3. Movimento curvilíneo

Introdução

Montanha russa

As fortes acelerações sentidas numa montanha russa não são devidas apenas aos aumentos e diminuições de velocidade, mas são causadas também pelo movimento curvilíneo. A taxa de aumento da velocidade é apenas uma das componentes da aceleração, a aceleração tangencial. A outra componente da aceleração depende da velocidade e do raio de curvatura da trajetória como se demonstra neste capítulo.

3.1. Versor tangencial

Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial , na direção tangente à trajetória e no sentido em que a posição aumenta. A figura 3.1 mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.

Versor tangencial numa trajetoria
Figura 3.1: Versor tangencial em três pontos da trajetória.

Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. Um deles é tangente à curva entre B e P e o outro é tangente à curva entre P e Q. O vetor velocidade de um corpo que segue essa trajetória será sempre na mesma direção do versor tangencial (o sentido pode ser o mesmo ou oposto). Nos pontos como P, onde existem dois vetores tangenciais, a velocidade é necessariamente nula; o corpo fica momentaneamente em repouso nesse ponto, começando logo a deslocar-se em outra direção diferente à que seguia antes de parar.

Nos pontos onde a velocidade não é nula, existe sempre um único versor tangencial , que define a direção do vetor velocidade. Ou seja, a velocidade vetorial pode ser escrita,

(3.1)

Conforme referido no capítulo 2, a velocidade vetorial é igual à derivada do vetor posição

(3.2)

O vetor posição não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura 3.2). No entanto, o vetor deslocamento sim é independente da escolha da origem e, assim sendo, a equação 3.2 garante que o vetor velocidade é independente da escolha da origem do referencial.

Deslocamento e trajetoria
Figura 3.2: Deslocamento vetorial entre duas posições e + Δ  .

Se Δ  for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo (figura 3.2), a distância percorrida durante esse intervalo, , é sempre maior ou igual que o módulo de Δ  . A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.

O módulo de Δ  só é igual a Δ  quando a trajetória é reta, com versor tangencial constante. No limite quando Δ  for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e, assim sendo, a direção de Δ  será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de Δ  será aproximadamente igual a ; isto é, o vetor deslocamento é aproximadamente igual a . A derivada do vetor posição é então,

(3.3)

E, substituindo na equação 3.2, obtém-se,

(3.4)

O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da posição na trajetória, , em ordem ao tempo. Este resultado explica porquê no capítulo 1 denominou-se "velocidade" à derivada , já que não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.

3.2. Versor normal

A aceleração vetorial é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, derivando o lado direito da equação 3.4 obtém-se a expressão da aceleração em relação ao versor tangencial:

(3.5)
Variacao do versor tangencial

Figura 3.3: Variação do versor tangencial.

Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura 3.3 mostra como calcular a derivada de . Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da figura 3.1 para um ponto comum, o aumento de no intervalo desde A até B é o vetor que une os dois vetores.

Sendo o módulo de igual a 1, os dois versores na figura 3.3 descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo Δ  . Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a Δ  . Se o intervalo de tempo Δ  for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo Δ  ; conclui-se que a derivada de é,

(3.6)

em que é o versor normal, perpendicular à trajetória, e representa o valor da velocidade angular. Substituindo essa derivada na equação 3.5, obtém-se a expressão para a aceleração:

(3.7)

Concluindo, a aceleração é um vetor com componentes tangente e normal (perpendicular) à trajetória. A componente na direção tangente, , é a aceleração tangencial já introduzida no capítulo 1. A componente normal da aceleração é igual ao produto do valor da velocidade pelo valor da velocidade angular ,

(3.8)

Tendo em conta que os versores e são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação 3.7 implica que o módulo da aceleração, , é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então,

(3.9)

O ângulo de rotação do versor tangencial, Δ  , é também igual ao ângulo de rotação do versor normal . A figura 3.4 mostra os versores normais nos mesmos pontos da trajetória mostrados na figura 3.1. Observe-se que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, chama-se ponto de inflexão.

Versores tangencial e normal
Figura 3.4: Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória.

No ponto P da figura 3.4 existem duas direções normais, porque, como foi discutido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial .

