Problemas Resolvidos

9. Sistemas lineares

Problema 1

Em cada caso, use o Maxima para encontrar os valores e vetores próprios do sistema. Diga que tipo de ponto de equilíbrio tem cada sistema e represente os retratos de fase.

  1.     
  2.     

(a) No Maxima

(%i1) vars: [x, y]$
(%i2) A: matrix ([1,1], [4,1])$
(%i3) eigenvectors (A);
(%o3)    
(%i4) plotdf (list_matrix_entries (A.vars), vars, [vectors,"blank"]);

E após traçar algumas curvas de evolução, o retrato de fase é

Retrato de fase do problema 9.1.a

Os valores próprios são 3, com vetor próprio (1, 2), e −1, com vetor próprio (1,-2). O ponto de equilíbrio é ponto de sela.

(b)

(%i5) A: matrix ([-3,sqrt(2)], [sqrt(2),-2])$
(%i6) eigenvectors (A);
(%o6)    
(%i7) plotdf (list_matrix_entries (A.vars), vars, [vectors,"blank"], [x,-2,2], [y,-2,2]);

Os valores próprios são -4, com vetor próprio (1, -1/ ), e −1, com vetor próprio (1, ). O ponto de equilíbrio é nó atrativo.

Retrato de fase do problema 9.1.b

(c)

(%i8) A: matrix ([1,-1], [1,3])$
(%i9) eigenvectors (A);
(%o9)    
(%i10) plotdf (list_matrix_entries (A.vars), vars, [vectors,"blank"], [x,-2,2], [y,-2,2]);

Existe um único valor próprio igual a 2, com vetor próprio (1, -1). O ponto de equilíbrio é nó impróprio repulsivo.

Retrato de fase do problema 9.1.c

Problema 2

A figura mostra a curva de evolução hipotética de uma bola que cai em queda livre e é disparada para cima novamente após ter batido no chão, se não existisse nenhuma força dissipativa. A parte do gráfico para valores positivos de corresponde ao lançamento vertical de um projétil, ignorando a resistência do ar. A parte do gráfico para valores negativos de corresponde à deformação elástica da bola quando choca com o chão; durante o tempo de contacto com o chão, admite-se que o movimento vertical da bola é um movimento harmónico simples, sem dissipação de energia.

Retrato de fase de uma bola saltitona

Sabendo que a altura máxima atingida pela bola é  = 10 m e que a deformação máxima quando a bola bate no chão é  = 1 cm, determine:

  1. A velocidade máxima da bola ao longo do seu movimento.
  2. A frequência angular da deformação elástica da bola.
  3. O tempo que a bola pernaece em contacto com o chão.

(a) No ponto de altura máxima, com coordenadas (10, 0) no espaço de fase, a energia mecânica é

e no ponto (0, ), onde a velocidade é máxima, a energia potencial é nula e a energia mecânica é então igual à energia cinética

(b) No ponto (−0.01,0), onde a deformação elástica é máxima, a energia cinética é nula e a energia mecânica é igual à energia potencial de um oscilador harmónico com constante elástica

A frequência angular de oscilação é então

(c) Como a curva de evolução da bola em contacto com o chão é metade de uma elipse, o tempo de contacto com o chão é metade do período do oscilador harmónico

Problema 4

Um cilindro de massa está pendurado, na vertical, de uma mola com constante elástica , tal como na figura 6.2; se é a altura do centro de massa do cilindro, na posição em que a mola não está nem esticada nem comprimida, despreze a resistência do ar.

  1. Encontre a equação de movimento, a partir da equação de Lagrange, ou se preferir, a partir da segunda lei de Newton.
  2. Encontre o valor de no ponto de equilíbrio.
  3. Mostre que o sistema pode escrever-se como sistema linear, com uma mudança de variável de para uma nova variável e que a equação de movimento em função de é a equação de um oscilador harmónico simples com frequência angular .

(a) As energias cinética e potencial gravítica mais potencial elástica são

A equação de Lagrange é

e a equação de movimento é

(b) No ponto de equilíbrio e são nulas, ou seja

(c) Para que o sistema fosse linear, não podia aparecer o termo constante na equação de movimento. Introduz-se então uma nova variável tal que

ou seja, e, assim sendo, e a nova equação de movimento é

que é a equação de um oscilador harmónico simples, com frequência angular

Problema 5

Um cilindro tem base circular de área  cm2, altura  cm e massa volúmica  g/cm3. Como essa massa volúmica é menor que a da água,  g/cm3, quando o cilindro é colocando num recipiente com água flutua na superfície, com uma parte da sua altura por fora da água, como mostra a figura ( ). Empurrando o cilindro para baixo, começa a oscilar com a variar em função do tempo. Use o seguinte procedimento para analisar a oscilação do cilindro:

  1. Sabendo que a força da impulsão da água, para cima, é igual ao peso da água que ocupava a parte do volume do cilindro que está dentro da água, ou seja,
    Encontre a expressão para a força resultante no cilindro, em função de (pode ignorar a força de resistência da água, que é muito menor que o peso e a impulsão).
  2. Encontre a equação de movimento do cilindro (expressão para em função de ).
  3. Encontre o valor de na posição de equilíbrio do cilindro.
  4. Mostre que o sistema dinâmico associado ao movimento do cilindro é linear e encontre a matriz do sistema.
  5. Mostre que o ponto de equilíbrio é um centro, implicando que o movimento é oscilatório e determine o valor do período de oscilação do cilindro.
Cilindro a flutuar na água
  1. A força resultante é vertical e com valor (positivo para cima ou negativo para baixo) igual a:
    em gramas vezes cm/s2 e em centímetros.
  2. A massa do cilindro, em gramas, é
    e a equação de movimento é
    (em cm/s2 e em cm).
  3. O valor de que faz com que a expressão da aceleração, seja nula é
  4. As equações de evolução são:
    Define-se ; como tal, e as equações de movimento são equivalentes a
    que correspondem a um sistema dinâmico linear com matriz
  5. A equação caraterística da matriz é . Os dois valores próprios são então números imaginários
    Ou seja, o ponto de equilíbrio em  cm é um centro e o movimento do cilindro é oscilatório com frequência angular igual a 8.250 e período (em segundos):

Problema 7

Num transformador há duas bobinas, a primária, com resistência e indutância e a secundária, com resistência e indutância . Quando se liga uma fonte na primeira bobina, produzindo corrente nela, na segunda bobina é induzida outra corrente . Quando se desliga a fonte na primeira bobina, as duas correntes começam a diminuir gradualmente, de acordo com as seguintes equações:

onde é a indutância mútua entre as duas bobinas e todas as constante , , , e são positivas.

  1. Escreva as equações do transformador como equações de evolução de um sistema dinâmico linear e encontre a matriz do sistema.
  2. Num transformador real, é menor que . Considere o caso , , , , (num sistema de unidades escolhido para obter números entre 0 e 10) e determine que tipo de ponto é o ponto de equilíbrio.
  3. Com os mesmos valores da alínea anterior, trace o retrato de fase do sistema.
  4. Os valores , , , e , correspondem a um caso hipotético que não pode descrever um transformador real porque . Diga que tipo de ponto seria o ponto de equilíbrio nesse caso e explique porque esse sistema não pode descrever um transformador real.

(a) Resolvem-se as duas equações do transformador para encontrar expressões para e . O comando coefmatrix pode ser usado para extrair a matriz num sistema de combinações lineares; é necessário indicar as expressões lineares e as variáveis:

(%i11) eq1: L1*dI1+M*dI2+R1*I1=0$
(%i12) eq2: L2*dI2+M*dI1+R2*I2=0$
(%i13) sys: solve ([eq1, eq2], [dI1, dI2]);
(%o13)
(%i14) vars: [I1, I2]$
(%i15) A: coefmatrix (map (rhs, sys[1]), vars);
(%o15)

(b) Substituem-se os valores dos parâmetros na matriz do sistema e determinam se os valores próprios:

(%i16) A1: subst ([L1=2, L2=8, M=3, R1=1, R2=2], A);
(%o16)
(%i17) eigenvectors (A1)$
(%i18) float (%);
(%o18) [ [ [-1.527, -0.1871], [1.0, 1.0] ], [ [ [1.0, -0.4484] ], [ [1.0, 1.115] ] ] ]

Como os valores próprios são reais e ambos negativos, o ponto de equilíbrio é um nó atrativo.

(c) As componentes da velocidade de fase são os lados direitos das equações na lista sys

(%i19) u1: subst ([L1=2, L2=8, M=3, R1=1, R2=2], map (rhs, sys[1]));
(%o19)
(%i20) plotdf (u1, vars)$

E traçando algumas curvas de evolução, incluindo as que passam pelos vetores próprios, obtém-se o seguinte retrato de fase:

Retrato de fase do problema 9.7.a

(d) Com os valores dos parâmetros dados, a matriz do sistema e os seus valores próprios são:

(%i21) A2: subst ([L1=2, L2=8, M=5, R1=1, R2=2], A);
(%o21)
(%i22) eigenvectors (A2)$
(%i23) float (%);
(%o23) [ [ [-0.1498, 1.483], [1.0, 1.0] ], [ [ [1.0, 0.9348] ], [ [1.0, -0.5348] ] ] ]

O ponto de equilíbrio seria, nesse caso, um ponto de sela. Não pode descrever um transformador real, porque é um ponto instável, em que as correntes aumentariam até valores infinitos.

Problema 8

Um isótopo radioativo A, decai produzindo outro isótopo radioativo B e este decai produzindo um isótopo estável C.

Sendo e o número de isótopos das espécies A e B existentes em qualquer instante , as suas derivadas em ordem ao tempo verificam as seguintes equações:

onde é a constante de decaimento dos isótopos A (probabilidade de que um isótopo da espécie A se desintegre durante uma unidade de tempo) e é a constante de decaimento dos isótopos B.

  1. Determine a matriz do sistema e os seus valores próprios.
  2. Tendo em conta que as constantes de decaimento e são positivas, explique que tipo de ponto pode ser o ponto de equilíbrio para os possíveis valores dessas constantes.
  3. Se num instante inicial o número de isótopos A, B e C for, respetivamente, , e , onde é o número de Avogadro, quais serão os valores de , e após um tempo muito elevado?

(a) A matriz do sistema e os seus valores próprios são:

(%i24) A: matrix ([-k1, 0], [k1, -k2]);
(%o24)
(%i25) eigenvectors (A);
(%o25) [ [ [ , ], [1, 1] ], [ [ [0, 1] ], [ [1, ] ] ] ]

(b) Existem dois casos diferentes. Primeiro, se e , são diferentes, há dois valores próprios, reais e negativos, ou seja, o ponto de equilíbrio é um nó atrativo. Mas se as duas constantes e são iguais, existe um único valor próprio, real e negativo, e o ponto de equilíbrio é um nó impróprio atrativo.

(c) Como o ponto de equilíbrio na origem é atrativo, após um tempo elevado o sistema aproxima-se desse ponto de equilíbrio, ou seja, e . Se já não existem mais isótopos das espécies A nem B, isso quer dizer que todos os isótopos iniciais transformaram-se na espécie C e, como tal, será igual ao número total de isótopos das 3 espécies no início, .

Problema 9

No sistema dinâmico com equações de evolução:

onde é um parâmetro real que pode ter qualquer valor entre e , determine para quais possíveis valores de o ponto ( , ) = (0,0) é nó atrativo ou repulsivo, foco atrativo ou repulsivo, centro ou ponto de sela.

Existem várias formas possíveis de resolver este problema; um método simples é o seguinte. Trata-se de um sistema linear com matriz:

com traço e determinante iguais a:

A relação entre o traço e o determinante é . Num plano em que o eixo das abcissas representa o traço e o eixo das ordenadas representa o determinante , esta relação é uma reta com declive igual a 1, que corta o eixo das abcissas em .

A curva que delimita a região dos focos da região dos nós é a parábola , que corta a reta nos dois pontos onde:

O gráfico seguinte mostra a reta e a parábola:

Relação determinante-traço

O ponto de equilíbrio é ponto de sela, se o traço for menor que , nó atrativo, se o traço estiver entre e , foco atrativo, se o traço estiver entre e 0, centro se o traço for nulo, foco repulsivo, se o traço estiver entre 0 e ou nó repulsivo, se o traço for maior que . Tendo em conta que é igual ao traço, o resultado é então:

Note-se que quando , o ponto é nó impróprio, que já foi incluído nas categorias acima. Se , o determinante é zero, que indica que o sistema se reduz a uma única equação, , que representa um sistema com espaço de fase de dimensão 1, em que = 0 é ponto de equilíbrio atrativo; nesse caso a outra equação de evolução mostra que é igual a mais uma constante.