Problemas Resolvidos

8. Mecânica lagrangiana

Problema 3

Uma particula com massa = 2 kg desloca-se sobre uma calha parabólica vertical com equação , onde é medida na horizontal e na vertical (ambas em metros). Assim sendo, o movimento da partícula tem apenas um grau de liberdade, que pode ser escolhido como a coordenada .

  1. Escreva a equação da energia cinética em função de .
  2. Escreva a equação da energia potencial gravítica em função de (use o valor = 9.8 m/s2).
  3. Admitindo que sobre a partícula não atua nenhuma força não conservativa, use a equação de Lagrange para encontrar a sua equação de movimento.
  4. Encontre os pontos de equilíbrio do sistema no espaço de fase, e determine se são estáveis ou instáveis.

(a) A relação entre e encontra-se derivando a equação da calha

Em função da coordenada generalizada e da velocidade generalizada , a energia cinética da partícula é:

(b) Arbitrando energia potencial gravítica nula em = 0, A energia potencial gravítica da partícula é:

(c) A equação de Lagrange é:

e a equação de movimento:

(d) As equações de evolução são:

Os pontos de equilíbrio são as soluções do sistema de equações

Ou seja, o único ponto de equilíbrio é a origem do espaço de fase, que corresponde a quando a partícula se encontra em repouso, no ponto mais baixo da calha. Nessa situação, se a partícula fosse afastada do ponto mais baixo da calha, a sua tendência será regressar a esse ponto; assim sendo, trata-se de um ponto de equilíbrio estável. Pode também traçar-se o retrato de fase correspondente às equações de evolução e conferir que a origem é ponto de equilíbrio estável, com infinitos ciclos à sua volta.

Problema 4

O cilindro A na figura tem massa de 36 gramas, o cilindro B tem massa de 24 gramas e o momento de inércia da roldana dupla é 4.43×10−7 kg·m2. A roldana está formada por dois discos, de raios 5 cm e 8 cm, colados um ao outro. Cada cilindro está ligado a um fio com o extremo oposto ligado à roldana, de forma que o fio enrola-se ou desenrola-se, sem deslizar sobre a roldana, quando esta roda. (a) Desprezando o atrito no eixo da roldana e a resistência do ar, determine os valores das acelerações de cada cilindro e diga se são para cima ou para baixo. (b) Determine o valor das tensões nos dois fios.

Roldana dupla

(a) Se e são as alturas dos centros de massa dos dois cilindros, num instante inicial, como mostra o lado esquerdo da figura seguinte,

Alturas e ângulo na roldana dupla

num instante posterior a roldana terá rodado um ângulo , que se for no sentido contrário aos ponteiros do relógio, como no lado direito da figura, faz diminuir a altura do cilindro A num comprimento igual ao arco de círculo com 5 cm e ângulo , e a altura do cilindro B aumenta uma distância igual ao arco de círculo de 8 cm e ângulo . Como tal, num instante qualquer as alturas dos dois cilindros serão

(1.1)

Onde e são duas constantes (alturas iniciais). Assim sendo, o sistema tem um único grau de liberdade, que pode ser o ângulo . As expressões para as velocidades e acelerações dos cilindros são então:

onde é a velocidade angular da roldana e é a sua aceleração angular. A expressão da energia cinética total do sistema é:

E a energia potencial gravítica, excluindo a energia potencial da roldana e outros termos constantes, é:

Aplicando a equação de Lagrange, obtém-se a aceleração angular:

O sinal negativo indica que a roldana acelera no sentido dos ponteiros do relógio. Como tal, a aceleração do bloco A é para cima e a do bloco B é para baixo, e os seus valores absolutos são:

(b) Para determinar as tensões nos fios, faz-se de conta que as alturas dos cilindros podem variar independentemente do ângulo que a roldana rode. Ou seja, o sistema passa a ter três graus de liberdade, , e , com três equações de Lagrange. Nessas 3 equações de Lagrange introduzem-se dois multiplicadores de Lagrange e , que correspondem às duas condições nas equações 1.1 da alínea anterior, que devem ser escritas como funções com valor igual a zero:

(2.2)

A expressão da energia cinética do sistema deve ser escrita agora em função das três velocidades , e , consideradas independentes entre si

E a energia potencial gravítica, excluindo a energia potencial da roldana que permanece constante, é:

A equação de Lagrange associada a e é:

A equação associada a e é:

E a equação associada a e é:

Estas três equações de Lagrange devem ser resolvidas junto com as duas expressões obtidas derivando duas vezes as condições 2.2:

No Maxima, usa-se o comando solve. Observe-se que os dois multiplicadores de Lagrange, e , são as próprias tensões nos dois fios, e

(%i1) float(solve([0.036*aA+0.3528-TA, 0.024*aB+0.2352-TB, 4.43e-7*a-0.05*TA+0.08*TB, aA+0.05*a, aB-0.08*a]));
(%o1) [[a = -4.819, TB = 0.2259, aB = -0.3855, TA = 0.3615, aA = 0.2409]]

Que corrobora os resultados obtidos na alínea anterior para as acelerações e mostra que a tensão no fio ligado ao cilindro A é 0.3615 N e a tensão no fio ligado ao cilindro B é 0.2259 N. Observe-se que, a pesar de que a tensão é maior que , a roldana roda no sentido dos ponteiros do relógio, porque o momento produzido por é maior do que o produzido por .

Problema 5

No sistema representado na figura, a massa das rodas e da roldana e o atrito nos seus eixos podem ser desprezados. (a) Determine as expressões para as energias cinética e potencial do sistema, em função do ângulo e do deslocamento horizontal do carrinho. (b) Determine as expressões da aceleração do carrinho e da aceleração angular . (c) Encontre o valor do ângulo na posição de equilíbrio do pêndulo e diga se o equilíbrio é estável ou instável. (d) Determine o valor da aceleração do carrinho, no caso em que o pêndulo permaneça na posição de equilíbrio.

Carrinho com um pêndulo

(a) Este sistema tem dois graus de liberdade, o ângulo de oscilação do pêndulo e a posição horizontal do carrinho. As velocidades do carrinho e do cilindro são ambas iguais a . O vetor velocidade da esfera é a soma do vetor velocidade do carrinho, mais o vetor velocidade de rotação da esfera em relação ao ponto de contacto do fio com o poste; escolhendo o eixo horizontal e para a direita e o eixo vertical e para cima, o vetor velocidade da esfera é:

Representando no Maxima o ângulo pela variável , pela variável e pela variável

(%i2) ve: [v-0.2*w*cos(q), 0.2*w*sin(q)]$

A energia cinética do sistema é a soma das energias cinéticas do carrinho, do cilindro e da esfera

(%i3) Ec: float (expand (trigsimp (5*v^2/2 + 1*v^2/2 + 0.06*ve.ve/2)));
(%o3)     

E as energias potenciais que não permanecem constantes são as energias potenciais gravíticas da esfera e do cilindro; a energia potencial do sistema é igual à soma dessas duas energias

(%i4) U: -1*9.8*x - 0.06*9.8*0.2*cos(q);
(%o4)     

(b) Antes de usar as equações de Lagrange, definem-se as derivadas das duas coordenadas e duas velocidades generalizadas, em ordem ao tempo

(%i5) gradef (x, t, v)$
(%i6) gradef (q, t, w)$
(%i7) gradef (v, t, a)$
(%i8) gradef (w, t, f)$

As duas equações de Lagrange são

(%i9) eq1: diff (diff(Ec,v),t) - diff(Ec,x) + diff(U,x) = 0;
(%o9)     
(%i10) eq2: diff (diff(Ec,w),t) - diff(Ec,q) + diff(U,q) = 0;
(%o10)     

E as expressões para a aceleração do carrinho, , e a aceleração angular do pêndulo, , são

(%i11) sol: trigsimp (solve( [eq1,eq2], [a,f]))$
(%i12) [a,f]: subst (sol, [a,f]);
(%o12) ,

(c) Este sistema nunca chega a estar em equilíbrio porque o cilindro desce sem parar. No entanto, o pêndulo sim pode ficar em equilíbrio. As duas equações de evolução só do pêndulo são

onde é a expressão obtida em (%o12). As condições de equilíbrio do pêndulo são então são então =0 e =0.

(%i13) solve (subst (w=0, f=0));
(%o13)     

solve não consegue resolver problemas com infinitas soluções mas como só interessa a solução no primeiro quadrante, o ângulo da posição de equilíbrio, em graus, é

(%i14) float (180*atan (50/303)/%pi);
(%o14)     

Para determinar a estabilidade desse ponto de equilíbrio, calcula-se o valor da derivada de no ponto de equilíbrio.

(%i15) subst ([w=0, q=atan(50/303)], diff (f, q));
(%o15)     

este resultado menor que zero implica que o ponto de equilíbrio é estável.

Problema 6

A roldana fixa no sistema da figura tem massa e a roldana móvel tem massa 2  (ambas podem ser consideradas discos uniformes). A massa do carrinho é 20  e a massa do cilindro mais o suporte que o liga à roldana móvel é 8  . Admita que a massa do fio e das rodas do carrinho, a força de atrito cinético nos eixos das roldanas e das rodas do carrinho e a resistência do ar são desprezáveis.

  1. Mostre que, em função da altura que o cilindro desce, as energias cinética e potencial do sistema são
  2. Determine o valor das acelerações do cilindro e do carrinho.
Carrinho acelerado por cilindro acair

(a) Como o comprimento do fio é constante, é constante e, como tal, a relação entre as velocidades do carrinho, , e do cilindro, , é

A energia cinética do sistema é a soma das energias de translação do carrinho, do cilindro e da roldana móvel, mais as energias de rotação das duas roldanas.

(%i16) vx: -2*vy$
(%i17) Ec: 20*m*vx^2/2 + (m*r1^2/2)*(vx/r1)^2/2 + (2*m*r2^2/2)*(vy/r2)^2/2 + 2*m*vy^2/2 + 8*m*vy^2/2;
(%o17)    

A única energia potencial que está a mudar é a energia potencial gravítica do cilindro mais a roldana móvel. O peso total desses dois objetos é e, ignorando termos constantes, a energia potencial do sistema é

(%i18) U: -10*m*g*y$

(b) A aceleração do cilindro, , encontra-se a partir da equação de Lagrange

(%i19) gradef (y,t,vy)$
(%i20) gradef (vy,t,ay)$
(%i21) eq: diff (diff (Ec,vy), t) - diff (Ec,y) + diff (U,y) = 0$
(%i22) solve (eq,ay);
(%o22)    
(%i23) subst (g=9.8, %);
(%o23)    

O valor absoluto da aceleração do carrinho, , é o dobro, ou seja,  m/s2.

Problema 7

Um bloco de massa desce um plano inclinado que faz um ângulo com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e plano inclinado é . Usando a equação de Lagrange com um multiplicador, encontre as expressões para a reação normal do plano sobre o bloco e da aceleração do bloco, (despreze a resistência do ar).

Bloco sobre plano inclinado

Fazendo de conta que o bloco não mantém o contacto com o plano inclinado, há duas coordenadas generalizadas, e . A equação da restrição que faz com que o bloco esteja sempre em contacto com o plano inclinado é:

A energia cinética do bloco é

A altura do bloco, em relação à mesa é

e a energia potencial gravítica do bloco é

As duas componentes da força generalizada são e , onde é a força de atrito cinético e é o vetor posição do bloco

Introduz-se um multiplicador de Lagrange e as duas equações de Lagrange são

As componentes da força de ligação, e , são as componentes da reação normal. Ou seja, o multiplicador de Lagrange é a reação normal: . Substituindo nas equações de Lagrange, obtém-se

Problema 10

O saltador na figura encolhe o corpo no ponto P, para rodar mais rapidamente, e estende-o novamente em Q, para reduzir a rotação na entrada para a água. As alterações da velocidade angular são consequência da alteração do momento de inércia.

  1. Se o momento de inércia do saltador em relação ao centro de massa é , que depende do tempo, escreva as expressões para as suas energias cinética e potencial em função da posição ( , ) do centro de massa e do ângulo de rotação .
  2. Usando a equação de Lagrange para , demonstre que o momento angular, , permanece constante.
  3. Se no ponto P mais alto da trajetória o momento de inércia é 3.28 kg·m2 e a velocidade angular  = 4 s−1 e no ponto Q o momento de inércia é 28.2 kg·m2, determine a velocidade angular do saltador no ponto Q.
    Salto para a água

(a) A velocidade do centro de massa é e a velocidade angular é . A energia cinética do saltador é então

e a sua energia potencial gravítica é

(b) Como nenhuma das duas energias depende explicitamente de , as suas derivadas parciais em ordem a , são nulas e a equação de Lagrange para é

Que é equivalente a dizer que a funçao

permanece constante em qualquer tempo . Derivando a energia cinética em ordem a obtém-se a expressão do momento angular

Assim sendo, quando o saltador encolhe o corpo, diminuindo o valor de , a velocidade angular terá de aumentar.

(c) A conservação do momento angular implica

e substituindo os valores dados