Raio de curvatura da trajetoria

Figura 3.5: Raio de curvatura.

A figura 3.5 mostra o versor normal no ponto inicial A (no instante ) e o ponto final B (no instante + Δ  ) durante um intervalo de tempo Δ  . Se Δ  é muito pequeno, as direções dos dois versores cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes ( e ), mas serão iguais no limite Δ  → 0, em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva. A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, , da trajetória.

Em cada ponto da trajetória existem um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento pode ser aproximado por um arco de circunferência de raio e ângulo ; a distância percorrida é o comprimento desse arco, . Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é,

(3.10)

Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular é igual ao valor da velocidade, , dividida pelo raio de curvatura nesse ponto. Usando este resultado, a componente normal da aceleração, , pode ser escrita do modo seguinte

(3.11)

O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, , também costuma chamar-se aceleração centrípeta.

Observe-se que a aceleração tangencial, , pode ser positiva ou negativa, mas a aceleração normal, ou centrípeta, é sempre positiva, porque o produto é sempre positivo ( e ambos aumentam, se o movimento é no sentido do versor tangencial, ou ambos diminuem se o movimento é no sentido oposto).

Exemplo 3.1

A posição de uma partícula, em função do tempo , é dada pela expressão (SI):

Determine a expressão para o raio de curvatura da trajetória em função do tempo e calcule o raio de curvatura em = 0 e = 1.

Resolução: Para determinar a expressão do raio de curvatura é necessário saber as expressões do valor da velocidade e da componente normal da aceleração, em função do tempo. Essas expressões podem ser obtidas a partir da velocidade e da aceleração. Usando o Maxima calculam-se esses vetores do modo seguinte

(%i1) vetor_r: [5*t, 3*t^2/2, 2*(1-t^2)]$
(%i2) vetor_v: diff (vetor_r, t);
(%o2)     
(%i3) vetor_a: diff (vetor_v, t);
(%o3)     

Os valores da velocidade, , e da aceleração, , são os módulos desses vetores (o produto escalar no Maxima representa-se por um ponto entre os vetores):

(%i4) v: sqrt (vetor_v.vetor_v);
(%o4)     
(%i5) a: sqrt (vetor_a.vetor_a);
(%o5)     

Observe-se que o valor da aceleração é constante, o que implica uma trajetória parabólica ou linear. Para calcular a componente normal da aceleração, calcula-se primeiro a componente tangencial da aceleração, ,

(%i6) at: diff (v, t);
(%o6)     

e, usando a equação 3.9, obtém-se a componente normal da aceleração:

(%i7) an: ratsimp (sqrt (a^2 - at^2));
(%o7)     

As componentes tangencial e normal da aceleração dependem do tempo, embora o valor da aceleração seja constante; isso já aponta para o facto de que a curvatura da trajetória não será constante e, como tal, a trajetória será parabólica. Usando a equação 3.11 determina-se a expressão para o raio de curvatura:

(%i8) R: ratsimp (v^2/an);
(%o8)     

Nos instantes  = 0 e  = 1 os raios de curvatura são,

(%i9) subst (t=0, R);
(%o9)     
(%i10) float (subst (t=1, R));
(%o10)     

3.3. Movimento circular

No caso em que o raio de curvatura é constante e o centro de curvatura permanece fixo, a trajetória é uma circunferência e o movimento é circular, como no caso ilustrado na figura 3.6. Para determinar a posição em cada instante, basta um único grau de liberdade, que pode ser a posição na circunferência, , ou o ângulo .

Movimento circular
Figura 3.6: Duas posições numa trajetória de um movimento circular.

