Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Apêndice B

B. Equações de Lagrange

Neste apêndice mostra-se como surgem as equações de Lagrange a partir da segunda lei de Newton. Considere-se um sistema formado por corpos rígidos com vetores posição dos centros de massa: , , …, . Ou seja, são necessárias 3  coordenadas, que podem ser distâncias ou ângulos, para determinar a configuração do sistema.

Se o sistema é holonómico, existem equações que relacionam algumas das 3  coordenadas e que permitem reduzir o número de coordenadas independentes para coordenadas generalizadas (  < 3  ):

Cada vetor de posição pode depender de várias dessas coordenadas e do tempo:

e a velocidade do corpo é

ou seja, também depende das coordenadas generalizadas, do tempo e das velocidades generalizadas :

e as derivadas parciais de obtêm-se derivando o somatório acima:

(B.1)

O vetor aceleração do corpo é:

(B.2)

Se num instante dado o valor de cada coordenada é modificado para , cada vetor posição sofre uma alteração:

(B.3)

e multiplicando escalarmente os dois lados da equação B.2 pelos dois lados desta equação, obtém-se

(B.4)

Como a derivada do produto é,

De acordo com as equações B.1, a derivada e o termo dentro dos parêntesis no lado direito da equação são as derivadas parciais de em ordem a e , obtendo-se assim o resultado:

e a equação B.4 pode escrever-se então,

(B.5)

A seguir observe-se que as derivadas parciais de em ordem às coordenadas e velocidades generalizadas são:

substituindo estas duas expressões na equação B.5 e multiplicando os dois lados da equação pela massa do corpo , obtém-se

onde é a energia cinética do corpo . A segunda lei de Newton diz que é a força resultante sobre o corpo ; usando a expressão B.3 e somando sobre todos os corpos , obtém-se

que conduz às equações de Lagrange:

(B.6)

onde é a energia cinética total do sistema e a força generalizada é definida por

(B.7)