11. Circuitos de corrente alternada

Introdução

Dispositivo patenteado por Tesla

No fim da década de 1880 viveu-se nos Estados Unidos da América um período conhecido como a Guerra das Correntes. Nessa época já existia uma rede elétrica pública, usada principalmente para alimentar lâmpadas incandescentes e motores elétricos. A exploração dessa rede elétrica revertia grandes benefícios a Thomas A. Edison que tinha obtido várias patentes pela invenção da lâmpada e de vários dispositivos para gerar corrente contínua. Outras pessoas tentaram entrar nesse novo negócio milionário com as suas inovações; George Westinghouse, que já tinha tido sucesso comercial com as suas próprias patentes, contratou Nicola Tesla, um cientista brilhante, imigrante da Croácia. Tesla obteve uma patente pelo dispositivo esquematizado acima, utilizado para produzir e distribuir corrente alternada. A guerra das correntes acabaria por ser ganha pelo sistema de corrente alternada de Tesla e Westinghouse; uma das principais vantagens sobre o sistema de corrente contínua de Edison é a facilidade de poder aumentar ou diminuir a tensão por meio de transformadores.

11.1. Circuito LC

No circuito do lado esquerdo da figura 11.1, o interruptor está fechado (há muito tempo) e o interruptor aberto. Num instante, = 0, abre-se o interruptor e, simultaneamente, fecha-se o interruptor . Assim, para ≥ 0 o circuito equivalente é o representado no lado direito da figura 11.1, denominado circuito LC.

Circuito LC
Figura 11.1: Circuito LC, em < 0 (esquerda) e circuito equivalente em ≥ 0 (direita), com aberto e fechado.

A impedância do condensador é e a do indutor . A lei de Ohm generalizada, deixa de ser válida para o indutor, porque no instante a corrente que o percorre não é nula. Lembrando que a lei de Ohm foi obtida transformando a expressão para os indutores:

(11.1)

conclui-se que, para os indutores, a relação mais geral entre as transformadas da tensão e da corrente é

(11.2)

Com o condensador não há problema, porque neste caso se admite que a sua carga inicial é nula, pelo que a transformada da tensão nas armaduras é . Outra diferença em relação aos circuitos estudados anteriormente é que, quando não há fontes, os condensadores e os indutores deixam de ser elementos passivos que respondem às mudanças na fonte; neste exemplo, em cada instante um dos elementos é passivo (perde energia) e o outro é ativo (absorve energia). Consequentemente, as tensões no condensador e no indutor são iguais em valor absoluto, mas com sinais opostos e a equação do circuito é:

(11.3)

Esta equação algébrica é a transformada de Laplace da equação diferencial do circuito:

(11.4)

que é a equação de um oscilador harmónico simples. A matriz jacobiana dessa equação linear tem dois valores próprios imaginários e a solução da equação é

(11.5)

em que é a frequência angular do circuito,

(11.6)

A carga no condensador, em função do tempo, é

(11.7)

e como tal, a corrente e a carga oscilam com frequência , desfasadas 90°, de forma que quando uma delas é nula, a outra tem o seu valor absoluto máximo (figura 11.2).

Corrente e carga num circuito LC
Figura 11.2: Corrente e carga no circuito LC ().

A corrente 11.5 chama-se corrente alternada e a carga 11.7 é uma carga alternada. No capítulo sobre indução eletromagnética também se estudou um gerador que produz tensão alternada (equação 9.10). Em geral, uma função alternada é uma função periódica com valor médio igual a zero; a carga e a corrente no circuito LC, assim como a tensão do gerador de tensão alternada, são 3 exemplos particulares em que a função alternada é o seno ou cosseno.

11.2. Funções sinusoidais

Uma função sinusoidal é uma função alternada que oscila entre dois valores e e tem a mesma forma da função seno ou cosseno, como mostra a figura 11.3. Basta saber os valores das 3 distâncias , e referidas na figura, para caraterizar cada uma dessas funções.

Função sinusoidal
Figura 11.3: Função sinusoidal com período e valor máximo .

O intervalo entre dois máximos ou dois mínimos sucessivos é o período da função e o seu inverso, , é a frequência.