A relação entre o ângulo e a posição na trajetória, se a origem usada para medir as duas e o sentido positivo são os mesmos (ver figura 3.6), é

(3.12)

Sendo constante, derivando os dois lados da equação anterior obtém-se,

(3.13)

em que é a velocidade angular. A equação 3.13 é a mesma equação 3.10, que aqui foi obtida no caso particular do movimento circular, em que é constante, mas trata-se de uma equação geral, válida em qualquer movimento. Derivando os dois lados da equação 3.13 em ordem ao tempo obtém-se,

(3.14)

onde é o valor da aceleração angular. A aceleração centrípeta é dada pela equação 3.11, que pode ser escrita também em função do valor da velocidade angular,

(3.15)

No caso particular em que a velocidade angular é constante, a velocidade linear também será constante, as acelerações angular e tangencial serão nulas e o movimento chama-se movimento circular uniforme. Nesse caso, como a velocidade angular é constante, a derivada pode calcular-se dividindo o ângulo num intervalo de tempo qualquer, pelo valor desse intervalo de tempo:

(3.16)

Num intervalo de tempo igual ao período, , do movimento circular uniforme, o ângulo corresponde a uma volta completa, Δ   = 2  , e a equação anterior conduz a uma expressão para o período,

(3.17)

A frequência de rotação, , igual ao inverso do período, é o número do voltas que o ponto dá por unidade de tempo.

A relação entre o ângulo de rotação e os valores da velocidade angular e da aceleração angular , é análoga à relação entre a posição na trajetória, , o valor da velocidade, , e a aceleração tangencial, ,

(3.18)

Estas são as equações cinemáticas para o movimento de rotação, que podem ser resolvidas usando os mesmos métodos usados no capítulo 1. As equações 3.12, 3.13 e 3.14 mostram que as variáveis cinemáticas de translação ( , , ) sou todas iguais ao produto da respetiva variável cinemática de rotação, ( , , ), pelo raio de curvatura .

3.4. Cinemática dos corpos rígidos

A figura 3.7 mostra um corpo rígido em movimento. O ponto O' é a origem de um referencial externo fixo e o ponto O é um ponto do corpo, usado como origem de um referencial O que se desloca com o corpo.

Referencial fixo a um corpo rígido
Figura 3.7: Corpo rígido em movimento e referencial O que se desloca com ele.

Um ponto P do corpo rígido tem vetor posição , no referencial fixo, e no referencial que se desloca com o corpo rígido. A relação entre esses dois vetores é a seguinte

(3.19)

No referencial O , em que o ponto O está estático, qualquer possível movimento do corpo rígido deixará sempre estáticos os pontos numa reta que passa por O. Seria impossível conseguir que todos os pontos, excepto O, mudassem de posição. A reta que passa por O e que permanece estática é o eixo de rotação do sólido, e na figura 3.7 foi escolhido como eixo dos . Em diferentes instantes o eixo de rotação pode ser diferente, mas aqui será discutido o caso da rotação plana, em que os eixos , e permanecem sempre nas mesmas direções.

Conforme referido na secção 2.2, como o referencial O tem apenas movimento de translação e as direções dos 3 eixos permanecem constantes, a velocidade e a aceleração do ponto P, em relação ao referencial fixo, são iguais à velocidade e aceleração em relação ao referencial do corpo rígido, mais a velocidade e aceleração do ponto O, relativas ao referencial fixo

(3.20)

O módulo do vetor e o ângulo que esse vetor faz com eixo dos permanecem constantes (figura 3.7). O ponto P descreve um movimento circular, num plano paralelo ao plano , com centro no eixo dos e com raio , como mostra a figura 3.8.

Rotação de um corpo rígido
Figura 3.8: Trajetória no referencial do corpo rígido.

A velocidade e a aceleração , relativas ao referencial que se desloca com o corpo rígido, são a velocidade e a aceleração do movimento circular do ponto P. De acordo com os resultados da secção anterior, o valor da velocidade é,

(3.21)

e as componentes normal e tangencial da aceleração são,

(3.22)

Para expressar a velocidade e aceleração de forma vetorial, é conveniente introduzir coordenadas cilíndricas. A figura 3.9 mostra as três coordenadas cilíndricas ( , , ) do Ponto P. O plano que passa por P, paralelo ao plano , corta o eixo dos num ponto Q; é a distância desde esse ponto até à origem O e é a distância desde o ponto P até o ponto Q. O ângulo é o ângulo que a projeção do segmento , no plano , faz com o semi eixo positivo dos .

Coordenadas cilíndricas
Figura 3.9: Coordenadas cilíndricas.

Os três versores perpendiculares associados às coordenadas cilíndricas são os versores , e . O versor é fixo; os outros dois versores apontam em diferentes direções nos diferentes pontos do espaço, mas estão sempre num plano paralelo ao plano . O versor tem a direção do segmento , no sentido que se afasta do eixo dos . O versor tem direção tangente à circunferência com centro em Q e que passa pelo ponto P, no sentido em que aumenta.

A direção da velocidade é a mesma do versor . Como o valor da velocidade angular é a derivada do ângulo em ordem ao tempo, positiva corresponde a rotação no sentido em que aumenta e negativa implica rotação no sentido oposto. Assim sendo, a expressão para a velocidade é,

(3.23)

A componente tangencial da aceleração é na direção do versor e a direção da componente normal é a direção do versor , mas no sentido oposto; assim sendo conclui-se que,

(3.24)

3.5. Vetor aceleração angular

É conveniente definir a velocidade angular como um vetor , na direção do eixo de rotação, tal como se mostra na figura 3.10. O vetor tem módulo igual ao valor da velocidade angular, , direção paralela ao eixo de rotação e sentido segundo a regra da mão direita para a rotação, ou seja, imaginando um sistema de eixos cartesianos em que o eixo dos aponta na direção e sentido de , o corpo rígido roda de forma a que o eixo dos se aproxime do eixo dos . Também pode fechar-se o punho direito e estender o dedo polegar apontando no sentido de e o sentido de rotação é o sentido em que se curvam os outros 4 dedos.

Vetores velocidade angular e posição
Figura 3.10: Vetores velocidade angular e posição.

A vantagem de usar um vetor para representar a velocidade angular é que o vetor define no espaço o plano do movimento circular, o seu sentido e o valor da velocidade angular. A equação 3.23 pode ser escrita de forma vetorial, independente do sistema de coordenadas utilizado, através do produto vetorial,

(3.25)

O produto vetorial entre dois vetores e define-se como outro vetor , com módulo igual ao produto dos módulos de e e o seno do ângulo entre eles. Em particular, o módulo do produto vetorial é . A figura 3.10 mostra o ângulo entre os vetores; note-se que é sempre positivo, porque está entre 0 e . O produto é igual a , já que essa distância é medida no plano de rotação, que é perpendicular ao vetor . Assim sendo, o módulo de é igual a , que é igual ao módulo de .

A direção de é perpendicular ao plano formado por e , seguindo a regra da mão direita de para : se o dedo indicador da mão direita aponta no sentido de e o dedo médio no sentido de , então o dedo polegar indica o sentido de . A figura 3.10 mostra o plano formado por e , que é perpendicular ao plano , de modo que a direção de é paralela ao plano e perpendicular ao plano de e ; o sentido de obtém-se pela regra da mão direita de para .

O produto vetorial não é comutativo; ou seja, e ) não são iguais porque têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentidos opostos. Sendo o ângulo de um vetor consigo próprio zero, o produto é nulo. Em particular, = = = 0. O produto vetorial de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular ao plano deles; é fácil conferir que = , = e = . Usando estas propriedades e a lei distributiva do produto vetorial, obtém-se uma expressão para o produto em função das componentes cartesianas dos vetores

(3.26)

resultado esse que pode ser escrito de forma mais compacta através de um determinante:

(3.27)

Observe-se que na figura 3.10 o triângulo sombrejado tem base igual a e altura igual a ; assim sendo, a sua área é igual a metade do módulo do produto vetorial da velocidade angular pelo vetor posição: . Em geral,

A área do triângulo formado por dois vetores com origem comum é igual a metade do módulo do produto vetorial dos vetores.

As componentes da aceleração dum ponto do corpo rígido, em relação ao referencial que se desloca com o corpo rígido, dadas pela equação 3.24, podem ser escritas também usando produtos vetoriais:

(3.28)

onde é o vetor aceleração angular, igual à derivada do vetor velocidade angular. Lembre-se que este resultado é válido unicamente na rotação plana, em que os eixos do referencial em movimento permanecem sempre nas mesmas direções e o cálculo da derivada de para obter deve ser feito nesse sistema de eixos.

Exemplo 3.2

Cola-se um extremo de um fio numa roldana com raio de 5 cm, enrolando-o e pendurando um bloco do outro extremo (ver figura). No instante inicial o bloco e a roldana estão em repouso e o ponto P da roldana encontra-se à mesma altura do seu centro C. O bloco começa a descer, com aceleração constante de valor igual a /4. Determine a velocidade e a aceleração do ponto P, dois segundos após o instante inicial.

Sistema com roldana e bloco

Sistema de coordenadas para o sistema de roldana e bloco

Resolução. Escolhe-se um sistema de coordenadas, que pode ser o que se mostra na figura, com origem no centro da roldana. A figura mostra também a posição do ponto P quando a roldana já rodou um ângulo desde a posição inicial. O vetor posição do ponto P é,

Para calcular a velocidade do ponto P, é necessária também a velocidade angular, que pode ser obtida a partir do valor da velocidade do bloco. Para encontrar uma expressão para o valor da velocidade do bloco, integra-se a equação

Como todos os pontos do fio têm esse mesmo valor da velocidade e os pontos da superfície acompanham o movimento do fio, esse será também o valor da velocidade dos pontos na superfície da roldana e o valor da velocidade angular da roldana será . A velocidade angular é perpendicular ao plano e, como a rotação é no sentido anti-horário, será,

A velocidade do ponto P é igual ao produto vetorial da velocidade angular pelo vetor posição do ponto P:

Se o centro da roldana estivesse em movimento, era necessário adicionar a velocidade do centro. Observe-se que o mesmo resultado podia ter sido obtido derivando em ordem ao tempo, mas seria necessário obter primeiro a expressão para em função do tempo e os cálculos seriam mais complicados.

A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em ordem ao tempo,

e a aceleração do ponto P é,

Para encontrar a expressão para em função do tempo, integra-se a equação

substituindo os valores de = 2, = 0.05 e = 9.8, em unidades SI, obtêm-se a velocidade e a aceleração nesse instante,

3.6. Movimentos de translação e de rotação dependentes

Numa roda em movimento sobre uma superfície, sem derrapar, o ângulo de rotação e o deslocamento da roda estão relacionados. Na figura 3.11, uma roda de raio desloca-se para a direita, sobre uma superfície, sem derrapar.

Roda que se desloca rodando sem derrapar
Figura 3.11: Roda que se desloca rodando sem derrapar.

Num instante inicial um ponto P da roda está em contacto com a superfície; após alguns instantes, a roda rodou um ângulo e o centro da roda percorreu uma distância . O arco de circunferência deverá ser igual à distância percorrida , já que todos os pontos nesse arco estiveram em contacto com pontos da superfície.

(3.29)

derivando os dois lados da equação, obtém-se a relação entre a velocidade do centro C e a velocidade angular,

(3.30)

e derivando novamente, observa-se que a aceleração de tangencial de C é igual ao produto do raio pela aceleração angular:

(3.31)

No caso das roldanas, se a roldana roda sem o fio derrapar sobre a sua superfície, os pontos na superfície da roldana terão a mesma velocidade do fio e subtraindo a velocidade do centro da roldana obtém-se a velocidade do ponto na superfície da roldana, relativa à roldana; o valor dessa velocidade relativa, dividido pelo raio da roldana, deverá ser igual à velocidade angular da roldana.

Exemplo 3.3

A roldana fixa no sistema da figura tem raio de 3 cm e a roldana móvel tem raio de 5 cm. Calcule o valor da velocidade do carrinho e das velocidades angulares das roldanas, no instante em que o cilindro desce com velocidade de valor 1.5 m/s, admitindo que o fio não derrapa nas roldanas.

Carrinho e cilindro ligados por um sistema de roldanas

Resolução. Este sistema já foi estudado na secção 2.4 onde mostrou-se que o valor da velocidade do carrinho é o dobro da velocidade do cilindro. Assim sendo, o valor da velocidade do carrinho é 3 m/s.

