Problemas Resolvidos

11. Circuitos de corrente alternada

Problema 2

A resistência de uma bobina é 150 Ω e a sua indutância é 1.4 H. A bobina é ligada à rede elétrica com tensão máxima 325 V e frequência de 50 Hz. Encontre a expressão para a corrente na bobina em função do tempo .

A frequência angular da tensão e da corrente, em unidades SI, é

E a impedância da bobina é

A corrente máxima e o desfasamento da corrente são então

E a expressão para a corrente, em unidades Si, é


Problema 6

Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tensão em todos os elementos do circuito.

Associação de impedâncias

(a) Usando unidades de kΩ para as impedâncias, H para as indutâncias, µF para as capacidades, V para as voltagens e kHz para as frequências, a frequência angular da fonte e as impedâncias dos 3 elementos no circuito são as seguintes:

(%i1) w: 2*%pi*60/1000;
(%o1)    
(%i2) [z1,z2,z3]: [3, 1/%i/w, %i*2*w]$

A voltagem no sistema da resistência em série com o condensador é igual à voltagem da fonte; como tal, o fasor da corrente através desses dois elementos é

(%i3) I1: float(rectform(170/(z1+z2)))$
(%i4) polarform(I1);
(%o4)    

Ou seja, se for dado em ms, a expressão da corrente é:

As voltagens na resistência e no condensador são então

(%i5) V1: float(rectform(z1*I1))$
(%i6) polarform(V1);
(%o6)    
(%i7) V2: float(rectform(z2*I1))$
(%i8) polarform(V2);
(%o8)    

No indutor, a voltagem é a mesma voltagem da fonte:

e a corrente é

(%i9) I3: float(rectform(170/z3))$
(%i10) polarform(I3);
(%o10)    

(b) Segue-se exatamente o mesmo procedimento da alínea (a), mas com os novos valores de frequência e voltagem máxima da fonte e tendo em conta que agora é a impedância do condensador, a impedância do indutor e a impedância da resistência.

(%i11) w: 2*%pi*50/1000;
(%o11)    
(%i12) [z3,z1,z2]: [3, 1/%i/w, %i*2*w]$
(%i13) I1: float(rectform(325/(z1+z2)))$
(%i14) polarform(I1);
(%o14)    
(%i15) V1: float(rectform(z1*I1))$
(%i16) polarform(V1);
(%o16)    
(%i17) V2: float(rectform(z2*I1))$
(%i18) polarform(V2);
(%o18)    
(%i19) I3: float(rectform(325/z3))$
(%i20) polarform(I3);
(%o20)    

Como tal, a corrente e a voltagem no condensador são:

No indutor:

E na resistência:

Problema 7

A figura mostra um filtro rejeita-banda que atenua as frequências angulares próximas de 1 kHz. (a) Calcule a função de resposta de frequência do circuito. (b) Mostre que para  kHz, é igual a zero. (c) Calcule o módulo de e desenhe o seu gráfico para entre 0 e 2 kHz.

Filtro rejeita banda

(a) Usando unidades de kΩ para as impedâncias, H para a indutância, µF para a capacidade e kHz para a frequência , as impedâncias do condensador, o indutor e a resistência são:

(%i21) [z1, z2, z3]: [1/(%i*w*10), %i*w/10, 1]$

A impedância equivalente é igual a

(%i22) z: z1*z2/(z1+z2) + z3$

E os fasores da corrente e da voltagem na resistência são então:

(%i23) I: Ve/z$
(%i24) V: I$

A função de resposta de frequência é,

(%i25) H: ratsimp (V/Ve);
(%o25)    

Pode eliminar-se o fator comum no numerador e denominador, ficando:

(b) O valor da função resposta de frequência, para = 1 kHz, é então,

(%i26) subst (w=1, H);
(%o26)    

(c) O módulo da função resposta de frequência é,

(%i27) modH: ratsimp (cabs(H));
(%o27)    

E o seu gráfico obtém-se com o seguinte comando:

(%i28) plot2d (modH, [w,0,2], [y,0,1.2], [xlabel,"w"], [ylabel,"|H(iw)|"]);

Resposta de frequência do filtro rejeita-banda

Problema 10

A figura mostra o ecrã de um osciloscópio onde aparecem a tensão e a corrente num elemento de um circuito. As distâncias e foram medidas diretamente no ecrã, obtendo-se os valores  cm,  cm. O osciloscópio também permite determinar que a tensão máxima é  V e a corrente máxima é  mA. Com esses dados, calcule a parte real e a parte imaginária da impedância do elemento do circuito.

Sinais num osciloscópio

Como a tensão está adiantada em relação à corrente, o ângulo da impedância é positivo e igual a,

O módulo da impedância é, em kΩ,

E as partes real e imaginária da impedância são então: