5. Dinâmica dos corpos rígidos

Introdução

Corrida de motos

Para conseguir dar uma curva com uma bicicleta ou uma moto, é necessário que exista suficiente atrito entre os pneus e a estrada, porque a força de atrito deverá ser igual à massa vezes a aceleração centrípeta. Como a força de atrito atua na superfície dos pneus, se o condutor não se inclinasse, a lei da inércia implicava que a sua tendência fosse continuar numa trajetória retilínea, contrariando a trajetória circular da superfície dos pneus produzindo desequilíbrio. Nas corridas de motos, as velocidades elevadas implicam ângulos de inclinação maiores; para conseguir inclinar mais a moto, o condutor vira inicialmente o volante no sentido oposto ao sentido em que vai tomar a curva e sai para o lado em que a moto se inclina para contrariar a tendencia da moto cair para o lado oposto.

5.1. Vetores deslizantes

Os vetores introduzidos no capítulo 2 são vetores livres, que são considerados iguais se tiverem o mesmo módulo, direção e sentido, independentemente do ponto do espaço onde se encontrem. No caso das forças, não basta saber o módulo, direção e sentido. Por exemplo, quando se aplica uma força numa porta para fechá-la, para além do módulo, direção e sentido da força, será também importante o ponto em que essa força for aplicada. Quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força, mais fácil será fechar a porta; a força necessária para fechar a porta será muito elevada se for aplicada num ponto muito próximo de uma das dobradiças.

Vetores deslizantes

Figura 5.1:Forças num corpo.

Assim sendo, as forças são realmente vetores deslizantes, que produzem o mesmo efeito quando aplicadas em qualquer ponto na sua linha de ação (a linha reta que passa pelo ponto onde a força é aplicada, seguindo a direção da força) mas produzem efeitos diferentes quando aplicadas em diferentes linhas paralelas. No exemplo apresentado na figura 5.1, as três forças , e têm o mesmo módulo, direção e sentido; e são iguais, por terem também a mesma linha de ação, mas são diferentes de que atua noutra linha de ação diferente.

Contudo, no capítulo 4 sempre que foi necessário somar forças admitiu-se que podiam ser deslocadas livremente e somadas como vetores livres. Nas próximas seções mostra-se que essa soma de forças como se fossem vetores livres não está errada, sempre e quando seja adicionado também o efeito de rotação introduzido quando se desloca uma força para outro ponto. No movimento de translação sem rotação, é também importante considerar os efeitos de rotação das várias forças e conferir que se anulam entre sim, para que o movimento seja realmente sem rotação.

5.2. Adição de forças

Duas forças e com a mesma linha de ação podem ser deslocadas para um ponto comum e somadas nesse ponto. A força resultante estará na mesma linha de ação e terá módulo ( ), se o sentido das forças for o mesmo, ou , caso contrário.

Duas forças chamam-se concorrentes se as suas linhas de ação são diferentes, mas com um ponto comum, R, como no exemplo da figura 5.2. Nesse caso, as forças podem ser deslocadas e somadas nesse ponto comum com a regra do paralelogramo; a linha de ação da força resultante será a reta que passa por esse ponto comum, na direção da diagonal do paralelogramo.

Soma de forças concorrentes
Figura 5.2: Adição de forças concorrentes.

Quando as duas linhas de ação de duas forças são paralelas, como é o caso na figura 5.3, podem ser somadas usando o procedimento ilustrado nessa figura: desloca-se a força na sua linha de ação até o ponto R de interseção de com o plano perpendicular às linhas de ação, que passa pelo ponto P. Nos pontos P e R adicionam-se duas forças e , com a mesma linha de ação, sem produzir nenhuma alteração já que a soma dessas duas forças é nula. No ponto P somam-se as forças e e substituem-se pela resultante e no ponto R somam-se as forças e e substituem-se pela resultante . As forças e serão concorrentes, podendo ser somadas no ponto comum das suas linhas de ação, S, obtendo-se a força resultante no ponto S.

Soma de forças paralelas
Figura 5.3: Adição de forças paralelas.

Observe-se que a força resultante das duas forças paralelas é também na mesma direção das forças originais e o seu módulo é igual à soma dos módulos das forças originais ( ), se os sentidos das forças for o mesmo, como na figura 5.3, ou igual à diferença entre os módulos ( ), caso os sentidos sejam opostos.

Para calcular as distâncias e , entre as linhas de ação das forças originais e a linha de ação da força resultante, observa-se na figura 5.3 que a altura (segmento ) dos dois triângulos com bases e verifica,

(5.1)

e, eliminando nestas duas equações, obtém-se

(5.2)

Esta é a lei das alavancas e o procedimento usado aqui para obtê-la foi o mesmo que Newton usou no seu livro. Cada distância e chama-se braço da respetiva força, e , em relação à linha L . Para equilibrar as forças paralelas e , é necessário aplicar uma força oposta, de módulo , na linha de ação em que os dois braços e verificam a regra das alavancas 5.2.

5.3. Momentos e binários

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço ),

(5.3)

O momento representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto. Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Momento de uma força

Figura 5.4: Momento de uma força.

Sendo o vetor posição do ponto P em que a força é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a , em que o ângulo é o ângulo entre os vetores e (figura 5.4). Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

(5.4)

Repare-se que ( ) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição , ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, , pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.

A equação 5.4 mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento de forma vetorial:

(5.5)
Binário

Figura 5.5: Binário.

O vetor representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele. Na figura 5.4 o momento é um vetor que aponta para cá da página e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor .

Um binário é um conjunto de duas forças e , iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura 5.5. O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

(5.6)

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

(5.7)

Na figura 5.5 o momento do binário é um vetor para cá da página, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

Uma força aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura 5.6. Adicionam-se duas forças e nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto. No caso da figura 5.6, deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, de forma vetorial, . No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força no ponto Q e o binário que é igual ao momento que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Mudança de linha de ação
Figura 5.6: Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo e e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo , dadas pelo determinante,

(5.8)

em que e são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força . Para obter o binário resultante bastará somar os valores de obtidos para cada força.

5.4. Corpos rígidos em equilíbrio

Se todas as forças externas aplicadas num corpo rígido, somadas num ponto qualquer, produzem força resultante e binário resultante nulos, conclui-se que a força resultante e o binário resultante também serão nulos em qualquer outro ponto. A justificação é que, como a força resultante é obtida somando as forças como vetores livres, será igual em qualquer ponto; o binário resultante sim é diferente quando a força resultante é colocada em diferentes pontos e a diferença entre o binário em dois pontos diferentes será igual ao momento introduzido quando a força resultante for deslocada entre esses pontos. Mas no caso em que a força resultante é nula, esse deslocamento para diferentes pontos não produz nenhum binário adicional e o binário devera ser igual, e nulo, em todos os pontos.

Quando a força resultante e o binário resultante são nulos, diz-se que o corpo rígido está em equilíbrio. Equilíbrio esse que pode ser estático —objeto em repouso— ou cinético —objeto com movimento linear uniforme. Assim sendo, as condições para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é que a soma das forças seja nula e que a soma dos momentos das forças, em relação a um ponto qualquer, seja nula.

Exemplo 5.1

O automóvel na figura desloca-se com velocidade constante de 120 km/h numa estrada perfeitamente horizontal. Sabendo que o peso total do automóvel é 9000 N, determine a força de reação normal em cada pneu.

Forças num automóvel em repouso

Resolução. Por ter movimento retilíneo e uniforme, o automóvel está em equilíbrio. Na figura, o vetor representa a soma das duas reações nos pneus da frente e a soma das reações normais dos pneus de atrás. As forças horizontais, que são a resistência do ar e o atrito da estrada nos pneus, não podem ser calculadas neste problema. O único que é possível afirmar sobre essas duas forças é que são iguais e opostas e o atrito é estático e contraria a resistência do ar. Por enquanto, admite-se que essas duas forças são desprezáveis em comparação com o peso e no fim será discutida a influência dessas forças no resultado obtido. A condição para que a soma das forças verticais seja nula é:

Para encontrar o valor dessas duas variáveis será necessário considerar também a condição de que o binário resultante deverá ser nulo. Por existir equilíbrio, qualquer ponto pode ser usado como referência para calcular os momentos; é conveniente escolher o ponto onde há mais forças aplicadas, já que o momento dessas forças em relação ao ponto de referência será nulo. Neste caso escolhe-se um dos pontos de contacto dos pneus com a estrada, ou o centro de gravidade (CG). Usando como referência o ponto de aplicação de , a soma dos momentos é:

A seguir podia substituir-se esse valor na condição para a soma das forças verticais, mas também é possível calcular novamente soma de momentos, em relação ao ponto de aplicação de ,

Admitindo que o centro de gravidade esteja a igual distância dos lados direito e esquerdo do automóvel, se este for simétrico, as reações nos dois pneus da frente serão iguais e, portanto, a reação em cada pneu será  N. Nos pneus de atrás as reações também serão iguais, cada uma com módulo  N.

As forças de atrito e da resistência do ar constituem um binário; como a linha de ação das forças de atrito com a estrada está por debaixo da linha de ação da resistência do ar, esse binário faz rodar o automóvel no sentido horário, aumentando as reações normais nos pneus de atrás e diminuindo as reações normais nos pneus da frente. Para calcular o momento da força de resistência do ar, seria necessário conhecer o coeficiente aerodinâmico do automóvel, a velocidade do vento e o ponto de aplicação da resultante dessa força, que está distribuída em toda a superfície do automóvel.

5.5. Centro de massa

Um corpo rígido é uma distribução contínua de massa num volume. Se a massa total do corpo for , e for a massa infinitesimal que existe em cada ponto do corpo,

(5.9)

em que o integral é de volume, dentro do volume ocupado pelo sólido, já que é o produto da massa volúmica pelo volume infinitesimal .

Define-se o vetor posição do centro de massa, , igual à média, pesada pela massa, do vetor posição no sólido:

(5.10)

Exemplo 5.2

Encontre a posição do centro de massa do sólido homogéneo representado na figura.

Cunha triangular

Resolução. O volume do sólido é delimitado pelos 5 planos , , , e .

A área infinitesimal é igual à massa volúmica vezes o volume infinitesimal, que em coordenas cartesianas é . Começa-se por calcular a massa total a partir da equação 5.9:

Como o corpo é homogéneo, é constante. No Maxima, os três integrais devem ser calculados de forma sequencial; a variável p representará a massa volúmica

(%i1) integrate (p, z, 0, c*(1 - x/b))$
(%i2) integrate (%, x, 0, b)$
(%i3) m: integrate (%, y, 0, a);
(%o3)     

Embora os resultados intermédios não tenham sido apresentados, estão armazenados nas variáveis %o1 e %o2.

Para calcular , repete-se o mesmo integral de volume, mudando o integrando de , para ( )

(%i4) r: [x, y, z]$
(%i5) integrate (p*r, z, 0, c*(1 - x/b))$
(%i6) integrate (%, x, 0, b)$
(%i7) rcm: integrate (%,y,0,a)/m;
(%o7)     

Conclui-se que o vector posição do centro de massa é: .


Em todo corpo rígido existe sempre um único ponto que é o centro de massa. Se a origem for escolhida exatamente no centro de massa, o integral na equação 5.10 será nulo para cada uma das três componentes:

(5.11)

Os integrais em 5.11 serão todos nulos unicamente se a origem estiver no centro de massa. Este resultado será muito importante mais para a frente.

Derivando os dois lados da equação 5.10, em ordem ao tempo obtém-se a expressão da o velocidade do centro de massa:

(5.12)

Isto é, a velocidade do centro de massa é a média das velocidades de todos as partes do corpo, com pesos iguais às massas das partes.

E derivando a equação 5.12, em ordem ao tempo, obtém-se a aceleração do centro de massa,

(5.13)

que é a média, pesada pela massa, das acelerações de todas as partes do corpo.

Se o referencial em que é medida a aceleração de cada ponto for um referencial inercial, o produto será igual à força resultante que atua sobre a massa :

(5.14)

Observe-se que sempre que exista aceleração, deverá existir uma força infinitesimal aplicada em cada parte do corpo, para conseguir acompanhar o movimento do corpo, permanecendo rígido. Na maioria dos pontos essa força é devida unicamente às forças internas de contacto entre as partes do corpo, forças essas que são desencadeadas em todo o corpo pela ação de forças externas , , , que atuam em pontos do corpo rígido. Nos pontos 1, 2, , , a força inclui as forças de contacto mais a força externa em cada ponto. A diferencial é a variação da força em todos os pontos do volume do corpo.

Substituindo a expressão 5.14 na equação 5.13, conclui-se que,

(5.15)

Na soma das forças em todos os pontos do corpo, por cada força interna de contacto que existir num ponto, existirá outra força igual mas de sentido oposto em outro ponto vizinho, devido à lei de ação e reação. Assim sendo, no integral todas as forças internas de contacto serão eliminadas, ficando unicamente a soma das forças externas, , , , , que é igual à força resultante sobre o corpo rígido. Como tal, a equação 5.15 é equivalente a,

(5.16)

Este resultado importante é a lei do movimento de translação do corpo rígido:

O movimento do centro de massa de qualquer corpo rígido com massa é igual ao movimento que teria uma partícula pontual com massa e força resultante igual à soma de todas as forças externas aplicadas sobre o corpo rígido.

Lembre-se que a soma das forças é feita como se fossem vetores livres. Se a força resultante for nula, o centro de massa estará ou em repouso ou em estado de movimento retilíneo uniforme, mas outros pontos no corpo rígido poderão ter movimentos mais complicados.

O peso é um exemplo de força externa aplicada em todos os pontos do corpo rígido. A equação 5.15 nesse caso dá,

(5.17)

Se a aceleração da gravidade for igual em todos os pontos do corpo, o integral no lado esquerdo será igual a e conclui-se que a aceleração do centro de massa é igual à aceleração da gravidade e que o centro de gravidade —ponto de aplicação da força resultante do peso de todas as partes do corpo— coincide com o centro de massa. Existem casos em que não é constante em todo o corpo, mas geralmente isso não acontece, sendo possível assumir que o peso total do objeto é a força aplicada no centro de massa.

Considere-se, por exemplo, uma lâmina triangular. Pendurando-a por um dos vértices, começará a oscilar até parar numa posição em que o centro de gravidade esteja no mesmo segmento de reta vertical que passa pelo vértice; traçando esse segmento no triângulo e repetindo o procedimento para os outros dois vértices, o ponto onde se cruzam os três segmentos será o centro de gravidade e centro de massa. Se a massa volúmica do triângulo for igual em todos os pontos, cada uma dos segmentos verticais será a mediana que divide o triângulo em duas partes com a mesma área e, consequentemente, com o mesmo peso. Nos sólidos com formas simétricas e massa volúmica constante, o centro de massa encontra-se no centro geométrico. A figura 5.7 mostra outros três exemplos.

Centros de massa de algun corpos
Figura 5.7: Centros de massa de 3 objetos com massa volúmica constante: esfera, cilindro e paralelepípedo.

5.6. Movimento geral do corpo rígido

A dinâmica do corpo rígido consiste no estudo dos efeitos das forças e binários externos na variação dos seus seis graus de liberdade. A trajetória de um ponto qualquer no corpo, usado como referência, dá informação sobre a variação de três desses graus de liberdade. Os restantes 3 graus de liberdade são 3 ângulos. No pião da figura 5.8 indicam-se dois ângulos, e , que definem a direção do eixo do pião; o terceiro ângulo, , determina a rotação do pião em relação ao seu eixo. Nesse caso, dois dos ângulos, e , variam em função do tempo e, portanto, há duas velocidades angulares, e .

pião
Figura 5.8: Os 3 graus de liberdade na rotação de um corpo rígido.

No pião da figura, o momento do peso em relação ao ponto de contacto no chão produz rotação no sentido em que o ângulo aumentaria, mas como o pião já tem outra rotação no sentido indicado para o aumento de , o eixo do pião não cai mas desloca-se no círculo indicado na figura.

5.6.1. Rotação com eixo fixo

Quando o eixo de rotação de um corpo rígido permanece fixo em relação a um sistema inercial, a segunda lei de Newton será válida para as acelerações medidas no referencial do corpo rígido. Assim sendo, a equação (3.24) permite calcular a força que atua na massa diferencial em cada ponto

(5.18)

Cada uma dessas forças produz um momento em relação à origem, mas como o corpo rígido pode rodar unicamente em torno do eixo fixo , interessa unicamente calcular a componente , obtida usando unicamente a componente radial do vetor de posição:

(5.19)

Integrando no volume do corpo rígido obtém-se a componente do binário resultante,

(5.20)

A aceleração angular foi colocada fora do integral, por ser igual em todos os pontos do corpo rígido. O integral no lado direito,

(5.21)

é o momento de inércia, do corpo rígido, em relação ao eixo dos .

No integral todos os momentos das forças internas de contacto serão eliminados, em consequência da lei de ação e reação, ficando unicamente a soma dos momentos produzidos pelas forças externas, , , , . Assim sendo, a equação 5.20 conduz à lei da rotação com eixo de rotação fixo:

(5.22)

Exemplo 5.3

Determine o momento de inércia de um cilindro homogéneo, com raio e altura , em relação ao seu eixo de simetria.

Resolução. Como o eixo de rotação é o mesmo eixo do cilindro, o volume do cilindro define-se em coordenadas cilíndricas através das condições: , e (usou-se para a coordenada cilíndrica, para não confundi-la com o raio do cilindro).

O elemento diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é ( ) e, como tal, , em que é a massa volúmica. O momento de inércia é,

Observe-se que a massa do cilindro é obtida pelo integral,

Assim sendo, a expressão para o momento de inércia é:   


No movimento de rotação, o momento de inércia joga um papel semelhante à massa no movimento de translação. Observe-se na semelhança da equação 5.22 com a segunda lei de Newton.

A tabela 5.1 mostra as expressões do momento de inércia de alguns sólidos em relação aos eixos que passam pelo seu centro de massa.

Tabela 5.1: Momentos de inércia de alguns sólidos com massa volúmica constante, para eixos que passam pelo centro de massa.
EsferaCilindro

Paralelepípedo

Esfera
Cilindro
Paralelepípedo
Eixo 1: 
Eixo 2: 

O momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa permite calcular o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo, a uma distância do eixo no centro de massa, usando o teorema dos eixos paralelos:

(5.23)

Também é possível calcular o momento de inércia de um sólido somando os momentos de inércia das várias partes que constituem o sólido, já que o integral 5.21 pode ser escrito como a soma dos integrais nas várias partes. O momento de uma barra suficientemente fina pode também ser obtido a partir da expressão para o cilindro, no limite .

Uma roldana fixa é um exemplo de corpo rígido com eixo de rotação fixo. Se a roldana for homogénea, o centro de massa também estará no eixo de rotação. A figura 5.9 mostra uma roldana de massa e raio , em que o fio acompanha a rotação da roldana, sem deslizar. As forças e momentos externos são o peso, , as tensões na corda nos dois lados da roldana, e , a força de contacto no eixo da roldana, e o binário que é produzido pelo atrito no eixo da roldana, no sentido oposto à rotação da roldana.

Forças e binário numa roldana
Figura 5.9: Forças e binários externos sobre uma roldana.

O peso da roldana e a força de contacto não produzem momento em relação ao eixo. Como a roldana é um cilindro, usando a expressão para o momento de inércia na tabela 5.1, a equação para o binário resultante é,

(5.24)

Quando o atrito no eixo pode ser ignorado,

(5.25)

em que é a aceleração tangencial de um ponto na corda. Observe-se que, independentemente do raio da roldana, quando a massa da roldana for muito menor que e , pode admitir-se que a tensão é igual nos dois lados da corda.

5.6.2. Translação sem rotação

Num corpo rígido com movimento de translação sem rotação, a cada instante a aceleração de todos os pontos é a mesma, igual à aceleração do centro de massa, que é igual à soma das forças externas dividida pela massa do corpo. Como o corpo não roda, a soma dos momentos de todas as forças em relação ao centro de massa deverá ser nula. Há que ter atenção ao facto de que a soma dos momentos é nula unicamente em relação ao centro de massa; em relação a outro ponto P, a soma dos momentos será igual e oposta ao momento da força resultante, que atua no centro de massa, em relação a P.

Exemplo 5.4

O automóvel do exemplo 5.1, acelera durante 20 s, com aceleração tangencial constante, desde o repouso até à velocidade de 60 km/h. Sabendo que o centro de gravidade está a uma altura de 35 cm por cima do chão, determine as forças de reação normal em cada pneu.

Resolução. Ignorando a resistência do ar, a única força externa horizontal é a força de atrito estático, , entre os pneus e a estrada, que deverá apontar no sentido da aceleração. A figura seguinte mostra o diagrama de forças externas.

Forças num automóvel a acelerar

representa a soma das duas reações nos dois pneus da frente e a soma das reações normais dos pneus de atrás. A aceleração tangencial do automóvel é no sentido horizontal e igual a:

A lei do movimento para a translação conduz às equações:

Em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, perpendicular à página, o peso não produz nenhum momento. Os momentos de e são no sentido horário e o momento de é no sentido anti-horário. Como o automóvel não tem movimento de rotação, a aceleração angular é nula e a lei do movimento de rotação é:

A resolução do sistema das 3 equações conduz a,

A reação em cada pneu da frente é 3291 N e em cada pneu de atrás 1209 N.

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

  1. As componentes cartesianas de uma força são . Em qual das posições na lista deveria ser aplicada a força para produzir momento no sentido horário em relação à origem?
  2. Sobre um disco aplicam-se duas forças externas, como se mostra na figura. Calcule o momento resultante, em relação ao ponto O, em unidades de N·m.
    Forças externas numa roda
    1. 0.57
    2. 1.05
    3. 4.35
    4. 5.67
    5. 6.15
  3. Uma peça metálica com massa volúmica constante e massa é construída com dois cilindros da mesma altura, mas raios diferentes , colados um sobre o outro de forma que os seus eixos estejam alinhados. Calcule o momento de inércia da peça em relação ao seu eixo de simetria.
  4. Duas crianças com massas de 30 kg e 45 kg estão sentadas nos dois lados de um sobe e desce. Se a criança mais pesada estiver sentada a 1.2 m do eixo do sobe e desce, a que distância do eixo deverá sentar-se a outra criança para manter o sobe e desce em equilíbrio?
    1. 1.5 m
    2. 0.8 m
    3. 1.8 m
    4. 1.2 m
    5. 0.98 m
  5. Se um objeto é dividido em duas partes, fazendo um corte vertical ao longo de um reta que passa pelo seu centro de gravidade, qual das afirmações acerca dos dois pedaços obtidos é verdadeira?
    1. Devem ter a mesma massa.
    2. Podem ter massas diferentes.
    3. Devem ter o mesmo peso.
    4. Devem ter a mesma área.
    5. Devem ter o mesmo volume.

