Problemas Resolvidos

1. Cinemática

Problema 2

A aceleração de um objeto que se desloca no eixo dos é  m/s2. Se em , m/s e , determine a velocidade e a posição em  s e a distância total percorrida entre e  s.

Para calcular a velocidade em , substitui-se o valor constante da aceleração na equação que relaciona a aceleração com a velocidade e o tempo

Separando variáveis e integrando, encontra-se a velocidade em

Para calcular a posição final, substitui-se o valor da aceleração na equação que relaciona a aceleração com a velocidade e a posição

Separando variáveis e integrando,

O valor negativo da velocidade final quer dizer que o objeto deslocou-se até um ponto onde parou e em está de regresso na direção da origem. Para calcular a distância total percorrida é necessário determinar a posição do ponto onde parou

Assim sendo, o objeto deslocou-se desde até e depois deslocou-se outros 8 metros até . A distância total percorrida foi então 80 m.

Problema 3

Em , um objeto encontra-se em repouso na posição  cm num percurso. A partir desse instante o objeto começa a deslocar-se no sentido positivo de , parando novamente num instante . A expressão da aceleração tangencial, entre e , é: , onde o tempo mede-se em segundos e a aceleração em cm/s2. Determine: (a) O instante em que o objeto volta a parar. (b) A posição no percurso nesse instante.

A expressão dada para a aceleração tangencial permite resolver a equação

Separam-se as variáveis, integra-se desde 0 até e integra-se desde zero até zero novamente; podem usar-se os seguintes comandos do Maxima

(%i1) integrate(9-3*t^2, t, 0, t1) = integrate(1, v, 0, 0);
(%o1)    
(%i2) solve(%);
(%o2)    

Volta a parar então em s. Para calcular a posição em função do tempo, é necessário saber a expressão da velocidade em função do tempo, que pode ser obtida repetindo os mesmos integrais em (%i1), mas deixando os limites superiores como variáveis e .

(%i3) integrate(9-3*t^2, t, 0, t) = integrate(1, v, 0, v);
(%o3)    

que permite resolver a equação

Separando variáveis, integrando desde até e desde a posição inicial até a posição final

(%i4) integrate (lhs(%), t, 0, 3) = integrate(1, s, 5, s1);
(%o4)    
(%i5) solve(%);
(%o5)    

a posição final é cm.

Problema 5

A aceleração de um objeto que oscila no eixo dos é , onde é uma constante positiva. Determine:

  1. O valor de para que a velocidade seja  m/s em e em  m.
  2. A velocidade do objeto em  m.

A expressão da projeção da aceleração em função da coordenada permite resolver a seguinte equação

Separando variáveis e integrando entre os dois valores de e de dados, obtém-se o valor da constante (unidades SI)

Para calcular a velocidade em , resolvem-se os mesmos integrais, mas agora o valor de é conhecido e a variable desconhecida é a velocidade em

Os valores positivos e negativos de são devidos a que, como a partícula oscila, passa muitas vezes por , umas vezes no sentido positivo e outras vezes no sentido negativo.

Problema 7

O quadrado da velocidade de um objeto diminui linearmente em função da posição na sua trajetória, , tal como se mostra no gráfico. Calcule a distância percorrida durante os dois últimos segundos antes do objeto chegar ao ponto B.

Quadrado da velocidade, num caso particular.

Encontra-se a equação da reta, usando os dois pontos dados no gráfico e tendo em conta que a variável no eixo das abcissas é e a variável no eixo das ordenadas é

A expressão para seria a raiz quadrada da expressão no lado direito, ou menos a raiz, quando o objeto se desloca de B para A, mas o enunciado indica que apenas interessa a raiz positiva (movimento desde A até B). Em vez de se usar a raiz quadrada, é mais fácil derivar os dois lados da equação anterior, em ordem a , para obter uma equação diferencial com e

Ou seja que a aceleração tangencial do objeto, , é constante e igual a −8/3. Substituindo a expressão da aceleração tangencial como derivada da velocidade em ordem ao tempo,

Separando variáveis e integrando desde um instante arbitrário antes de chegar a B, onde a velocidade é a variável , até o ponto B, onde se admite que chega em e o gráfico mostra que , obtém-se:

e substituindo na expressão da velocidade como derivada da posição em ordem ao tempo,

Dois segundos antes de chegar a B, é igual a −2 e, arbitrando-se nesse instante, então o valor de em = 0 (quando chega a B) será a distância percorrida durante os dois últimos segundos. Separando as variáveis e integrando, obtém-se o valor de :

Problema 11

Um berlinde é lançado sobre a superfície horizontal no topo de umas escadas e sai no início das escadas com velocidade horizontal igual a 3 m/s. Cada degrau tem 18 cm de altura e 30 cm de largura. Qual será o primeiro degrau onde o berlinde bate?

No eixo horizontal , a projeção da velocidade permanece constante e é igual à velocidade inicial (unidades SI). A distância que o berlinde se desloca na horizontal é então , a partir de , quando abandona a superfície horizontal. Como a largura de cada degrau é 0.3, então o tempo que o berlinde demora em avançar cada degrau é 0.1 segundos. Se durante o tempo que demora até avançar algum degrau a distância vertical que cai chega a ultrapassar a distância que esse mesmo degrau desce, em relação ao ponto inicial, então o berlinde não chegará a ultrapassar esse degrau, batendo nele.

Como tal, é necessário calcular a sequencia de posições verticais em = 0.1, 0.2, 0.3, … e compará-las com as posições verticais dos degraus: = −0.18, −0.36, −0.54, … O primeiro valor de na sequência que faça com que seja menor que , será o degrau em que o berlinde bate.

A projeção vertical da velocidade em é , porque o berlinde é lançado horizontalmente. Integrando a aceleração, , em ordem a , obtém-se:

Arbitrando , a posição em qualquer instante é então o integral de , desde zero até :

E a sequencia de posições verticais é então,

Comparando com , conclui-se que o berlinde bate no quarto degrau (−0.784 é menor que −0.72).