Problemas Resolvidos

1. Campo elétrico

Problema 1

Uma lâmina de acetato, eletrizada por fricção, coloca-se 1 cm acima de uma mesa onde há vários quadrados de papel, cada um com 0.5 cm de lado. Observa-se que alguns pedaços de papel saltam, ficando colados ao acetato. Faça uma estimativa da ordem de grandeza da carga do acetato, admitindo que uma carga idêntica e de sinal oposto é induzida em cada pedaço de papel e sabendo que o papel usado tem 80 g/m2.

O peso de cada pedaço de papel (em newton) é:

(%i1) P: 0.5e-2^2*80e-3*9.8;
(%o1)    1.96e-5

A expressão da força eletrostática é:

(%i2) F: 9e9*q*q/1e-2^2;
(%o2)    9.0e+13

E o valor da carga é então,

(%i3) float (solve (F=P));
(%o3)    [ = - 4.667e-10, = 4.667e-10]

assim sendo, a ordem de grandeza da carga é 10−10 C.

Problema 2

A soma dos valores de duas cargas pontuais e é  = 10 µC. Quando estão afastadas 3 m entre si, o módulo da força exercida por cada uma delas sobre a outra é 24 mN. Determine os valores de e , se: (a) Ambas cargas são positivas. (b) Uma das cargas é positiva e a outra negativa.

Usando as unidades do enunciado (cargas em µC, distâncias em m e forças em mN), o valor da constante é igual a 9. A primeira condição é:

(%i4) c1: q1 + q2 = 10$

(a) Se as duas cargas são positivas, então e a condição para a força é:

(%i5) c2: 9*q1*q2/3^2 = 24$

Resolvendo as duas condições encontram-se os valores das cargas

(%i6) solve ([c1, c2]);
(%o6)  [ [ = 4, = 6], [ = 6, = 4 ] ]

(b) Se uma das cargas é positiva e a outra negativa, então e a condição para a força é

(%i7) c3: -9*q1*q2/3^2 = 24$

e os valores das cargas são

(%i8) solve ([c1, c3]);
(%o8)  [ [ = - 2, = 12], [ = 12, = - 2 ] ]

Problema 5

Três cargas pontuais estão ligadas por dois fios isoladores de 2.65 cm cada (ver figura). Calcule a tensão em cada fio.

Três cargas pontuais ligadas por fios

Os diagramas de forças para as cargas de 3.2 nC e 7.4 nC (designadas de e ) são os seguintes:

Diagramas de forças das duas cargas nos extremos

onde é a tensão no fio do lado esquerdo e a tensão no fio do lado direito. Na carga (no meio) atuam essas duas tensões, mas não é necessário considerar esse terceiro diagrama, porque as duas condições de equilíbrio das cargas e são suficientes para encontrar as duas tensões.

A condição de equilíbrio para a carga é e, como tal, a tensão no fio do lado esquerdo é:

(%i9) Ta: 9e9*3.2e-9*5.1e-9/2.65e-2^2 + 9e9*3.2e-9*7.4e-9/(2*2.65e-2)^2;
(%o9)    2.85e-4

E a condição de equilíbrio para a carga , conduz à tensão no fio do lado direito:

(%i10) Tb: 9e9*7.4e-9*5.1e-9/2.65e-2^2 + 9e9*7.4e-9*3.2e-9/(2*2.65e-2)^2;
(%o10)    5.595e-4

As unidades dessas duas forças são newton, porque foram usadas unidades SI.

Problema 8

Determine a força elétrica resultante sobre cada uma das cargas representadas na figura e o campo elétrico produzido pelas 3 cargas no ponto P.

Cargas pontuais nos vértices de um triângulo

É conveniente escrever o valor da constante nas unidades usadas no problema (nC e cm):

Ou seja, o valor da constante será 0.09, as forças obtidas estarão em mN e o campo em mN/nC, que é o mesmo que N/µC.

(a) A figura seguinte mostra os três diagramas de forças para as três partículas

Diagramas de forças das cargas no triângulo

Os 3 módulos das seis forças no diagrama são:

(%i11) F12: 0.09*5*9/3;
(%o11)    1.35
(%i12) F13: 0.09*5*7;
(%o12)    3.15
(%i13) F23: 0.09*9*7/4;
(%o13)    1.417

Observando a figura, conclui-se que o cosseno e o seno do ângulo são:

(%i14) [cosseno, seno]: float ( [sqrt(3), 1] /2);
(%o14)    [0.866, 0.5]

Finalmente, as forças elétricas resultantes sobre as três partículas são:

(%i15) F1: [F12, F13];
(%o15)    [ 1.35, 3.15 ]
(%i16) F2: [-F12 + F23*cosseno, -F23*seno];
(%o16)    [ -0.1224, -0.7087 ]
(%i17) F3: [-F23*cosseno, F23*seno - F13];
(%o17)    [ -1.228, -2.441 ]

(b) A figura seguinte mostra os campos produzidos pelas três cargas no ponto P.

Diagramas de forças das cargas no triângulo

Como o ponto P está no meio da hipotenusa, as distâncias desde P até às cargas e são iguais a 1. E como a projeção da hipotenusa na base do triângulo é o segmento entre e , a projeção do ponto P está no meio desse segmento e a distância desde P até à carga também é igual a 1. Como tal, o campo resultante no ponto P é:

(%i18) E: 0.09*5*[-cosseno, -seno] + 0.09*9*[-cosseno, seno] + 0.09*7*[cosseno, -seno];
(%o18)    [ -0.5456, -0.135 ]