 roldanas móveis e 4 roldanas fixas, a barra permanece sempre horizontal. Quantos graus de liberdade tem o sistema?
    Carrinho ligado a uma barra e um cilindro
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    5. 5

Problemas

  1. (a) Demonstre a lei dos cossenos: Em qualquer triângulo com lados de comprimento , e , verifica-se a relação,
    em que é o ângulo oposto ao lado de comprimento ; o teorema de Pitágoras é um caso particular, em que é um ângulo reto. Sugestão: desenhe o triângulo formado por dois vectores e e a sua soma e calcule o produto . (b) O ângulo entre dois vetores, com módulos de 5 e 8 unidades, é 42°; usando a lei dos cossenos, calcule o módulo da soma desses vetores.
  2. Dados dois vetores e , calcule:
    1. O módulo de cada vetor.
    2. O produto escalar .
    3. O ângulo entre os vetores.
    4. A soma .
    5. A diferença .
  3. A velocidade de uma partícula em movimento no plano é dada pela expressão: (unidades SI). No instante = 0 a partícula encontra-se no eixo dos , na posição .
    1. Determine em que instante passará pelo eixo dos e a que distância da origem estará nesse instante.
    2. Calcule a aceleração em = 0 e no instante em que passa pelo eixo dos .
  4. Um corpo encontra-se inicialmente na posição (unidades SI) com velocidade . Em qualquer instante, a aceleração é dada pela expressão . Encontre as expressões para a velocidade e a posição em função do tempo.
  5. Um projétil é lançado desde o chão, com uma inclinação de 30° com a horizontal. Que valor deverá ter a velocidade inicial para que bata no chão a 30 m do ponto de lançamento? (admita que a resistência do ar pode ser desprezada.)
  6. Uma pedra roda pelo telhado de uma casa, que faz um ângulo de 20° com a horizontal. No instante em que a pedra abandona o telhado e cai livremente, o valor da sua velocidade é 4 m/s e encontra-se a uma altura de 6 m. Admitindo que a resistência do ar é desprezável,
    1. Calcule o tempo que demora a cair ao chão, desde o instante em que abandona o telhado.
    2. A que distância horizontal bate a pedra no chão, em relação ao ponto onde abandonou o telhado?
    3. Calcule o ângulo que a velocidade da pedra faz com a vertical no instante em que bate no chão.
  7. Um barco transposta passageiros de uma margem de um rio para a outra margem, seguindo o percurso mais curto de 1.5 km entre as duas margens. Quando o motor do barco funciona na potência máxima, a travessia demora 20 minutos, num dia em que o valor da velocidade da corrente no rio é 1.2 m/s; calcule o valor da velocidade do barco, nesse dia, (a) em relação à Terra e (b) em relação à água. (c) Determine o tempo mínimo que o barco demorava a atravessar o mesmo rio, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse 0.8 m/s.
  8. Dentro de um comboio que se desloca horizontalmente, com velocidade de valor constante 35 km/h, um passageiro em pê numa cadeira lança horizontalmente um objeto, no sentido oposto ao deslocamento do comboio. Em relação ao chão da carruagem, o objeto foi lançado desde uma altura de 3 m e desloca-se horizontalmente 3 m antes de bater no chão. Em relação ao referencial da Terra, qual foi a distância horizontal percorrida pelo objeto antes de bater no chão?
  9. Um objeto parte da origem em = 0 e em > 0 a sua posição é dada pelo vetor (unidades SI).
    1. A que distância da origem estará o objeto quando → ∞?
    2. Calcule a distância total percorrida desde = 0 até → ∞ (o integral obtido não pode ser calculado por métodos analíticos, mas pode ser resolvido numericamente, no Maxima, usando a função romberg, que precisa dos mesmos 4 argumentos dados à função integrate; em vez de → ∞, use, = 10 e obtenha o resultado; aumente o valor de sucessivamente e observe os resultados obtidos até poder concluir que o resultado está a aproximar-se de um valor limite).
  10. Três cilindros A, B e C foram pendurados no sistema de duas roldanas que mostra a figura. Num instante, a velocidade do bloco A é = 3 m/s, para cima, e a sua aceleração é = 2 m/s2, para baixo; no mesmo instante, a velocidade e aceleração do bloco C são: = 1 m/s, para baixo, = 4 m/s2, para cima. Determine a velocidade e aceleração do bloco B, no mesmo instante, indicando se são para cima ou para baixo.
    Sistema com duas roldanas e três cilindros
  11. No sistema da figura, encontre a relação entre os valores das velocidades e das acelerações da barra A e do cilindro B, admitindo que a barra A permanece sempre horizontal.
    Cilindro ligado a uma barra
  12. O carrinho na figura desloca-se para a esquerda, com velocidade de valor constante 4 m/s. Sabendo que a altura é igual a 25 cm e arbitrando = 0 no instante em que a distância é nula, encontre expressões para os valores da velocidade e da aceleração do cilindro (admita que os raios das roldanas podem ser desprezados).
    Carrinho ligado a um cilindro

Respostas

Perguntas: 1. B. 2. B. 3. A. 4. C. 5. B.

