Problemas Resolvidos

3. Movimento curvilíneo

Problema 2

Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que o valor da velocidade diminua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando a figura, faça uma estimativa do raio de curvatura da estrada e calcule o valor da aceleração do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem.

Carro a travar numa curva

O raio é aproximadamente 16.7 m. A aceleração tangencial (taxa de aumento da velocidade) é igual a

Resolvendo a equação que relaciona a aceleração tangencial com a velocidade e o tempo obtém-se a velocidade após os 4 segundos (72 km/h equivale a 20 m/s)

E a aceleração total é

Este valor é uma aproximação, porque o raio foi calculado de forma aproximada.

Problema 6

Dois carros A e B passam por uma curva usando trajetórias diferentes. A figura mostra a curva delimitada pela reta C. O carro B faz um percurso semicircular com raio de 102 m; o carro A avança uma distância em linha reta, a seguir segue um semicírculo com raio 82 m e termina com outro trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à velocidade máxima que podem ter para conseguir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que produz uma aceleração normal de , onde é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva.

Dois carros numa curva

Como cada carro faz a curva com velocidade constante, o tempo que demora é

A velocidade de cada carro é a que conduz ao valor máximo da aceleração normal, ou seja

No caso do automóvel B, o percurso é metade da circunferência de 102 metros de raio

E como tal, o tempo que demora é

No caso do automóvel A, o percurso é metade da circunferência de 82 metros de raio, mais dois segmentos retos de 20 m cada um

E o tempo que demora o carro A é

Problema 7

Uma partícula segue a trajetória que mostra a figura, partindo do repouso em A e aumentando a velocidade com aceleração constante até o ponto B. Desde B até E mantém velocidade constante de 10 m/s e a partir de E começa a abrandar, com aceleração constante, até parar no ponto F. A distância AB é 60 cm, CD é 20 cm e EF é 45 cm; o raio do arco BC é 60 cm e o raio do arco DE é 45 cm. Determine:

  1. O módulo da aceleração da partícula em cada um dos trajetos AB, BC, CD, DE e EF.
  2. O tempo total do movimento desde A até F e a velocidade média nesse percurso.
Trajetória com duas curvas

(a) No trajeto AB,

o módulo da aceleração é 83.33 m/s2. No trajeto EF,

o módulo da aceleração é 111.11 m/s2. No trajeto CD, o módulo da aceleração é nulo, porque o movimento é retilíneo e uniforme. No trajeto BC, a aceleração tem unicamente componente normal:

o módulo da aceleração é 166.67 m/s2. No trajeto DE, a aceleração também tem unicamente componente normal:

o módulo da aceleração é 222.22 m/s2.

(b) A distância total percorrida é a soma dos três segmentos AB, CD e EF, mais os dois arcos BC e DE, ambos com ângulo de radianos:

O tempo que a partícula demora a percorrer o trajeto BCDE é:

Para calcular o tempo que demora no trajeto AB, integra-se uma equação de movimento

e usa-se o mesmo procedimento para calcular o tempo que demora no trajeto EF:

A velocidade média é igual à distância percorrida dividida pelo tempo que demorou:

Problema 8

A roda na figura tem duas partes com raios de 3 cm e 6 cm, que estão em contacto com duas barras horizontais A e B. A barra A desloca-se para a direita, com valor da velocidade de 10 m/s e a barra B desloca-se para a esquerda com valor da velocidade de 35 m/s, enquanto a roda mantém o contacto com as duas barras, sem derrapar. Determine para que lado se desloca o centro O da roda e calcule os valores da velocidade do ponto O e da velocidade angular da roda.

Roda dupla

Admitindo sentido positivo de esquerda para direita, as velocidades das barras A e B são

E a velocidade do ponto da roda em contacto com a barra A, em relação ao ponto da roda em contacto com a barra B, é igual a

Por ser positiva, conclui-se que a roda está a rodar no sentido horário e com velocidade angular

em unidades SI (radianos por segundo). A velocidade do ponto O, relativa ao ponto da roda em contacto com a barra B é positiva, porque a velocidade angular é no sentido horário, e com valor

Finalmente, a velocidade do ponto O é

em m/s. O sinal negativo indica que o ponto O desloca-se para a esquerda.

Problema 9

Uma roda com 20 cm de raio desloca-se, sem derrapar, sobre uma superfície plana, ao longo do eixo dos . No instante o centro da roda encontra-se em e  cm e os pontos P e Q da roda são os pontos que estão em com e  cm. O valor da velocidade do centro da roda é 2 m/s, constante. (a) Calcule quanto tempo demora a roda a dar duas voltas completas. (b) Represente os gráficos das trajetórias dos pontos P e Q durante o tempo que a roda demora a dar duas voltas.

Pontos numa roda

(a) Como a velocidade do ponto P é nula, a velocidade de C relativa a P é igual a 2 m/s e a velocidade angular da roda é

e por ser constante, o tempo que a roda demora a dar duas voltas é

(b) O ângulo que a reta CP faz com a vertical é dado pela expressão

E a posição dos pontos P e Q, relativas a C, são

A posição do ponto C, em função do tempo é

Assim sendo, as posições dos pontos P e Q, em função do tempo, são

O gráfico das trajetórias desses dois pontos, durante duas voltas, obtém-se com o seguinte comando do Maxima

(%i1) plot2d([[parametric, 2*t-0.2*sin(10*t), 0.2-0.2*cos(10*t)],
    [parametric, 2*t-0.1*sin(10*t), 0.2-0.1*cos(10*t)]],
    [t,0,1.26], [legend,"P","Q"]);

Cicloides

Problema 10

Um cilindro com raio de 4 cm está colado a uma roda com 6 cm de raio que se encontra sobre uma superfície horizontal plana, tal como mostra a figura. Uma corda foi enrolada à volta do cilindro e está a ser puxada horizontalmente para a direita, com velocidade constante de valor 2.5 cm/s. O movimento da corda faz rodar a roda sobre a superfície horizontal, sem derrapar.

  1. Determine o valor da velocidade angular da roda.
  2. Diga em que sentido se desloca o ponto O, no eixo da roda e do cilindro, e determine o valor da sua velocidade.
  3. Determine quantos centímetros de corda são enrolados à volta do cilindro a cada segundo.
Roda e cilindro

Roda e cilindro

(a) Como a roda não derrapa, a velocidade do ponto B é nula. Escolhendo o sistema de eixos indicado na figura, e distâncias em centímetros, a velocidade do ponto A é:

onde é a velocidade angular da roda, positiva no sentido anti horário ou negativa no sentido horário. Como a velocidade do ponto A é igual à velocidade do ponto C, que é , a velocidade angular é:

o sinal negativo indica que a velocidade angular é no sentido horário.

(b) Como a velocidade angular da roda é no sentido horário, o ponto O desloca-se para a direita. O valor da sua velocidade é:

(c) A velocidade do ponto C, em relação ao ponto O, é:

o sentido dessa velocidade, no sentido negativo do eixo dos , indica que os pontos O e C estão a aproximarem-se e o fio está a enrolar-se ainda mais e cada segundo enrolam-se 5 cm de fio.