Na roldana fixa, o valor da velocidade dos pontos na superfície será o mesmo que no carrinho, 3 m/s e, como tal, o valor da velocidade angular da roldana fixa é,

O centro da roldana móvel também desce a 1.5 m/s. No ponto da sua superfície, no lado direito, o fio está estático e, assim sendo, esse ponto desloca-se para cima, em relação ao centro, com velocidade de valor 1.5 m/s. O ponto na superfície da roldana, no lado esquerdo, desloca-se para baixo, com a velocidade do carrinho, 3 m/s, de modo que em relação ao centro da roldana desloca-se para baixo, com velocidade de valor 1.5 m/s. O valor da velocidade angular da roldana móvel é,

A parte do fio no lado direito da roldana móvel, que permanece estático, pode ser considerado como uma superfície vertical em que a roldana roda como uma roda sobre uma superfície. O valor da velocidade do centro da roda, que é igual ao valor da velocidade do cilindro, é igual ao produto do valor da velocidade angular da roda pelo raio da roda. O valor da velocidade do ponto mais à esquerda na roda, que é o valor da velocidade do carrinho, é o produto do valor da velocidade angular da roda pelo diâmetro da roda. Essa é outra forma de explicar porque o valor da velocidade do carrinho é o dobro do valor da velocidade do cilindro, porque o diâmetro da roda é o dobro do seu raio.

Exemplo 3.4

A barra na figura tem 2 metros de comprimento e está apoiada no chão no ponto A e numa parede no ponto B. No instante inicial a distância é igual a  m e o ponto A começa a deslocar-se para a esquerda com valor da velocidade que dependente de de acordo com a expressão (SI),

em quanto o ponto B desliza pela parede. Determine os valores da velocidade angular da barra e da velocidade do ponto B, em função de .

Barra apoiada no chão e numa parede

Resolução. Este sistema tem um único grau de liberdade, que pode ser a variável . Sendo o comprimento da barra igual a 2, as relações entre e com o ângulo são,

Os valores das velocidades dos pontos A e B são os valores absolutos das derivadas de e em ordem ao tempo e derivando as equações acima obtém-se

em que é o valor da velocidade angular da barra.

Pelo teorema de Pitágoras, . Substituindo esta expressão e a expressão dada para na primeira equação acima, obtém-se a expressão para o valor da velocidade angular da barra,

e substituindo na equação para , obtém-se,

A figura 3.12 mostra o gráfico do valor da velocidade de B, desde o instante inicial, em que , até o instante em que a barra para, em . A velocidade tem um valor máximo de aproximadamente 9.7 cm/s, quando o ângulo é aproximadamente 57°.

Velocidade do ponto B
Figura 3.12: Valor da velocidade do ponto B em função de (unidades SI).

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

  1. No intervalo de tempo 0 <   < 1, o valor da velocidade de um objeto em função do tempo verifica a expressão . Se a trajetória do objeto for uma reta, qual das cinco funções na lista poderá ser a expressão correta para o valor da aceleração?
  2. Um objeto com movimento circular tem aceleração angular com valor constante  radiano/s2. Se o objeto parte do repouso, quanto tempo, em segundos, demorará a completar as primeiras 3 voltas?
  3. Um ponto num objeto descreve numa trajetória curva, com velocidade de valor constante. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
    1. A aceleração é perpendicular à trajetória.
    2. O valor da aceleração é constante.
    3. A aceleração é tangente à trajetória.
    4. A aceleração é constante.
    5. A aceleração é nula.
  4. Um projétil é lançado com velocidade inicial com valor e direção inclinada que faz um ângulo com o plano horizontal. Determine o raio de curvatura da trajetória parabólica no instante inicial.
  5. O movimento circular de uma roda de raio é transmitido para outra roda de raio , através de uma correia que se desloca com as rodas, sem derrapar. Qual é a relação entre os valores das velocidades angulares e de ambas rodas?