Problemas

  1. (a) . Como o ângulo entre os dois vetores é , segue que
    (b) 12.18 unidades.
  2. (a) , . (b) −25. (c) 123.5°. (d) . (e) .
  3. (a) = 0.5108 s, = 0.96 m.
    (b) Em = 0,  m/s2. Quando passa pelo eixo dos ,  m/s2.

  4. = 18.43 m/s.
  5. (a) 0.976 s. (b) 3.67 m. (c) 19.0°.
  6. (a) 1.25 m/s. (b) 1.73 m/s. (c) 16 minutos e 20 segundos.
  7. 4.6 m.
  8. (a) 5 m. (b) 5.23 m.
  9. 5 m/s para baixo e aceleração nula.
  10. ,
  11.           (SI)
Errada

O extremo do fio e o bloco não podem ter a mesma velocidade porque a distância entre eles está a aumentar.

(clique para continuar)

Certa

Por cada cm de fio que é puxado para cima, o centro da roldana sobe apenas 1/2 cm no plano.

(clique para continuar)

Errada

O ângulo não interessa, porque aumentando ou diminuindo a inclinação do plano, a relação entre os movimentos do fio e do bloco continúa igual; assim sendo, o ângulo não pode entrar na resposta correta.

(clique para continuar)

Errada

A velocidade do bloco deve ser menor que a velocidade do extremo do fio porque a distância entre eles está a aumentar.

(clique para continuar)

Errada

O ângulo não interessa, porque aumentando ou diminuindo a inclinação do plano, a relação entre os movimentos do fio e do bloco continúa igual; assim sendo, o ângulo não pode entrar na resposta correta.

(clique para continuar)

Errada

A variação da velocidade não foi 10 m/s, mas será a hipotenusa do triangulo em que as velocidades inicial e final são os catetos.

(clique para continuar)

Certa

(clique para continuar)

Errada

A variação da velocidade é a hipotenusa do triangulo em que as velocidades inicial e final são os catetos.

(clique para continuar)

Errada

A variação da velocidade é a hipotenusa do triangulo em que as velocidades inicial e final são os catetos.

(clique para continuar)

Errada

A variação da velocidade não é nula, porque a velocidade é um vetor e o vetor final não é o mesmo vetor inicial, pois tem direção diferente.

(clique para continuar)

Certa

(clique para continuar)

Errada

A velocidade é a hipotenusa do triângulo retângulo com um cateto horizontal igual à projeção horizontal da velocidade, que é constante. No ponto mais alto o ângulo da hipotenusa com o cateto horizontal é zero e, como tal, a velocidade é igual á projeção horizontal. No instante inicial esse ângulo é 40°.

(clique para continuar)

Errada

A velocidade é a hipotenusa do triângulo retângulo com um cateto horizontal igual à projeção horizontal da velocidade, que é constante. No ponto mais alto o ângulo da hipotenusa com o cateto horizontal é zero e, como tal, a velocidade é igual á projeção horizontal. No instante inicial esse ângulo é 40°.

(clique para continuar)

Errada

A velocidade é a hipotenusa do triângulo retângulo com um cateto horizontal igual à projeção horizontal da velocidade, que é constante. No ponto mais alto o ângulo da hipotenusa com o cateto horizontal é zero e, como tal, a velocidade é igual á projeção horizontal. No instante inicial esse ângulo é 40°.

(clique para continuar)

Errada

A velocidade é a hipotenusa do triângulo retângulo com um cateto horizontal igual à projeção horizontal da velocidade, que é constante. No ponto mais alto o ângulo da hipotenusa com o cateto horizontal é zero e, como tal, a velocidade é igual á projeção horizontal. No instante inicial esse ângulo é 40°.

(clique para continuar)

Errada

Nos dois segundos a aceleração produz uma componente da velocidade igual a 6 m/s.

(clique para continuar)

Errada

A velocidade final é a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os dois catetos são as componentes e da velocidade. Aparece uma componente , devido a que há aceleração .

(clique para continuar)

Certa

(clique para continuar)

Errada

A velocidade final é a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os dois catetos são as componentes e da velocidade. Aparece ums componente , devido a que há aceleração .

(clique para continuar)

Errada

A aceleração produz um aumento de 6 m/s na velocidade, mas como esse aumento é na direção , não pode ser somado diretamente com a velocidade inicial que é na direção . A soma deve ser feita de forma vetorial.

(clique para continuar)

Errada

Há três objetos em movimento: carro, barra e cilindro (o movimento das roldanas é igual ao movimento da barra) e apenas uma condição: comprimento do fio constante.

(clique para continuar)

Certa

(clique para continuar)

Errada

Há três objetos em movimento: carro, barra e cilindro (o movimento das roldanas é igual ao movimento da barra) e apenas uma condição: comprimento do fio constante.

(clique para continuar)

Errada

Há três objetos em movimento: carro, barra e cilindro (o movimento das roldanas é igual ao movimento da barra) e apenas uma condição: comprimento do fio constante.

(clique para continuar)

Errada

Há três objetos em movimento: carro, barra e cilindro (o movimento das roldanas é igual ao movimento da barra) e apenas uma condição: comprimento do fio constante.

(clique para continuar)