Problemas Resolvidos

7. Sistemas dinâmicos

Problema 1

Uma bola com 0.150 kg é lançada verticalmente para cima, desde = 0 (o eixo dos aponta para cima, na vertical). Desprezando o atrito com o ar, a energia permanece constante.

  1. Represente o retrato de fase, para > 0, mostrando 4 curvas de evolução diferentes (use o valor 9.8 m/s2 para ). Para cada curva, explique o significado dos pontos em que a curva interseta os eixos.
  2. Explique como seria, no retrato de fase da alínea anterior, a curva de evolução de uma bola largada em queda livre, que bate no chão sendo projetada novamente para cima.

(a) A equação de movimento da bola é

E as duas equações de evolução são

O retrato de fase obtém-se com o seguinte comando

(%i1) plotdf ([v,-9.8], [y,v], [y,0,5], [v,-10,10]);

E o resultado é o seguinte

Retrato de fase do problema 7.1

As quatro curvas de evolução na figura foram obtidas entrando no menu de configuração, escrevendo "1 0" no campo "Trajectory at" e clicando na tecla "Enter" e o mesmo para os pontos "2 0", "3 0" e "4 0". Os intervalos para e foram escolhidos, após algumas tentativas, de forma a mostrar bem as quatro curvas, para valores positivos da altura .

O ponto onde cada curva interseta o eixo corresponde ao instante em que a bola atinge a sua altura máxima e a velocidade é nula. Os dois pontos onde a curva interseta o eixo são o instante inicial em que a bola é lançada desde = 0, com velocidade positiva, e o instante em que a bola cai regressando a = 0, com velocidade negativa. Por exemplo, a curva mais à direta apresentada no retrato de fase corresponde a quando a bola é lançada desde = 0 com velocidade aproximadamente 8.8 m/s, atingindo a altura máxima de 4 m e caindo novamente até = 0 onde chega com velocidade igual a −8.8 m/s.

(b) Quando a curva de evolução chega até o ponto = 0 com velocidade negativa (a bola bate no chão), a curva continua num arco elíptico no lado negativo de , que corresponde à ação da força elástica enquanto a bola está em contacto com o chão, sendo deformada e recuperando logo a sua forma esférica inicial (oscilador harmónico simples, admitindo que não há perdas de energia durante a deformação). O arco elíptico descreve metade de uma elipse, terminando no ponto inicial da curva de evolução, com = 0 e velocidade positiva e a curva repete-se indefinidamente. Quanto mais rígida for a bola, menor será o semieixo do arco elíptico no lado negativo do eixo .

Problema 2

Em todos os problemas do capítulo 1, diga quais correspondem a sistemas autónomos ou não autónomos e conservativos ou não conservativos. Represente o retrato de fase do sistema do problema 4, mostrando a curva de evolução com as condições iniciais dadas.

Nos problemas 2, 4, 5, 6, 10 e 11, em que é conhecida uma expressão para a aceleração tangencial (ou componente da aceleraço ao longo de um eixo) que depende unicamente da posição ou é constante, as equações de evolução têm a forma geral

Que corresponde a um sistema autónomo e conservativo porque a divergência da velocidade de fase é nula:

No problema 7, o gráfico mostra que , onde e são constantes. Derivando os dois lados dessa equação obtém-se

e como a aceleração tangencial é constante, conclui-se que o sistema é autónomo e conservativo.

Nos problemas 8 e 12, em que a aceleração tangencial é função da velocidade, as equações de evolução têm a forma geral

Que corresponde a sistemas autónomos (a velocidade de fase não depende de ) e não conservativo (a divergência da velocidade de fase é que não é nula).

No problema 3, como a expressão da aceleração tangencial depende do tempo, o sistema não é autónomo e, assim sendo, também não é conservativo.

Nos problemas 1 e 9, a posição é um polinómio cúbico em ; assim sendo, a velocidade é um polinómio quadrático e a aceleração um polinómio linear. Qualquer combinação dos polinómios da posição e da velocidade é então um polinómio cúbico ou quadrático. Conclui-se então que a aceleração não pode ser escrita como função da posição e da velocidade, sem incluir o tempo, e os sistemas nesses dois problemas não são nem autónomos nem conservativos.

O retrato de fase obtém-se com o seguinte comando

(%i2) plotdf ([v,-24/s^2], [s,v], [s,-2,2], [v,-15,15]);

E o resultado é o seguinte

Retrato de fase do problema 1.4

A curva de evolução correspondente às condições iniciais dadas ( = 0.8 m e = 0) foi obtida entrando no menu de configuração, mudando o campo "direction" para "forward" a cor no campo "fieldlines" para "black", escrevendo "0.8 0"no campo "Trajectory at" e clicando na tecla "Enter".

Problema 4

Uma partícula com massa de 1 kg desloca-se ao longo do eixo dos . Em unidades SI, a força tangencial sobre a partícula é dada pela expressão .

  1. Determine os pontos de equilíbrio do sistema.
  2. Encontre as expressões para a energia potencial e a energia mecânica, em função da posição e da velocidade .
  3. Escreva as equações de evolução e diga que tipo de sistema dinâmico representam.
  4. Caracterize cada um dos pontos de equilíbrio.
  5. Determine se o sistema tem ciclos, órbitas homoclínicas ou órbitas heteroclínicas e, nos casos afirmativos represente uma dessas curvas no retrato de fase.

(a) Os pontos de equilíbrio são os pontos onde a velocidade e a aceleração são nulas, ou seja, onde a força é nula. Fatorizando a expressão da força (pode também usar-se o comando solve do Maxima):

Conclui-se que há 3 pontos de equilíbrio, em = −2, = 0 e = 2, com = 0. No espaço de fase ( , ), as coordenadas dos pontos de equilíbrio são (−2, 0), (0, 0) e (2, 0).

(b) A energia potencial é igual a uma primitiva qualquer da expressão da força, multiplicada por −1

E a expressão da energia mecânica é:

(c) As duas equações de evolução são (unidades SI):

Trata-se de um sistema dinâmico autónomo, porque o tempo não aparece explicitamente no lado direito das equações, e conservativo, porque a divergência da velocidade de fase é:

A função hamiltoniana é, neste caso, a própria energia mecânica.

(d) O gráfico da força:

(%i3) plot2d (x^3-4*x, [x,-3,3], [ylabel,"F"]);

Força no problema 7.4

Mostra os três pontos de equilíbrio (raízes da função ). Nos pontos = −2 e = 2, a força é negativa ao lado esquerdo do ponto e positiva ao lado direito; isso quer dizer que na vizinhança do ponto de equilíbrio, a força aponta no sentido oposto do ponto e, como tal, os pontos de equilíbrio (−2, 0) e (2, 0) no espaço de fase são instáveis.

No ponto = 0, a força é positiva no lado esquerdo, ou seja, aponta no sentido de = 0, e negativa no lado direito: também aponta no sentido de = 0. Assim sendo, o ponto (0, 0) no espaço de fase é ponto de equilíbrio estável.

(e) Os ciclos e órbitas encontram-se mais facilmente analisando o gráfico da energia potencial:

(%i4) plot2d (-x^4/4+2*x^2, [x,-3,3], [ylabel,"U"]);

Energia potencial no problema 7.4

Se a energia mecânica for maior que 0 e menor que 4, o sistema pode estar a oscilar à volta do ponto de equilíbrio em = 0. Como tal, existem infinitos ciclos. Se a energia mecânica for exatamente igual a 4, há seis possíveis movimentos:

  1. O sistema, inicialmente em menor que −2, com velocidade positiva, aproxima-se assimptoticamente de = − 2.
  2. O sistema, inicialmente em menor que −2, com velocidade negativa, afasta-se até → −∞. (em → −∞ aproxima-se de = −2)
  3. O sistema, inicialmente em maior que 2, com velocidade negativa, aproxima-se assimptoticamente de = 2.
  4. O sistema, inicialmente em maior que 2, com velocidade positiva, afasta-se até → ∞. (em → −∞ aproxima-se de = 2)
  5. O sistema, inicialmente em maior que −2 e menor que 2, com velocidade positiva, aproxima-se assimptoticamente de = 2 (em → −∞ aproxima-se de = −2)
  6. O sistema, inicialmente em maior que −2 e menor que 2, com velocidade negativa, aproxima-se assimptoticamente de = −2 (em → −∞ aproxima-se de = 2)

As curvas de evolução correspondentes aos últimos dois movimentos na lista anterior formam uma órbita heteroclínica. Não existem órbitas homoclínicas; para que existissem seria necessário que houvesse um nível de energia mecânica que passasse por apenas um ponto de equilíbrio instável e por um ponto de retorno, mas isso não acontece no gráfico de .

