Problemas Resolvidos

12. Sistemas caóticos

  • Em cada caso, encontre os conjuntos limite positivo e negativo das curvas de evolução que passam pelos pontos (0, 0) e (1, 1), usando técnicas analíticas ou gráficas:
    1. ,    .
    2. ,   
  • Demonstre que o sistema
    não tem ciclos, nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.
  • O sistema de Rössler é definido pelas seguintes equações de evolução, com 3 parâmetros positivos , e :
    Investigue a solução do sistema com e fixos e com os seguintes valores de : (a) = 0.3 (b) = 0.35 (c) = 0.375 (d) = 0.398. Em cada caso use o programa rk para obter a solução, com incrementos de tempo e de forma a que sejam feitas 6000 iterações. Pode usar como valores iniciais . Trace os gráficos da curva projetada no plano e de em função de . Volte a executar 6000 iterações do programa rk, mas agora usando como valores iniciais os valores finais obtidos na primeira execução do programa (o comando rest (last (lista )) extrai o último vetor na lista anterior, excluindo o tempo). Trace novamente os mesmos gráficos e repita o procedimento até conseguir concluir qual é o conjunto limite positivo da curva considerada e se for um ciclo, determine o seu período. Em cada alínea deve dizer qual é o conjunto limite, o seu período (se for um ciclo) e mostrar um gráfico que justifique a sua conclusão.
  • Use o mesmo procedimento do problema anterior e responda às mesmas perguntas, mas para o sistema de Chen e Ueta:
    com os seguintes valores do parâmetro: (a) = 35 (b) = 50 (c) = 60. Use incrementos de tempo de 0.001, 6000 iterações e valores iniciais = 0.1, = = 0. Analise os gráficos da curva no plano e de em função de .
  • Encontre os pontos de equilíbrio do sistema de Lorenz com os seguintes parâmetros:
    e demonstre que o valor de é superior ao valor crítico para que o sistema seja caótico.