Problemas

  1. O martelo na figura apoia-se sobre um bloco de madeira de 40 mm de espessura, para facilitar a extração do prego. Sabendo que é necessária uma força de 200 N (perpendicular ao martelo) para extrair o prego, calcule a força sobre o prego e a reação no ponto A. Admita que o peso do martelo pode ser desprezado e em A existe suficiente atrito para evitar que o martelo escorregue.
    Martelo a extrair um prego
  2. Um automóvel com tração frontal acelera uniformemente desde o repouso atingindo uma velocidade de 100 km/h em 11 segundos. Se o peso do automóvel for 9750 N, calcule as reações normais e a força de atrito sobre cada pneu. ¿Qual será o valor mínimo que deverá ter o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada para que o automóvel possa atingir essa aceleração?
    Centro de gravidade de um automóvel
  3. Um armário de 45 kg, montado sobre rodas que o deixam andar livremente sobre o chão, é acelerado por uma força externa de 310 N.
    1. Calcule os valores máximo e mínimo que pode ter a altura para o armário acelerar sem as rodas perderem o contacto com o chão.
    2. Calcule a aceleração do armário, quando estiver entre os valores mínimo e máximo calculados na alínea anterior.
    Armário com rodas a ser empurrado
  4. Usando integração no volume do sólido, demonstre o resultado da tabela 5.1, para o momento de inércia de um paralelepípedo com eixo de rotação perpendicular a uma das faces e passando pelo centro de massa.
  5. Um tronco uniforme tem forma cilíndrica com 48 cm de diâmetro, 3 m de comprimento, massa de 100 kg e está pendurado em posição horizontal, por meio de dois cabos de 2 m, como mostra a figura. O tronco larga-se a partir do repouso na posição em que cada cabo faz um ângulo de 60° com a horizontal. Determine a tensão e a aceleração angular de cada um dos cabos, no preciso instante em que o tronco é largado a partir do repouso.
    Tronco pendurado
  6. A escada na figura está apoiada numa superfície horizontal (ponto A) e numa parede vertical (ponto B). Entre a escada e a superfície horizontal o coeficiente de atrito estático é , enquanto que o atrito da escada com a parede vertical é desprezável. Admitindo que o centro de gravidade da escada se encontra a metade do seu comprimento, calcule o valor mínimo de , para garantir que a escada permaneça em repouso.
    Escada apoiada numa parede
  7. A massa do reboque na figura é 750 kg e está ligado no ponto P a uma trela de um automóvel. A estrada é horizontal e os dois pneus idênticos podem ser considerados como um só, com uma única reação normal e força de atrito desprezável; a resistência do ar também será desprezada. (a) Calcule a reação normal nos pneus e a força vertical no ponto P, quando a velocidade for constante. (b) Quando o automóvel estiver a acelerar, com  m/s2, a força em P terá componentes horizontal e vertical. Calcule essas componentes e a reação normal nos pneus (o momento de inércia das rodas e o atrito com a estrada são desprezáveis).
    Reboque atrelado
  8. A caixa retangular homogénea na figura está ligada a duas dobradiças que lhe permitem rodar para fechar a janela, ou abrir até a posição horizontal apresentada na figura, para dar sombra durante o dia. A corrente que segura a caixa na posição horizontal quebra-se repentinamente e a caixa cai batendo na parede. Desprezando o atrito nos eixos das dobradiças e a resistência do ar, calcule a velocidade angular com que a caixa bate na parede.
    Janela com parasol
  9. O avião na figura, com massa total de  kg, aterra numa pista horizontal. O ponto C representa o centro de gravidade. No instante em que a velocidade é de 210 km/h (para a direita), o piloto liga as turbinas em modo inverso, produzindo a força constante (representada na figura) e após ter precorrido 580 m na pista a velocidade diminui para 70 km/h. Durante esse percurso, as forças de atrito nos pneus e a resistência do ar podem ser ignoradas, em comparação com a força que é muito maior. Calcule a reação normal na roda da frente.
    Avião a aterrar
  10. Um atleta com massa de 91 kg puxa um camião numa estrada horizontal, com velocidade constante, por meio de uma corda amarrada às suas costas. A figura mostra as posições relativas do centro de gravidade do atleta, C, do ponto de apoio do seu pé com o chão, A, e do ponto de ligação com a corda, B.
    1. Calcule o módulo da tensão na corda.
    2. Faça um diagrama com as forças que julga que poderão estar a atuar no camião.
    Atleta a puxar um camião
  11. Para testar os travões, uma bicicleta foi colocada com as rodas para o ar e a roda foi posta a rodar livremente, como mostra a figura. Foi medido o tempo que a roda demorou a dar 10 voltas, obtendo-se o valor de 8.2 s (admita que nesse intervalo a velocidade angular permanece constante). Imediatamente a seguir, aplicaram-se os travões e a roda demorou 2.9 s até parar completamente. A figura mostra a força de atrito entre os calços e o aro, que é tangente ao aro e aplicada a uma distância de 27.1 cm do eixo da roda.
    1. Admitindo que a força é constante, a aceleração angular que ela produz também será constante; calcule essa aceleração angular.
    2. Calcule o número de voltas efetuadas pela roda durante o tempo em que os travões atuaram.
    3. Sabendo que o momento de inércia da roda, em relação ao seu centro, é igual a 0.135 kg·m2, calcule o módulo da força .
    Roda  de bicicleta
  12. O cilindro de 1.5 kg na figura desce verticalmente, fazendo acelerar o bloco de 5 kg sobre a mesa horizontal. A roldana pode ser considerada um disco uniforme de massa 0.4 kg. O fio faz rodar a roldana, sem deslizar sobre a sua superfície. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0.2. Determine o valor da aceleração do bloco e do cilindro, desprezando o atrito no eixo da roldana, a massa do fio e a resistência do ar.
    Sistema com bloco, roldana e cilindro
  13. Uma roda A, com raio de 20 cm, massa de 600 g e raio de giração de 12 cm (relativo ao seu eixo), está ligada a um motor que produz binário  N·m no sentido indicado na figura. A roda B, com raio de 15 cm, massa de 400 g e raio de giração de 10 cm (relativo ao seu eixo) mantém-se em contacto com a roda A, sem deslizar. A roda B está ligada ao seu eixo por meio de um rolamento, que faz com que o atrito no eixo seja desprezável. Determine a aceleração angular da roda B. Sugestão: analise separadamente os diagramas de corpo livre das duas rodas, tendo em conta que entre as rodas há força de atrito.
    Rodas em contacto
  14. Para medir o momento de inércia de uma roldana com raio de 5 cm, colou-se um fio que foi logo enrolado e ligado a um cilindro de massa  g. O cilindro desce livremente desenrolando o fio e a aceleração angular da roldana foi medida, obtendo-se o valor  rad/s2. Sabendo que o atrito no eixo da roldana produz um binário constante  N·m, no sentido indicado na figura, encontre o momento de inércia da roldana em relação ao seu eixo.
    Roldana com atrito no eixo
  15. Encontre a expressão do momento de inércia de um cilindro de massa e raio , com um orifício cilíndrico, coaxial, de raio (menor que ), em torno do eixo do cilindro. Sugestão: Determine a massa que teria o cilindro completo, sem orifício, em função de , e a massa do cilindro que é removido quando se faz o orifício; o momento de inércia é igual ao momento de inércia do cilindro completo (consulte a tabela 5.1), mais o momento de inércia do cilindro que foi removido, admitindo que a massa deste último seja negativa!
    Cilindro oco

Respostas

Perguntas: 1. E. 2. D. 3. C. 4. C. 5. B.

Problemas

  1. O prego exerce uma força de 1000 N, para baixo. (N)
  2. Pneus da frente:  N,  N. Pneus trazeiros:  N, (admitindo que as rodas trazeiras são perfeitamente livres). O coeficiente de atrito estático mínimo é 0.416.
  3. (a) Altura mínima 38.6 cm, máxima 135.4 cm (b) (m/s2)
  4. Neste caso e o volume do sólido é definido por , , .
  5.  N,  N,  rad/s2
  6. 0.21
  7. (a)  N,  N. (b)  N,  N,  N.
  8. 5.274 s
  9.  N.
  10. (a) 559 N. (b) No camião atuam a tensão da corda, , o peso, , as reações normais nas rodas, e , e as forças de atrito nas rodas, e :
    Forças no camião
  11. (a) 2.64 s2. (b) 1.77 voltas. (c) 1.32 N.
  12. 0.7313 m/s2.
  13. 67.72 s−2
  14. 0.0062 kg·m2
Errada

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Errada

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Errada

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Errada

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Certa

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Errada

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Errada

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Errada

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Certa

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Errada

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Certa

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Errada

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Certa

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Certa

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