Apêndice B. Cálculo do campo elétrico

B.1. Campo de uma esfera condutora

Numa esfera condutora isolada, a carga distribui-se uniformemente na superfície. Se o raio da esfera é e a carga total , então a densidade superficial de carga é constante e igual à carga total dividida pela área da superfície da esfera

(B.1)

Para calcular o campo elétrico num ponto P qualquer, que está a uma distância do centro da esfera, é conveniente definir o eixo dos com origem O no centro da esfera e passando pelo ponto P, como se mostra na figura B.1

Esfera condutora com carga
Figura B.1: Esfera condutora com carga.

Divide-se a superfície da esfera em muitos pequenos pedaços, calcula-se o campo produzido por cada pedaço no ponto P e o campo total é a sobreposição de todos esses campos. A figura B.1 mostra um pequeno pedaço infinitesimal de superfície na vizinhança de um ponto S, com coordenadas esféricas (, , ). O ângulo mede-se desde o eixo dos , num plano que passa por esse eixo e pelo ponto S; o aumento infinitesimal desse ângulo, descreve um arco de círculo de comprimento . O ângulo mede-se num plano perpendicular ao eixo dos e como a distância desde S até o eixo dos é , o aumento infinitesimal de conduz a um arco de círculo de comprimento . Como tal, a área da região infinitesimal na vizinhança do ponto S é

(B.2)

A carga infinitesimal nessa região obtém-se multiplicando esta área pela carga superficial (equação  B.1)

(B.3)

Essa carga infinitesimal pode ser considerada uma carga pontual e, assim sendo, o módulo do campo que ela produz no ponto S é dado pela expressão do campo para uma carga pontual (equação  1.5)

(B.4)

onde é a distância desde a região infinitesimal na superfície da esfera, até o ponto P. O vector faz uma ângulo com o eixo dos . Por cada pedaço infinitesimal de superfície esférica na vizinhança do ponto (, , ), o pedaço de superfície na vizinhança de (, , ), indicado a tracejado na figura B.1, produz campo com o mesmo módulo na equação B.4 e com o mesmo ângulo em relação ao eixo , mas oposto de forma que as componentes dos dois campos perpendiculares ao eixo anulam-se e só fica a componente paralela ao eixo . Conclui-se então que o campo total deverá ser na direção do eixo e para o calcular basta integrar a componente , do campo produzido pela região infinitesimal, em ordem a e a

(B.5)

Como e dependem de mas não dependem de , o integral em ordem a é simplesmente igual a

(B.6)

Este integral é mais simples de calcular expressando os dois ângulos e em função da distância , usando o teorema do cosseno aplicado ao triângulo na figura B.1

(B.7)
(B.8)

A expressão para obtém-se a partir da equação B.7

(B.9)

Lembre-se que e são constantes para todos os segmentos da superfície esférica. A expressão para obtém-se derivando a equação o B.8

(B.10)

Substituindo as expressões B.9 e B.10 na equação B.6 obtém-se

(B.11)

Onde e são os valores mínimo e máximo da distância , em e . O resultado do integral é

(B.12)

É necessário considerar dois casos diferentes, quando o ponto P está dentro ou fora da esfera. Quando o ponto P está dentro da esfera, , e, como tal, e

Ou seja, o campo elétrico em qualquer ponto dentro da esfera é nulo. Fora da esfera, , e

Que é o mesmo campo produzido por uma carga pontual colocada no centro da esfera. Resumindo, o campo da esfera condutora é na direção radial, atrativo se ou repulsivo se e com módulo igual a


(B.13)

B.2. Campo de duas esferas condutoras concêntricas

A figura fig-B.2 mostra duas esferas condutoras concêntricas isoladas, de raios e . A esfera de raio tem carga total , a esfera de raio tem carga total e . O campo de cada uma das esferas é dado pela expressão obtida na secção anterior e o campo total é a soma desses dois campos.

Esferas condutoras com carga
Figura B.2: Esferas condutoras concêntricas com carga.

No interior da esfera menor, o campo é nulo por todos os pontos nessa região encontram-se no interior das duas esferas e as esferas condutoras não produzem campo no seu interior. Nos pontos que estão entre as duas esferas, o campo é igual ao campo da esfera menor, porque esses pontos estão no interior da esfera maior, onde esta não produz nenhum campo. Nos pontos fora das duas esferas, o campo total é igual à soma dos campos das duas esferas o a subtração deles, segundo e tenham o mesmo sinal ou sinais opostos.

A expressão para o módulo do campo total a uma distãncia do centro das esferas é então



(B.14)

O campo é sempre na direção radial. Entre as duas esferas, o campo aponta no sentido radial se é positiva, ou no sentido oposto se é negativa. Fora das duas esferas, o campo é repulsivo se é positiva, ou atrativo se é negativa.

As expressões obtidas neste apêndice para o campo da esfera condutora e das duas esferas concêntricas podem ser obtidas mais facilmente usando a lei de Gauss, como se explica no capítulo 6. No entanto, o método usado neste apêndice é mais geral e permite obter campos de distribuições de carga mais complicadas. O problema é que os integrais obtidos podem não ter solução analítica, tendo de ser calculados de forma numérica.