    Rodas interligadas por uma correia

Problemas

  1. No intervalo de tempo 0 ≤ ≤ 10, os valores da velocidade e da aceleração de uma partícula com movimento em 3 dimensões são dadas pelas funções: e (unidades SI). Encontre, no mesmo intervalo de tempo, as expressões para:
    1. A componente tangencial da aceleração.
    2. A componente normal da aceleração.
    3. O raio de curvatura.
  2. Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que o valor da velocidade diminua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando a figura, faça uma estimativa do raio de curvatura da estrada e calcule o valor da aceleração do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem.
    Carro a travar numa curva
  3. A equação da trajetória de um objeto é: (unidades SI e ângulos em radianos).
    1. Demonstre que o movimento do objeto é circular uniforme.
    2. Determine o valor da velocidade angular do objeto e o seu período.
    3. Encontre a posição do centro da trajetória circular.
  4. Um piloto de corridas de aviões executa um loop vertical, igual a meia circunferência de raio 1200 m. O valor da velocidade no ponto A, no início do loop, é 160 m/s e no ponto C, no fim do loop, é 140 m/s. Calcule o valor da aceleração no ponto B, no meio do loop, admitindo que a aceleração tangencial permanece constante durante o loop (observe que também é negativa).
    Avião a realizar um loop
  5. (a) Calcule a área do triângulo com vértices nos pontos A, B e C, com coordenadas cartesianas A = (3, 5, 4), B = (−1,2,1) e C = (2,−2,2).
    (b) Demonstre a Lei dos senos, para um triângulo com lados de comprimentos , e ,
    em que , e são os ângulos opostos aos lados , e .
  6. Dois carros A e B passam por uma curva usando trajetórias diferentes. A figura mostra a curva delimitada pela reta C. O carro B faz um percurso semicircular com raio de 102 m; o carro A avança uma distância em linha reta, a seguir segue um semicírculo com raio 82 m e termina com outro trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à velocidade máxima que podem ter para conseguir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que produz uma aceleração normal de 0.8  , onde é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva.
    Dois carros numa curva
  7. Uma partícula segue a trajetória que mostra a figura, partindo do repouso em A e aumentando a velocidade com aceleração constante até o ponto B. Desde B até E mantém velocidade constante de 10 m/s e a partir de E começa a abrandar, com aceleração constante, até parar no ponto F. A distância AB é 60 cm, CD é 20 cm e EF é 45 cm; o raio do arco BC é 60 cm e o raio do arco DE é 45 cm. Determine:
    1. O módulo da aceleração da partícula em cada um dos trajetos AB, BC, CD, DE e EF.
    2. O tempo total do movimento desde A até F e a velocidade média nesse percurso.
    Trajetória com duas curvas
  8. A roda na figura tem duas partes com raios de 3 cm e 6 cm, que estão em contacto com duas barras horizontais A e B. A barra A desloca-se para a direita, com valor da velocidade de 10 m/s e a barra B desloca-se para a esquerda com valor da velocidade de 35 m/s, enquanto a roda mantém o contacto com as duas barras, sem derrapar. Determine para que lado se desloca o centro O da roda e calcule os valores da velocidade do ponto O e da velocidade angular da roda.
    Roda dupla
  9. Uma roda com 20 cm de raio desloca-se, sem derrapar, sobre uma superfície plana, ao longo do eixo dos . No instante  = 0 o centro da roda encontra-se em  = 0 e  = 20 cm e os pontos P e Q da roda são os pontos que estão em  = 0 com  = 0 e  = 10 cm. O valor da velocidade do centro da roda é 2 m/s, constante. (a) Calcule quanto tempo demora a roda a dar duas voltas completas. (b) Represente os gráficos das trajetórias dos pontos P e Q durante o tempo que a roda demora a dar duas voltas.
    Pontos numa roda
  10. Um cilindro com raio de 4 cm está colado a uma roda com 6 cm de raio que se encontra sobre uma superfície horizontal plana, tal como mostra a figura. Uma corda foi enrolada à volta do cilindro e está a ser puxada horizontalmente para a direita, com velocidade constante de valor 2.5 cm/s. O movimento da corda faz rodar a roda sobre a superfície horizontal, sem derrapar.
    1. Determine o valor da velocidade angular da roda.
    2. Diga em que sentido se desloca o ponto O, no eixo da roda e do cilindro, e determine o valor da sua velocidade.
    3. Determine quantos centímetros de corda são enrolados à volta do cilindro a cada segundo.
    Roda e cilindro
  11. Na máquina representada na figura, todas as roldanas têm raio igual a 5 cm. Determine os valores das velocidades angulares das quatro roldanas, quando o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor constante 2 m/s.
    Sistema com tres roldanas
  12. A figura mostra um mecanismo biela-manivela usado para transformar movimento circular em movimento retilíneo ou vice-versa. A manivela é a barra de comprimento que roda à volta de um eixo fixo no ponto O, e a biela é a barra de comprimento que liga a manivela a um pistão que só pode deslocar-se ao longo de uma reta. Se o eixo for escolhido na reta que passa pelo eixo O e o centro P do pistão e for o ângulo entre a manivela e o eixo :
    1. Demonstre que em qualquer instante a posição do ponto P verifica a seguinte expressão:
    2. Encontre a relação entre o valor da velocidade angular da manivela e o valor da velocidade do pistão.
    3. O comprimento deverá ser maior que 2  ; represente o gráfico de em função do ângulo , no caso em que  = 1,  = 4 e  = 1 (SI), no sentido indicado na figura, e mostre que a velocidade do pistão é nula quando for igual a 0 ou 180°.
    Mecanismo biela-manivela

Respostas

Perguntas: 1. E. 2. B. 3. A. 4. E. 5. A.

Problemas

  1. (a)     (b)     (c)
  2. Com raio igual a 16 m, o valor da aceleração é aproximadamente 14 m/s2
  3. (a) O cálculo do módulo do vetor velocidade dá um valor constante  = 16 e as componentes obtidas para a aceleração são e  = 64. Assim sendo, o movimento é uniforme, porque o valor da velocidade permanece constante e circular, porque o movimento é num plano e o raio de curvatura, , é constante. (b)  = 4 rad/s,  =  /2 (segundos). (c) coordenadas (4, 0).
  4. 18.85 m/s2
  5. (a) 14.79 (b) Os três produtos ( ), ( ) e ( ) são todos iguais ao dobro da área do triângulo; igualando cada par de produtos demonstra-se cada uma das igualdades.
  6. 11.74 s para o carro A e 11.33 s para o carro B.
  7. (a) 83.33 m/s2 em AB, 111.11 m/s2 em EF, 166.67 m/s2 em BC e 222.22 m/s2 em DE. (b) 0.395 s e 7.34 m/s.
  8. Para a esquerda, com  = 20 m/s e  = 500 s .
  9. (a) 1.26 s (b)
    Cicloides
  10. (a) 1.25 s−1, no sentido dos ponteiros do relógio. (b) Para a direita com velocidade de valor 7.5 cm/s. (c) 5 cm (a corda enrola-se no cilindro, porque este roda no sentido dos ponteiros do relógio).
  11. De esquerda para direita, 5 s , 10 s , 20 s e 40 s .
  12. (b)
    (c) Em igual a 0 ou a 180°, e são ambas nulas, e a expressão da velocidade do ponto P dá o valor 0.
    Velocidades em função da velocidade angular da manivela
Errada

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a .

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Errada

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a .

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Errada

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a .

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Errada

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a .

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Certa

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a .

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Errada

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de .

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Certa

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de .

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Errada

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de .

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Errada

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de .

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Errada

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de .

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Certa

A aceleração só tem componente normal porque a aceleração tangencial (derivada do valor da velocidade) é nula.

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Errada

A aceleração normal, relacionada com a mudança da direção da velocidade, pode ter qualquer valor e, como tal, a celeração total pode variar.

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Errada

A aceleração total não pode ser tangente à trajetória porque a componente tangencial da aceleração (derivada do valor da velocidade) é nula.

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Errada

Existem movimentos curvilíneos com aceleração constante. Um exemplo é o movimento parabólico de um projétil. No entanto, como a aceleração normal está sempre a mudar de direção, é necessário que exista também aceleração tangencial para compensar a variação da aceleração normal. Neste caso, como não há aceleração tangencial, a aceleração total não pode ser constante.

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Errada

Se a aceleração fosse nula, o movimento deveria ser retilíneo mas neste caso a trajetória é curva.

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Errada

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

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Errada

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

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Errada

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

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Errada

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

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Certa

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

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Certa

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rudas devem ser iguais.

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Errada

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rudas devem ser iguais.

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Errada

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rudas devem ser iguais.

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Errada

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rudas devem ser iguais.

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Errada

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rudas devem ser iguais.

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