Designando por o valor absoluto da coordenada onde a função atinge o seu valor máximo , pela última vez antes de = 0, define-se a fase da função como:

(11.8)

Uma função sinusoidal também pode ser caraterizada pelo seu valor máximo (chamado amplitude), a sua fase e a sua frequência angular: , definida por:

(11.9)

Assim sendo, as funções sinusoidais têm todas a forma geral:

(11.10)

Note-se que é possível representar a mesma função de várias formas. Pode-se substituir o cosseno por seno e subtrair à fase, sem alterar o resultado. Pode-se também inverter os sinais da frequência angular e da fase, simultaneamente, e ainda somar ou subtrair qualquer múltiplo de à fase. No entanto, para facilitar a identificação à vista, utilizam-se apenas a função cosseno, frequências angulares positivas e fases no intervalo [0, 2[. Essas 3 escolhas são arbitrárias, mas são habituais.

Duas funções sinusoidais que não tenham o mesmo valor máximo, fase e frequência angular, são necessariamente diferentes. E duas funções sinusoidais com a mesma frequência angular terão, necessariamente, a mesma frequência e o mesmo período.

11.3. Fasores

As funções sinusoidais com a forma 11.10 podem ainda ser escritas usando a fórmula de Euler e a função que extrai a parte real de um número complexo :

(11.11)

Esta forma facilita a identificação de uma propriedade importante na soma de duas funções sinusoidais com diferentes valores máximos e fases, mas com a mesma frequência:


(11.12)

Ou seja, a soma de duas funções sinusoidais com a mesma frequência é também uma função sinusoidal com a mesma frequência.

Quando se trabalha com várias funções sinusoidais, todas com a mesma frequência, pode-se admitir implicitamente a função e a parte que depende do tempo, , representando cada função pelos números complexos que multiplicam essa exponencial:

(11.13)

Essas expressões complexas que definem o valor máximo e a fase das funções sinusoidais são denominadas fasores. O uso de letras negritas é porque estes objetos têm algumas das propriedades dos vetores e dos números complexos, mas não são realmente nem vetores nem números complexos.

Mais concretamente, a soma de duas funções sinusoidais com a mesma frequência é outra função sinusoidal da mesma frequência e o respetivo fasor é obtido somando os números complexos ou os vetores que representam os fasores das funções somadas (ver exemplo abaixo). No entanto, como o produto entre duas funções sinusoidais com a mesma frequência é igual a uma função constante mais uma função sinusoidal com o dobro da frequência, o produto entre fasores não pode ser definido pelo simples produto entre números complexos nem pelo produto entre vetores (na secção 11.6 explica-se como obter o produto entre funções sinusoidais). Como tal, os fasores são outro tipo de objetos diferentes dos números complexos e dos vetores.

Outra forma útil de representar os fasores consiste em escrever o valor máximo e a fase separados pelo símbolo de ângulo: . É também útil a representação vetorial no plano, em que em = 0 o fasor é um vetor desde a origem até o ponto (, , como mostra a figura 11.4. Em > 0, esse vetor roda um ângulo igual a , terminando no ponto (, . Ou seja, o vetor que representa o fasor no plano roda no sentido anti-horário, com velocidade angular constante . O valor da função sinusoidal (parte real) é a projeção desse vetor no eixo horizontal. Assim sendo, enquanto o vetor roda no plano, o valor da função oscila entre e .

Fasor
Figura 11.4: Representação gráfica de um fasor .

Exemplo 11.1

Num nó num circuito de corrente alternada entram duas correntes e saem outras duas correntes. Sabendo que as expressões das correntes que entram são e , e uma das correntes que sai é , calcule a outra corrente que sai, indicando o seu valor máximo e a sua fase.

Resolução. Em termos matemáticos, o que está a ser pedido é o cálculo de

de forma a obter uma única função cosseno.

Começando por escrever os fasores das 3 correntes, no caso da primeira corrente é necessário subtrair à fase, para substituir o seno por cosseno. O fasor da quarta corrente é a soma dos dois primeiros fasores, subtraído do terceiro:

A seguir, calculam-se as partes real e imaginária de cada fasor, tarefa que é facilitada usando a representação gráfica (lado esquerdo na figura 11.5).

Soma de fasores
Figura 11.5: Soma de fasores.

Assim, o fasor da quarta corrente é:

O valor máximo desse fasor é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de e 1 unidades, nomeadamente . A fase é o ângulo oposto ao cateto de comprimento 1 nesse triângulo retângulo, . O resultado obtido é:

Embora os fasores não sejam verdadeiros vetores, somam-se exatamente como se fossem vetores, somando coordenadas, ou geometricamente, como no lado direito da figura 11.5.

