Problemas Resolvidos

6. Trabalho e energia

Problema 2

A lei da gravitação universal estabelece que qualquer corpo celeste de massa produz uma força atrativa sobre qualquer outro corpo de massa , dada pela expressão:

onde é a constante de gravitação universal, é a distância entre os dois corpos e é o versor radial, que aponta desde o corpo de massa até o corpo de massa . (a) Determine a expressão para a energia potencial gravítica devida ao corpo de massa . (b) Tendo em conta o resultado da alínea anterior, como se justifica a equação 6., , para a energia potencial gravítica de um objeto na Terra?

(a) Em coordenadas esféricas, o deslocamento infinitesimal é

Onde e são dois ângulos (medidos desde o semieixo positivo dos e no plano desde o semieixo positivo dos ) e os três versores , e são perpendiculares entre si. Assim sendo, o produto escalar da força gravítica com o deslocamento infinitesimal é igual a:

Como depende de apenas uma variável, conclui-se que o integral de linha de não depende do percurso de integração e a força gravítica é uma força conservativa. A energia potencial associada a essa força conservativa é igual a menos uma primitiva qualquer da força

(b) Para um valor qualquer , a série de Taylor de é:

O primeiro termo é uma constante, que pode ser ignorada, porque a energia potencial pode incluir sempre uma constante arbitrária com qualquer valor. No segundo termo, substituindo pelo raio da Terra, é então a altura desde a superfície da Terra e é igual à constante . Ignorando o resto da série, que para valores de muito menores que não altera significativamente a soma dos dois primeiros termos, obtém-se .

Problema 3

Num salto com vara, um atleta de 70 kg usa uma vara uniforme de 4.5 kg com 4.9 m de comprimento. O salto do atleta tem três fases: primeiro o atleta corre, com o seu centro de gravidade a 1 m de altura e com o centro de gravidade da vara a 1.5 m de altura, até atingir uma velocidade de 9 m/s no instante em que possa a vara no chão. Na segunda fase, a energia da corrida é transferida para a vara, que se deforma e volta a esticar ficando vertical e elevando o atleta até uma altura próxima da altura da fasquia. Finalmente o atleta estica os braços, fazendo com que a reação normal forneça alguma energia adicional que eleva o centro de gravidade do saltador até 5.8 m de altura, conseguindo assim ultrapassar a fasquia a 5.6 m. Admitindo que não existem perdas de energia, calcule qual foi a energia mecânica transferida para o saltador na última fase, quando esticou os braços.

Salto com vara

Quando o atleta corre com a vara, a energia mecânica do sistema atleta-vara (cinética de translação mais potencial gravítica) é

E no ponto mais alto da trajetória do atleta, em que ele e a barra estão em repouso, existe unicamente energia potencial gravítica

A energia transferida para o atleta quando empurrou a barra para o chão foi então essa energia final menos a energia inicial

Problema 4

Resolva o problema 7 do capítulo 4 aplicando o teorema do trabalho e a energia mecânica. A força exercida pelo bloco sobre o cone, quando o cone penetra no bloco, é uma força conservativa ou não?

O cone está em repouso nas posições inicial e final, quando este estava 30 cm acima do bloco e após ter penetrado a distância máxima de 5 cm no bloco. Como tal, não há variação da energia cinética entre essas duas posições e a diminuição da energia mecânica é igual à diminuição da energia potencial gravítica entre esses dois pontos:

Essa diminuição da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não conservativas que neste caso, desprezando a resistência do ar, é apenas o trabalho da força que o bloco exerce no cone desde a posição em que o cone toca o bloco ( = 0) até quando penetra a distância máxima:

Que conduz ao valor . Como as unidades de são newton, então as unidades da constante são N/m2. A força do bloco não é conservativa, porque só atua quando o cone está a penetrar; se o cone voltasse a subir, após ter penetrado no bloco, o bloco já não produzia nenhuma força sobre o cone. Ou seja, a força do bloco depende implicitamente da velocidade, porque é diferente quando o cone está a descer (velocidade negativa) ou quando está a subir (velocidade positiva) e quando o cone para a força é nula.

Problema 7

Uma esfera de raio roda, sem deslizar, dentro de uma calha semicircular de raio , que está num plano vertical (ver figura).

  1. Demonstre que, em função da derivada do ângulo , a energia cinética da esfera é
  2. Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica é constante e a sua derivada em ordem ao tempo é nula; derive a expressão da energia mecânica em ordem ao tempo e iguale a zero para encontrar a expressão da aceleração angular em função do ângulo.
  3. Entre que valores deve estar a energia mecânica para que a esfera permaneça oscilando dentro da calha?
  4. A partir do resultado da alínea b, determine a expressão para , no limite quando o raio da esfera é muito menor que o raio da calha ( ) e explique porque o resultado é diferente do resultado obtido para o pêndulo simples no problema 6.
Esfera numa calha circular

(a) O centro de massa da esfera desloca-se num arco de círculo com ângulo e raio constante ; ou seja, a velocidade do centro de massa da esfera é

E como não desliza, o ponto da esfera em contacto com a calha tem velocidade nula. A diferença de velocidades do centro de massa da esfera e do ponto em contacto com a calha, dividida pela distância entre eles, dá a velocidade angular da esfera

A energia cinética da esfera é

Substituindo a expressão para o momento de inércia de uma esfera (ver tabela 5.1) e as expressões da velocidade do centro de massa e da velocidade angular obtém-se

(b) A energia mecânica é

e a sua derivada em ordem ao tempo é

Igualando a zero obtém-se

(c) A energia mínima é quando a esfera fica no ponto mais baixo da calha ( ) com velocidade nula ( ):

e a energia máxima é quando a esfera chega até o ponto A ( ) com velocidade nula ( ):

(d) O valor absoluto de é menor num fator 5/7, devido a que parte da energia potencial gravítica é transformada em energia cinética de rotação da esfera. A energia cinética de rotação é sempre 2/5 da energia cinética de translação, independentemente do valor de ; assim sendo, no limite também 2/7 da energia gravítica são convertidos em energia de rotação e apenas os restantes 5/7 fazem aumentar .

Do ponto de vista das forças, no caso do pêndulo não há nenhuma força oposta ao movimento do centro de massa, enquanto que neste caso a força de atrito estático é oposta ao movimento do centro de massa. No entanto, essa força não realiza nenhum trabalho porque o ponto da esfera onde é aplicada não se desloca e a força de atrito não reduz a energia mecânica da esfera; simplesmente faz com que a energia fornecida pela gravidade sela distribuída entre energias cinéticas de translação e de rotação.

Problema 9

Resolva o problema 8 do capítulo 5 aplicando o princípio de conservação da energia mecânica.

A figura seguinte mostra as posições inicial e final da tampa da janela. C é o centro de massa e E o eixo das dobradiças.

Posições inicial e final no problema 6.9

Como a velocidade de E é nula, a velocidade do centro de massa é então igual a , onde é a velocidade angular da tampa, e a energia cinética da tampa é

Substituindo a expressão para o momento de inércia de um paralelepípedo (tabela 5.1) e o valor de , obtém-se

Por conservação da energia mecânica, a energia cinética na posição final é igual à diminuição de energia potencial gravítica, que é igual ao peso vezes a altura que o centro de massa desceu:

Igualando as últimas duas equações obtém-se o valor final da velocidade angular