Problemas Resolvidos

1. Cinemática

Problema 2

A aceleração de um objeto que se desloca no eixo dos é  m/s2. Se em , m/s e , determine a velocidade e a posição em  s e a distância total percorrida entre e  s.

Para calcular a velocidade em , substitui-se o valor constante da aceleração na equação que relaciona a aceleração com a velocidade e o tempo

Separando variáveis e integrando, encontra-se a velocidade em

Para calcular a posição final, substitui-se o valor da aceleração na equação que relaciona a aceleração com a velocidade e a posição

Separando variáveis e integrando,

O valor negativo da velocidade final quer dizer que o objeto deslocou-se até um ponto onde parou e em está de regresso na direção da origem. Para calcular a distância total percorrida é necessário determinar a posição do ponto onde parou

Assim sendo, o objeto deslocou-se desde até e depois deslocou-se outros 8 metros até . A distância total percorrida foi então 80 m.

Problema 3

Em , um objeto encontra-se em repouso na posição  cm num percurso. A partir desse instante o objeto começa a deslocar-se no sentido positivo de , parando novamente num instante . A expressão da aceleração tangencial, entre e , é: , onde o tempo mede-se em segundos e a aceleração em cm/s2. Determine: (a) O instante em que o objeto volta a parar. (b) A posição no percurso nesse instante.

A expressão dada para a aceleração tangencial em função do tempo pode ser substituída na equação cinemática

que é uma equação de variáveis separáveis, com variáveis e . Separando as variáveis, integrando desde 0 até e integrando desde zero até zero novamente, obtém-se a expressão

que pode ser resolvida no Maxima

(%i1) integrate(9-3*t^2, t, 0, t1) = integrate(1, v, 0, 0);
(%o1)    
(%i2) solve(%);
(%o2)    

O objeto volta a parar então em s.

Para calcular a posição em função do tempo, é necessário saber a expressão da velocidade em função do tempo, que pode ser obtida separando variáveis novamente na equação , mas deixando os limites superiores como variáveis e .

E resolvendo os integrais encontra-se a expressão de em função de

(%i3) integrate(9-3*t^2, t, 0, t) = integrate(1, v, 0, v);
(%o3)    

Substitui-se essa expressão na equação cinemática , conduzindo a uma equação de variáveis separáveis:

Separando variáveis, integrando desde até e desde a posição inicial até a posição final obtém-se

E o valor de determina-se resolvendo os integrais

(%i4) integrate (lhs(%), t, 0, 3) = integrate(1, s, 5, s1);
(%o4)    
(%i5) solve(%);
(%o5)    

A posição final do objeto é cm.

Problema 5

A aceleração de um objeto que oscila no eixo dos é , onde é uma constante positiva. Determine:

  1. O valor de para que a velocidade seja  m/s em e em  m.
  2. A velocidade do objeto em  m.

A expressão da projeção da aceleração em função da coordenada permite resolver a seguinte equação

Separando variáveis e integrando entre os dois valores de e de dados, obtém-se o valor da constante (unidades SI)

Para calcular a velocidade em , resolvem-se os mesmos integrais, mas agora o valor de é conhecido e a variable desconhecida é a velocidade em

Os valores positivos e negativos de são devidos a que, como a partícula oscila, passa muitas vezes por , umas vezes no sentido positivo e outras vezes no sentido negativo.

Problema 7

O quadrado da velocidade de um objeto diminui linearmente em função da posição na sua trajetória, , tal como se mostra no gráfico. Calcule a distância percorrida durante os dois últimos segundos antes do objeto chegar ao ponto B.

Quadrado da velocidade, num caso particular.

Encontra-se a equação da reta, usando os dois pontos dados no gráfico e tendo em conta que a variável no eixo das abcissas é e a variável no eixo das ordenadas é

Como o enunciado diz que a velocidade diminui, então o objeto desloca-se de A para B e a sua velocidade é positiva. A expressão para em ordem a é então a raiz positiva do lado direito na equação anterior:

Substituindo na equação , obtém-se uma equação diferencial de variáveis separáveis

Para separar variáveis, a expressão no lado esquerdo passa a dividir ao lado direito:

Dois segundos antes de chegar ao ponto B, o objeto encontra-se num outro ponto C, onde podemos arbitrar igual a zero. Como tal, a variável t será integrada desde 0 até 2 e a variável desde até 400

(%i6) integrate (1,t,0,2) = integrate (sqrt(3)/sqrt(9100-16*s),s,sC,400);
Is sC - 400 positive, negative or zero?

neg;
(%o6)  
(%i7) float (solve (%));
(%o7)  

A distância percorrida nos últimos dois segundos antes de chegar a B, é . O resultado %o7 pode substituir-se nessa expressão para obter a distância

(%i8) subst (%, 400-sC);
(%o8)  

A resposta é 65.33 m.

Problema 11

Um berlinde é lançado sobre a superfície horizontal no topo de umas escadas e sai no início das escadas com velocidade horizontal igual a 3 m/s. Cada degrau tem 18 cm de altura e 30 cm de largura. Qual será o primeiro degrau onde o berlinde bate?

No eixo horizontal , a projeção da velocidade permanece constante e é igual à velocidade inicial (unidades SI). A distância que o berlinde se desloca na horizontal é então , a partir de , quando abandona a superfície horizontal. Como a largura de cada degrau é 0.3, então o tempo que o berlinde demora em avançar cada degrau é 0.1 segundos. Se durante o tempo que demora até avançar algum degrau a distância vertical que cai chega a ultrapassar a distância que esse mesmo degrau desce, em relação ao ponto inicial, então o berlinde não chegará a ultrapassar esse degrau, batendo nele.

Como tal, é necessário calcular a sequencia de posições verticais em = 0.1, 0.2, 0.3, … e compará-las com as posições verticais dos degraus: = −0.18, −0.36, −0.54, … O primeiro valor de na sequência que faça com que seja menor que , será o degrau em que o berlinde bate.

A projeção vertical da velocidade em é , porque o berlinde é lançado horizontalmente. Integrando a aceleração, , em ordem a , obtém-se:

Arbitrando , a posição em qualquer instante é então o integral de , desde zero até :

E a sequencia de posições verticais é então,

Comparando com , conclui-se que o berlinde bate no quarto degrau (−0.784 é menor que −0.72).