Problemas Resolvidos

2. Cinemática vetorial

Problema 3

A velocidade de uma partícula em movimento no plano é dada pela expressão: (unidades SI). No instante = 0 a partícula encontra-se no eixo dos , na posição .

  1. Determine em que instante passará pelo eixo dos e a que distância da origem estará nesse instante.
  2. Calcule a aceleração em e no instante em que passa pelo eixo dos .

A expressão da posição obtém-se somando a posição inicial mais o integral da velocidade, em ordem ao tempo, desde o instante inicial até um instante qualquer

(%i1) v: [3*exp(-2*t), -5*exp(-t)]$
(%i2) r0: [0, 2]$
(%i3) r: r0 + integrate(v,t,0,t);
(%o3)    
(%i4) float(solve(r[2]=0, t));
(%o4)    
(%i5) float(subst(%,r));
(%o5)    

Ou seja, a partícula passa pelo eixo dos no instante  s e a uma distância de 0.96 m da origem.

(%i6) a: diff(v,t);
(%o6)    
(%i7) subst(t=0,a);
(%o7)    
(%i8) subst(%o4,a);
(%o8)    

A aceleração no instante inicial é  m/s2 e quando passa pelo eixo dos é  m/s2.

Problema 6

Uma pedra roda pelo telhado de uma casa, que faz um ângulo de 20° com a horizontal. No instante em que a pedra abandona o telhado e cai livremente, o valor da sua velocidade é 4 m/s e encontra-se a uma altura de 6 m. Admitindo que a resistência do ar é desprezável,

  1. Calcule o tempo que demora a cair ao chão, desde o instante em que abandona o telhado.
  2. A que distância horizontal bate a pedra no chão, em relação ao ponto onde abandonou o telhado?
  3. Calcule o ângulo que a velocidade da pedra faz com a vertical no instante em que bate no chão.

Com na horizontal e na vertical, a velocidade inicial é (unidades SI)

A posição inicial é e a aceleração é constante: . A expressão da velocidade obtém-se integrando a aceleração desde o instante inicial até um instante qualquer

e a expressão da posição obtém-se integrando essa expressão da velocidade desde o instante inicial até um instante qualquer

O tempo que demora até bater no chão é o tempo que faz com que a componente da posição seja nula

e a distância horizontal é o valor da componente da posição nesse instante

A velocidade no instante em que bate no chão é

e o ângulo que faz com a vertical é a tangente inversa da componente dividida pelo valor absoluto da componente

Problema 7

Um barco transposta passageiros de uma margem de um rio para a outra margem, seguindo o percurso mais curto de 1.5 km entre as duas margens. Quando o motor do barco funciona na potência máxima, a travessia demora 20 minutos, num dia em que o valor da velocidade da corrente no rio é 1.2 m/s; calcule o valor da velocidade do barco, nesse dia, (a) em relação à Terra e (b) em relação à água. (c) Determine o tempo mínimo que o barco demorava a atravessar o mesmo rio, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse 0.8 m/s.

A velocidade do barco, em relação à terra é constante e igual a

A velocidade do barco em relação à água, , mais a velocidade da corrente é igual à velocidade do barco. Como o barco atravessa o rio na direção perpendicular às margens, a velocidade da corrente é perpendicular à velocidade do barco e essas duas velocidades são os catetos num triângulo retângulo onde é a hipotenusa.

Velocidade de um barco a atravessar um rio

Como tal, a velocidade do barco em relação à água é  m/s. A velocidade máxima do barco em relação à água depende apenas do funcionamento do motor e, por isso, será a mesma no dia em que a corrente tem velocidade 0.8 m/s e a velocidade máxima do barco nesse dia será então  m/s. Com essa velocidade, o tempo mínimo necessário para atravessar o rio é 1500/1.537 = 975.9 s, ou seja, aproximadamente 16 minutos e 16 segundos.

Problema 10

Três cilindros A, B e C foram pendurados no sistema de duas roldanas que mostra a figura. Num instante, a velocidade do bloco A é  m/s, para cima, e a sua aceleração é  m/s2, para baixo; no mesmo instante, a velocidade e aceleração do bloco C são:  m/s, para baixo,  m/s2, para cima. Determine a velocidade e aceleração do bloco B, no mesmo instante, indicando se são para cima ou para baixo.

Sistema com duas roldanas e três cilindros

Variáveis no sistema com duas roldanas e três cilindros

Definem-se 4 variáveis , , e para medir as posições dos cilindros e da roldana móvel, em relação a algo fixo, por exemplo o teto, tal como mostra a figura ao lado.

Como o cilindro A e a roldana móvel estão ligados por um fio, então

e a ligação dos cilindros B e C com outro fio que passa pela roldana móvel implica:

Derivando essas duas equações em ordem ao tempo, obtêm-se as relações para as velocidades:

Como as distâncias aumentam quando os objetos descem, então as velocidades para baixo são positivas e para cima são negativas. Assim sendo, as velocidades dadas no enunciado são e e a equação acima dá ; ou seja, a velocidade do cilindro B é 5 m/s, para baixo.

Derivando novamente a relação entre as velocidades obtém-se a relação entre as acelerações:

e substituindo os valores dados, e , obtém-se ; ou seja, a aceleração do cilindro B é nula.

Problema 11

No sistema da figura, encontre a relação entre os valores das velocidades e das acelerações da barra A e do cilindro B, admitindo que a barra A permanece sempre horizontal.

Cilindro ligado a uma barra

Há dois movimentos diferentes: o movimento da barra e das duas roldanas móveis e o movimento do cilindro. Esses dois movimentos são a variação da posição da barra e do cilindro em relação a algum objeto fixo; usando como referência o teto (ver figura) as posições da barra e do cilindro são e .

Cilindro_ligado_a_uma_barra

A distância entre o centro de uma das roldanas móveis e o centro de uma das roldanas fixas é menos uma constante. Assim sendo, o comprimento do fio é

Derivando esta equação em ordem ao tempo obtém-se

e derivando novamente