O retrato de fase obtém-se com o seguinte comando (a opção vectors é usada neste caso para que não seja mostrado o campo de direções):

(%i5) plotdf ([v,x^3-4*x], [x,v], [x,-3,3], [v,-3,3], [vectors,""]);

Para mostrar um ciclo pode escrever-se "0 1.5" no campo "Trajectory at" do menu de configuração, e a seguir clica-se na tecla "Enter". A trajetória heteroclínica obtém-se alterando o valor de "nsteps" para 122 e introduzindo "0 2.8285" e "0 −2.8285" no campo "Trajectory at" (valores esses que foram encontrados após algumas tentativas falhadas). O resultado é o gráfico seguinte:

Retrato de fase do problema 7.4

Problema 6

A figura mostra o retrato de fase do sistema dinâmiqco com equações de evolução:

  1. Indique se o sistema tem algum ciclo, órbita homoclínica ou órbita heteroclínica.
  2. Explique porque a seguinte afirmação é errada: "O retrato de fase inclui duas curvas de evolução parabólicas que se cruzam em dois pontos".
Retrato de fase com duas parábolas

(a) A primeira componente da velocidade de fase, , é nula quando for igual a 0, 1 ou −1. Existem então unicamente 3 pontos de equilíbrio, (0, 0), (−1, 1) e (−1, −1), que aparecem todos na figura e, como tal, as curvas de evolução importantes já estão todas na figura. A figura mostra que não existe nenhuma órbita homoclínica, existem infinitos ciclos em torno da origem e uma órbita heteroclínica entre os pontos (−1, 1) e (−1, −1).

(b) As duas parábolas são realmente 2 pontos de equilíbrio e 6 curvas de evolução diferentes, que se aproximam assimptoticamente ou se afastam desses dois pontos, sem tocá-los. As curvas de evolução nunca podem cruzar-se.

Problema 9

A equação de movimento de um pêndulo simples é (problema 6 do capítulo 6)

As variáveis de estado são o ângulo com a vertical, e a derivada desse ângulo, .

  1. Escreva as equações de evolução do sistema.
  2. Determine a função hamiltoniana a partir das equações de Hamilton:
  3. Analisando o gráfico da energia potencial (função hamiltoniana com = 0), demostre que o sistema tem muitas órbitas heteroclínicas e ciclos mas nenhuma órbita homoclínica.

(a) Introduzindo a velocidade angular , a equação de movimento transforma-se num sistema de duas equações de primeira ordem

b) Substituindo as equações de evolução nas equações de Hamilton obtém-se

A primeira equação implica que é igual a , mais uma função que depende de . Derivando essa expressão em ordem a e substituindo na segunda equação acima, obtém-se

e a função hamiltoniana é

observe-se que é igual à energia mecânica , dividida pelo momento de inércia .

(c) A energia potencial é igual a uma constante negativa vezes . Assim sendo, o seu gráfico tem a mesma forma do gráfico de , mas oscila entre e , em vez de −1 e 1. O gráfico tem mínimos (pontos de equilíbrio estável) em 0, , ,... e pontos máximos (pontos de equilíbrio instável) em , ,... Qualquer valor de entre e produz um segmento horizontal que corta o gráfico de em dois pontos e, assim sendo, corresponde a um ciclo. A recta horizontal passa por todos os pontos máximos de e, portanto, corresponde a uma órbita heteroclínica entre e , outra órbita heteroclínica entre e , etc. Não existem órbitas homoclínicas porque qualquer segmento na reta começa e termina em dois pontos máximos diferentes e não interseta a curva em nenhum outro ponto.