11.4. Tensão alternada

Uma tensão alternada é um sinal sinusoidal dado por:

(11.14)

Nos diagramas de circuito, uma fonte ideal de tensão alternada representa-se pelo símbolo indicado na figura 11.6. Junto do símbolo indica-se a tensão máxima e pode também indicar-se a frequência ou a fase. Os valores apresentados na figura são os que estão em uso na rede elétrica pública da União Europeia: frequência de 50 Hz e tensão máxima de 325 V.

Diagrama de uma fonte de voltagem alternada
Figura 11.6: Três formas de representar fonte ideal de tensão alternada com tensão máxima de 325 V e frequência de 50 Hz.

Se no diagrama identificam-se os terminais com os sinais + e −, isso quererá dizer que a expressão dada para a tensão na fonte representa a diferença de potencial entre o terminal identificado com o sinal + e o terminal com o sinal −. Observe-se que essa diferença de potencial muda de sinal periodicamente e em alguns intervalos o potencial no terminal − passa a ser maior do que no terminal +. Por vezes utiliza-se também uma ligação à terra e, nesse caso, não é necessário indicar sinais mas admite-se que a expressão dada para a tensão da fonte é a diferença de potencial do terminal que não está ligado à terra menos o potencial na terra, que costuma ser arbitrado igual a zero.

11.5. Impedância complexa

Se todas as fontes de tensão num circuito forem fontes de tensão alternada com a mesma frequência, em qualquer parte do circuito a tensão é também alternada, com a mesma frequência, já que a regra das malhas garante que a tensão é igual à soma das outras tensões na mesma malha, com sinal oposto e conclui-se que se a tensão em algum segmento da malha é sinusoidal, a tensão em qualquer outro segmento também será sinusoidal e com a mesma frequência.

No capítulo anterior deduziu-se a lei de Ohm generalizada para as transformadas de Laplace da tensão e da corrente (equação 10.28):

(11.15)

Como é uma função sinusoidal, a sua transformada de Laplace é (ver o apêndice C):

(11.16)

com tal,

(11.17)

Admitindo que não é igual a zero, a expansão em frações parciais da expressão no segundo membro deve incluir um termo com denominador

(11.18)

em que o termo é a corrente transitória, que não tem nenhum fator no denominador.

Substituindo essa expressão e a transformada da tensão na lei de Ohm generalizada, obtém-se:

(11.19)

Multiplicando ambos os membros da equação por e substituindo por obtém-se:

(11.20)

Ou seja, os fasores da tensão e da corrente também verificam a lei de Ohm generalizada, com a frequência real substituída por uma frequência imaginária , o que conduz a uma impedância complexa . Alguns autores preferem chamar simplesmente impedância; também pode-se usar a notação , em vez de , mas mostra em forma explícita a sua relação com a impedância generalizada .

A impedância complexa é uma função complexa que pode ser dividida nas suas partes real e imaginária:

(11.21)

onde as funções reais e chamam-se resistência e reatância. A resistência é sempre positiva, independentemente da frequência angular , enquanto que a reatância pode ser positiva para algumas frequências (reatância indutiva) e negativa para outras frequências (reatância capacitiva).

Para um determinado valor de , o módulo e fase da impedância complexa podem ser calculados usando a representação gráfica de no plano complexo, obtendo-se o triângulo de impedância apresentado na figura 11.7. Como não pode ter valores negativos, o ângulo situa-se sempre entre e radianos.

Triângulo de impedância
Figura 11.7: Triângulo de impedância, com a resistência e a reatância nos catetos.

Note-se que a impedância complexa não é um fasor mas sim um número complexo ordinário, que pode ser multiplicada e somada a outras impedâncias usando as regras do produto e a adição de números complexos. Também se pode multiplicar ou dividir um fasor por várias impedâncias e o resultado é outro fasor com a mesma frequência.

Se os fasores da tensão e da corrente forem e , a lei de Ohm para fasores (equação 11.20) resulta em:

(11.22)

podendo-se portanto separar a equação complexa 11.20 em duas equações reais:

(11.23)

11.5.1. Resistências

Numa resistência, a impedância generalizada é independente da frequência e igual a ; como tal, o módulo da impedância complexa é e a sua fase é nula . As equações 11.23 indicam que as fases de e são iguais e os seus valores máximos verificam a relação,

(11.24)

Os vetores no lado esquerdo da figura 11.8 são os fasores no instante = 0, mas como os dois vetores rodam com a mesma velocidade angular, estarão sempre na mesma direção e sentido em qualquer instante. Imaginando esses dois vetores a rodar no sentido anti-horário, com a mesma velocidade angular, as suas projeções no eixo real (tensão e corrente em função do tempo) são as funções apresentadas no lado direito da figura. Diz-se que a tensão e a corrente estão em fase: os dois vetores têm sempre a mesma direção e sentido, de forma que ambas as funções atingem os respetivos valores máximo e mínimo em simultâneo.

Fasores numa resistência
Figura 11.8: Fasores da tensão e da corrente numa resistência.

11.5.2. Condensadores

Nos condensadores, a impedância generalizada é e a impedância complexa é então:

(11.25)

Em particular, a reatância de um condensador é negativa e inversamente proporcional à frequência angular,

(11.26)

sendo a sua resistência nula.

Aplicando as equações 11.23 obtém-se

Ou seja, a fase da corrente é maior que a da tensão. Na representação vetorial dos fasores, no lado esquerdo da figura 11.9, a corrente é perpendicular à tensão e está adiantada em relação ao sentido de rotação anti-horário. Os vetores estão nas posições em que estão os fasores em = 0; enquanto esses vetores rodam no sentido anti-horário, com velocidade angular constante, a projeção no eixo das abcissas produz as funções representadas no lado direito da figura. Como os dois vetores rodam com a mesma velocidade angular, são perpendiculares em qualquer instante. O desfasamento de entre a corrente e a tensão também observa-se nos gráficos do lado direito, pelo facto de ter valor máximo ou mínimo cada vez que é nula. E o facto de ser a corrente a que está adiantada em relação à tensão descobre-se observando dois máximos (ou mínimos), das duas funções e , que estejam próximos entre si. O máximo de ocorre sempre antes do que o máximo de ).

Fasores num condensador
Figura 11.9: Fasores da tensão e da corrente num condensador.

11.5.3. Indutores

Nos indutores a impedância generalizada é , sendo a impedância complexa:

(11.27)

A reatância de um indutor é positiva e diretamente proporcional à frequência angular:

(11.28)

sendo a sua resistência nula.

A partir das equações 11.23 conclui-se que a fase da corrente é menor que a da tensão. Na representação gráfica dos fasores (lado esquerdo da figura 11.10) o fasor da corrente é perpendicular ao da tensão e está atrasado, em relação ao sentido da rotação. Como os dois vetores rodam com a mesma velocidade angular, em qualquer outro instante também são perpendiculares.

As projeções no eixo real quando os vetores rodam no sentido anti-horário conduzem às duas funções representadas no lado direito da figura. O atraso em do fasor da corrente é visível no gráfico das funções, porque olhando para os valores máximos dessas duas funções, que estão mais próximos entre si, primeiro ocorre o máximo de e a seguir o de .

Fasores num indutor
Figura 11.10: Fasores da tensão e da corrente num indutor.

Exemplo 11.2

Determine a tensão e corrente instantâneas em todos os elementos do circuito representado no diagrama.

Circuito de corrente alternada

Resolução. Este circuito é o mesmo que já foi analisado no exemplo 10.3 do capítulo anterior. Usando o mesmo sistema de unidades tem-se: impedância em kΩ, capacidade em µF, indutância em H, tempo em ms, frequência em kHz, tensão em V e corrente em mA. A frequência angular da fonte é:  Hz, mas como deve ser convertida para kHz, tem o valor /10.

A impedância da resistência é 2.5, a do condensador e a do indutor é . Como a resistência está em série com o indutor, podem ser substituídos por um único elemento com impedância igual à soma das impedâncias:

Circuito de corrente alternada no domínio da frequência

Como os dois elementos no circuito simplificado estão em paralelo, o fasor da tensão é o mesmo para os dois e igual ao fasor da fonte: . Dividindo esse fasor pelas impedâncias dos dois elementos calculam-se as correntes correspondentes. Em seguida, multiplicando o fasor da segunda corrente pelas impedâncias da resistência e do indutor, calculam-se os fasores das tensões:

Fasores num circuito de corrente alternada

A partir dos fasores podem-se exprimir as tensões e correntes instantâneas:

:
:
:

Interessa mostrar a resolução deste exemplo usando o Maxima. As impedâncias do condensador, resistência e indutor representam-se por , e , respetivamente e representa a impedância da associação em série da resistência com o indutor em série. Para obter maior precisão numérica, escrevem-se os valores dados no enunciado na forma de números racionais:

(%i1) s: %i*%pi/10$
(%i2) z1: 10/36/s$
(%i3) z2: 5/2$
(%i4) z3: 72*s/10$
(%i5) z4: z2 + z3$

Os fasores da tensão e a corrente no condensador são:

(%i6) V1: 325$
(%i7) I1: V1/z1$

A corrente máxima e a fase são o módulo e a fase do número complexo I1, que no Maxima são obtidos com as funções cabs e carg (cabs quer dizer complex absolute value e carg complex argument. O módulo e a fase de um número complexo também costumam chamarem-se valor absoluto e argumento.)

(%i8) float(cabs(I1));
(%o8)     
(%i9) carg(I1);
(%o9)     

Os fasores da corrente e as tensões na resistência e no indutor são:

(%i10) I4: V1/z4$
(%i11) float(cabs(I4));
(%o11)     
(%i12) float(carg(I4));
(%o12)     
(%i13) V2: I4*z2$
(%i14) float(cabs(V2));
(%o14)     
(%i15) float(carg(V2));
(%o15)     
(%i16) V3: I4*z3$
(%i17) float(cabs(V3));
(%o17)     
(%i18) float(carg(V3));
(%o18)     

11.6. Potência nos circuitos de corrente alternada

Em qualquer ponto de um circuito de corrente alternada, a corrente é uma função sinusoidal; em cada período de oscilação, a mudança de sinal da função sinusoidal indica que o sentido da corrente muda. O integral da função, em cada período é nulo, o quer dizer que a carga total transferida é nula; durante metade do período há transporte de carga num sentido e no meio período seguinte a mesma carga é transportada no sentido oposto.

Não há transferência efetiva de carga nos circuitos de corrente alternada. As cargas de condução simplesmente oscilam à volta de uma posição de equilíbrio. Apesar de não haver transferência efetiva de cargas, há dissipação efetiva de energia elétrica, pois a oscilação das cargas é contrariada pela resistência dos condutores e há efeito Joule, independentemente do sentido da corrente.

Em qualquer dispositivo passivo num circuito com fonte de tensão alternada, a tensão e a corrente são funções sinusoidais com a mesma frequência da fonte, após uma possível resposta transitória inicial:

(11.29)

A potência instantânea, , é a potência no dispositivo em qualquer instante

(11.30)

Usando uma relação trigonométrica para o produto de dois cossenos e o facto de ser (equação 11.23), conclui-se que a expressão anterior é equivalente a:

(11.31)

Note-se que o primeiro cosseno dentro dos parêntesis retos em 11.31 é uma função sinusoidal, com frequência igual ao dobro da frequência da fonte, enquanto o segundo cosseno é uma função constante. Ou seja, o produto das duas funções sinusoidais ( e ) com a mesma frequência não conduz outra função sinusoidal com a mesma frequência, mas a uma função sinusoidal com o dobro da frequência, deslocada no eixo das ordenadas.

A potência instantânea 11.31 pode ser positiva ou negativa em alguns intervalos e nula em alguns instantes, dependendo do valor da constante , chamada fator de potência. Como está entre e , o fator de potência situa-se entre 0 e 1.

Se a reatância for nula (dispositivo resistivo) e a fase da impedância () é nulo, o fator de potência é igual a 1 e a potência instantânea é sempre positiva, indicando que o dispositivo está sempre a dissipar energia. Já se a resistência for nula (dispositivo reativo), a fase da impedância é , o fator de potência é nulo e os intervalos em que a potência instantânea é positiva (dissipação de energia) são do mesmo comprimento que os intervalos em que é negativa (fornecimento de energia); a potência média é nula.

No caso geral, em que o fator de potência é maior que 0 e menor que 1, os intervalos em que há dissipação de energia são mais compridos do que os intervalos em que há fornecimento de energia e, em média, o circuito dissipa energia.

O valor médio da potência, , calcula-se integrando a função 11.31 durante um período e dividindo pelo valor do período. O integral do primeiro termo é nulo, durante um período, enquanto que o valor médio do termo constante é igual a si próprio. Consequentemente, a potência média é:

(11.32)

e tem valor positivo ou nulo, indicando que, em média o dispositivo passivo não pode fornecer energia.

É também habitual definir a tensão eficaz e a corrente eficaz:

(11.33)

e como tal, a potência média é igual ao produto da tensão e corrente eficazes e o fator de potência:

A tensão máxima de 325 V usada na União Europeia corresponde a uma tensão eficaz de 230 V. No continente americano usa-se tensão máxima de 170 V, a 60 Hz, que corresponde a uma tensão eficaz de 120 V.

11.7. Filtros de frequência

A equação 10.36, obtida no capítulo anterior, é válida para qualquer sinal de entrada. Para um sinal de entrada sinusoidal, usando a expressão para a transformada de Laplace das funções sinusoidais (apêndice C) obtém-se,

(11.34)

Se tiver um valor finito, a expansão de em frações parciais conduz a

(11.35)

onde é um número complexo, que corresponde ao fasor da saída (após a resposta transitória), e o termo é a transformada da tensão de resposta transitória, que não tem o fator no denominador.

Substituindo essa expansão na equação 11.34, obtém-se:

(11.36)

Multiplicando ambos os membros da equação por e substituindo por obtém-se:

(11.37)

onde a função de transferência é uma função complexa chamada função resposta de frequência. Assim sendo, se a tensão de entrada for a tensão alternada , a tensão de saída será

(11.38)

onde e são o módulo e a fase da função complexa .

Por exemplo, no caso do filtro passa-alto, mostrou-se no capítulo anterior que a função de transferência é (equação 10.38):

(11.39)

A função de resposta de frequência é então:

(11.40)

e o módulo e a fase são:

(11.41)

A figura 11.11 mostra o módulo da função resposta de frequência para um filtro passa-alto com frequência angular de corte, , igual a 0.5 e a figura 11.12 mostra a fase dessa função. Note-se que quando a frequência angular é igual à frequên cia de corte , então tem módulo e fase igual a .

Função resposta de frequência dum filtro passa-alto
Figura 11.11: Módulo da função resposta de frequência do filtro passa-alto com frequência angular de corte = 0.5 unidades.
Função resposta de frequência dum filtro passa-alto
Figura 11.12: Fase da função resposta de frequência do filtro passa-alto com frequência angular de corte = 0.5 unidades.

Vários filtros podem ser combinados de forma sequencial, e a função de resposta é o produto das funções de todos os filtros na sequência. Por exemplo, o circuito na figura 11.13 é a combinação de um filtro passa-alto, com frequência angular de corte e um filtro passa-baixo, com frequência angular de corte .

Filtro passa_banda
Figura 11.13: Filtro passa-banda e módulo da sua função de resposta de frequência, com frequências de corte de 2 e 4 unidades.

A tensão na resistência é a saída do filtro passa-alto, que constitui a tensão de entrada do filtro passa-baixo. Como tal, multiplicando as funções resposta do filtro passa-alto (equação 11.40) e do filtro passa-baixo (problema 7 do capítulo anterior) obtém-se:

(11.42)

O filtro passa-alto atenua as frequências angulares menores que e o filtro passa-baixo atenua as frequências maiores que . Utilizando condensadores e resistências com valores que façam com que < , o filtro atenuará as frequências fora da banda compreendida entre e , deixando passar as frequências angulares na banda ; esse tipo de filtro é designado passa-banda. A figura 11.13 mostra o módulo da função resposta de frequência para o caso , .

Um filtro ideal deveria ter uma função de resposta nula, para as frequências que se pretende eliminar, e 1 nas outras frequências. Com circuitos mais complicados conseguem-se obter filtros com comportamento mais próximo do ideal. Outro fator a ter em conta é a resposta transitória, que tem sido ignorada por ser nula após algum tempo, mas num filtro de boa qualidade é necessário garantir que a resposta transitória desaparece o mais rapidamente possível.

11.8. Ressonância

Nos circuitos com condensadores e indutores em série, a reatância equivalente é função contínua da frequência . Quando se aproxima de infinito, o limite da reatância é e quando se aproxima de zero, o limite da reatância é . Nesses dois limites o módulo da impedância equivalente é , que implica corrente nula no circuito.

Existe uma frequência intermédia, designada de frequência de ressonância, para a qual a reatância é nula e o módulo da impedância é mínimo; isso implica que o ângulo da impedância () é nulo, o fator de potência () é 1 e a corrente máxima e a potência média atingem valores máximos em ordem a . Ou seja, quando a frequência da fonte é igual à frequência de ressonância do circuito, a tensão e a corrente oscilam em fase e diz-se que o circuito está em ressonância com a fonte. A frequência (ou frequências) de ressonância é um valor caraterístico de cada circuito. Nos circuitos em que os indutores e condensadores não estão em série, a frequência de ressonância é a que produz o valor máximo possível para e nessas condições a reatância não é necessariamente nula nem o fator de potência igual a 1.

Exemplo 11.3

Encontree a frequência de ressonância do circuito e a potência média máxima que pode fornecer a este circuito uma fonte com tensão máxima .

Circuito ressonante

Resolução. Com a resistência em MΩ e a capacidade em pF, convém usar µs para a unidade de tempo e, portanto, MHz para a frequência e H para a indutância.

A impedância total do circuito é a soma das 3 impedâncias:

Observe-se que a parte real da impedância equivalente não depende da frequência, porque o condensador e o indutor estão em série e, como tal, o valor mínimo do módulo da impedância obtém-se quando a parte imaginária seja igual a zero:

No sistema de unidades utilizado, a frequência de ressonância é  MHz  kHz.

Se a fonte tivesse essa frequência, a impedância equivalente seria real,  MΩ, e a corrente máxima teria o valor (µA, se estiver em volts). A potência média máxima é (µW, se estiver em volts).


No circuito do exemplo anterior, a tensão de entrada carrega e descarrega o condensador. Inicialmente, a carga no condensador oscila com a frequência de oscilação da tensão na fonte; mas quando a carga no condensador é elevada, a diferença de potencial do condensador pode contrariar a tensão da fonte, impedindo a entrada de mais carga.

A situação é semelhante a uma massa pendurada de uma mola elástica, na qual atua outra força externa que tenta manter a massa oscilando para cima e para baixo. Se a força externa não oscila com a uma frequência igual à frequência própria de oscilação da mola elástica, há momentos em que a força externa está a tentar fazer subir a massa, enquanto a mola elástica faz força no sentido oposto.

No caso do circuito, se a fonte não existisse mas o condensador tivesse uma carga inicial, começaria a descarregar, produzindo corrente. No momento em que o condensador descarrega completamente, o indutor faz com que a corrente persista por alguns instantes, recarregando o condensador com cargas de sinais opostos à carga inicial. O ciclo repete-se, com uma frequência própria do circuito. No entanto, a resistência faz com que a carga do condensador seja menor em cada ciclo, até desaparecer (equilíbrio estável). Existe ressonância quando a fonte oscila com a frequência própria do circuito.

Se a resistência fosse nula, quando a frequência da fonte fosse a frequência de ressonância, seria nula e aparentemente seria infinita. No entanto, a corrente não aumenta instantaneamente até esse valor, mas sim gradualmente, com as oscilações da carga no condensador. Quando essa carga máxima se torna muito elevada, há rutura do dielétrico no condensador ou a corrente elevada queima o indutor.

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

  1. As expressões das correntes no segmento de circuito representado no diagrama são
    Encontre a expressão para .
    prob_fasores
  2. Um condensador de 2.73 µF e uma resistência de 1166 Ω estão ligados em série a uma fonte de tensão alternada com frequência de 50 Hz e tensão máxima de 325 V. Calcule a corrente eficaz na resistência.
    1. 247 mA
    2. 139 mA
    3. 99 mA
    4. 212 mA
    5. 170 mA
  3. Um condensador de 2.73 µF e uma resistência de 1166 Ω estão ligados em série a uma fonte de tensão alternada de 50 Hz. Pode-se concluir então que a tensão da fonte está:
    1. Adiantada 90° em relação à corrente.
    2. Adiantada 45° em relação à corrente.
    3. Atrasada 90° em relação à corrente.
    4. Atrasada 45° em relação à corrente.
    5. Em fase com a corrente.
  4. Qual das afirmações seguintes é verdadeira, em relação a uma bobina de 2 mH e um condensador de 5 pF?
    1. O valor absoluto da reatância da bobina é menor.
    2. O valor absoluto da reatância do condensador é menor.
    3. Se a corrente for contínua, o valor absoluto da reatância da bobina é menor.
    4. Se a corrente for contínua, o valor absoluto da reatância do condensador é menor.
    5. Se a corrente for contínua, a reatância dos dois dispositivos é nula.
  5. Num circuito RLC de corrente alternada, em série, quando a reatância equivalente for nula, qual das seguintes afirmações é verdadeira:
    1. A impedância é nula.
    2. O fator de potência é nulo.
    3. O ângulo de desfasamento é nulo.
    4. A corrente é nula.
    5. A tensão é nula.

