Dinâmica e Sistemas Dinâmicos

Formulário

1. Cinemática


2. Cinemática vetorial


Movimento relativo:


3. Movimento curvilíneo


Movimento circular:


Rotação plana:


4. Mecânica vetorial


Esfera num fluido:

 ( )
 ( )

5. Dinâmica dos corpos rígidos


6. Trabalho e energia


7. Sistemas dinâmicos


Sistemas conservativos:


Ponto de equilíbrio: (estável ou instável).

Ciclo: curva fechada no espaço de fase.

Órbita homoclínica: começa e termina no mesmo ponto de equilíbrio instável.

Órbita heteroclínica: liga vários pontos de equilíbrio instável.

8. Mecânica lagrangiana

= força de ligaçãoj

9. Sistemas lineares


Valores próprios:

Valores próprios λTipo de pontoEstabilidade
2 reais; sinais opostosponto de selainstável
2 reais, positivosnó repulsivoinstável
2 reais, negativosnó atrativoestável
2 complexos; parte real positivafoco repulsivoinstável
2 complexos; parte real negativafoco atrativoestável
2 imaginárioscentroestável
1 real, positivonó impróprio repulsivoinstável
1 real, negativonó impróprio atrativoestável

10. Sistemas não lineares

Matriz jacobiana:

(Em cada ponto de equilíbrio é a matriz da aproximação linear do sistema.)

11. Ciclos limite e dinâmica populacional

Ciclo limite: Ciclo isolado no espaço de fase.

Sistemas de duas espécies:

= 0
= 0

12. Sistemas caóticos

Conjunto limite positivo: = onde se aproxima a curva em →∞

Conjunto limite negativo: = onde se aproxima a curva em →−∞

Divergência:

Teorema de Poincaré-Bendixson. Num sistema com apenas duas variáveis de estado, se existir ou , deverá ser um dos três casos seguintes:

  1. ponto de equilíbrio;
  2. ciclo;
  3. órbita homoclínica ou heteroclínica.

Com 3 ou mais variáveis de estado, um conjunto limite que não seja nenhum desses 3 casos é um atrator estranho.

Critério de Bendixson. Num sistema dinâmico com apenas duas variáveis de estado, se numa região simplesmente conexa do espaço de fase a divergência é sempre positiva ou sempre negativa, nessa região não existem nem ciclos nem órbitas.