Problemas

  1. Sabendo que o fasor representado na figura 11.4 é , determine a expressão para a função sinusoidal, , representada por esse fasor.
  2. A resistência de uma bobina é 150 Ω e a sua indutância é 1.4 H. A bobina é ligada à rede elétrica com tensão máxima 325 V e frequência de 50 Hz. Encontre a expressão para a corrente na bobina em função do tempo .
  3. Uma bobina, com indutância de 36 mH e resistência de 40 Ω, liga-se em paralelo com um condensador de 32 nF e com uma fonte de tensão alternada (em volts, e o tempo em segundos). Calcule: (a) A corrente máxima na bobina. (b) A corrente eficaz no condensador. (c) A potência média dissipada na bobina.
  4. Demonstre que a transformada inversa da equação 11.3 conduz à corrente alternada indicada na equação 11.5.
  5. No problema 9 do capítulo 9, determine a frequência do circuito e os valores máximos da corrente e da carga.
  6. Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tensão em todos os elementos do circuito.
    Associação de impedâncias
  7. A figura mostra um filtro rejeita-banda que atenua as frequências angulares próximas de 1 kHz. (a) Calcule a função de resposta de frequência do circuito. (b) Mostre que para  kHz, é igual a zero. (c) Calcule o módulo de e desenhe o seu gráfico para entre 0 e 2 kHz.
    Filtro rejeita banda
  8. Num segmento de um circuito de corrente alternada a tensão é (em volt, com em milissegundos) e a corrente é (µA, com em ms). (a) Calcule a resistência e reatância desse segmento. (b) O segmento do circuito avariou e pretende-se substituí-lo com resistências, condensadores ou indutores, mas o orçamento só permite comprar dois dispositivos. Quais dispositivos deviam ser comprados, com que valores e como deviam ser ligados no circuito?
  9. A figura mostra a tensão e a corrente num condensador. A corrente é produzida pela tensão: se não houver tensão elétrica, não há corrente. Como se explica então que no instante a corrente seja diferente de zero, sendo a tensão nula?
    Tensão e corrente alternadas num condensador
  10. A figura mostra o ecrã de um osciloscópio onde aparecem a tensão e a corrente num elemento de um circuito. As distâncias e foram medidas diretamente no ecrã, obtendo-se os valores  cm,  cm. O osciloscópio também permite determinar que a tensão máxima é  V e a corrente máxima é  mA. Com esses dados, calcule a parte real e a parte imaginária da impedância do elemento do circuito.
    Sinais num osciloscópio

Respostas

Perguntas: 1. E. 2. B. 3. D. 4. C. 5. C.

Problemas

  1. A.
  2. (a) 7.94 A. (b) 3.68 mA (c) 1.261 kW.
  3. A expressão para a transformada da corrente é , onde e a transformada inversa é a expressão 11.5.
  4.  kHz,  mA,  µC.
  5. (a) Tensões em V, correntes em mA, tempo em ms.
    Condensador: 
    Resistência: 
    Indutor: 
    (b) Tensões em V, correntes em mA, tempo em ms.
    Condensador: 
    Resistência: 
    Indutor: 
  6. (a)     (c)  
    Resposta de frequência do filtro rejeita-banda
  7. (a) resistência 2.63 MΩ e reatância −1.44 MΩ. (b) Uma resistência de 2.63 MΩ e um condensador de 2.21 nF, ligados em série.
  8. A tensão e corrente apresentadas no gráfico apenas poderão ter essas formas sinusoidais algum tempo após ter sido ligada a fonte, quando a resposta transitória já tiver desaparecido. Se a fonte de tensão fosse ligada apenas no instante = 0, a corrente não poderia ter nesse instante um valor diferente de zero; em vez da função sinusoidal no gráfico, teríamos uma função que parte de zero e se aproxima gradualmente da função sinusoidal (resposta transitória mais resposta sinusoidal).
  9. = (1.5 + i 2.598) kΩ
Errada

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Errada

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Errada

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Errada

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Certa

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Certa

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Certa

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Certa

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