Problemas Resolvidos

5. Circuitos de corrente contínua

Problema 1

No circuito da figura, determine quais das fontes de força eletromotriz fornecem ou absorvem energia e calcule a potência fornecida, ou absorvida, por cada uma.

Circuito com duas fontes e duas malhas

Usando unidades de k para as resistências e V para as voltagens, as correntes obtidas estarão em mA. Definem-se duas correntes de malha e , que podem ser no sentido dos ponteiros do relógio:

Correntes de malha

Como tal, as equações das malhas são o seguinte sistema:

A matriz com as duas correntes pode ser obtida multiplicando a inversa da matriz das resistências pela matriz das fontes. No Maxima obtém-se:

(%i1) I: invert( matrix ([13.3, -7],[-7, 12.6])).[11, -5];
(%o1)     

A corrente que passa pela fem de V é  mA e, como o resultado obtido é positivo, então a corrente passa do elétrodo negativo para o positivo; como tal, essa fonte fornece  mW. Na fonte de  V, a corrente é  mA, do elétrodo negativo para o positivo, e a fonte fornece  mW.

Problema 4

Determine a potência dissipada em cada resistência no circuito e a potência fornecida pela f.e.m. Verifique que a potência fornecida pela f.e.m. é igual à soma das potências dissipadas em todas as resistências.

Circuito com 3 malhas

Há três correntes de malha, , e , que podem ser definidas no sentido dos ponteiros do relógio (unidades SI):

Circuito com 3 malhas

As equações das três malhas são:

A matriz das correntes obtém-se multiplicando a inversa da matriz das resistências pela matriz das fontes. a matriz resultante pode ser convertida numa lista, usando o comando list_matrix_entries do Maxima:

(%i2) i: list_matrix_entries( invert( matrix( [250,0,-100], [0,140,-60], [-100,-60,180])).[-6,6,0]);
(%o2)     

As correntes nos seis ramos do circuito, nos sentidos escolhidos no diagrama acima, são as seguintes:

(%i3) I: float ([i[2]-i[1], -i[1], i[3]-i[1], -i[3], i[3]-i[2], i[2]]);
(%o3)  

Os sinais negativos de e indicam que são no sentido oposto ao que foi escolhido no diagrama. As respetivas resistências nos seis ramos são:

(%i4) R: [0, 150, 100, 20, 60, 80]$

A potência dissipada em calor em cada uma dessas resitências é . A lista das seis potências dissipadas em calor é então:

(%i5) P: R*I^2;
(%o5)   

A potência total dissipada é a soma dessas 6 potências:

(%i6) apply ("+", %);
(%o6)     

que é igual à potência fornecida pela fonte:  W.

Problema 5

No circuito representado no diagrama, calcule: (a) As correntes iniciais nas resistências e condensadores. (b) As cargas finais nos condensadores, indicando as suas polaridades.

Circuito com 3 malhas com resistências e condensadores

Circuito equivalente inicial:

Circuito equivalente inicial no problema 5.5

arbitrando potencial zero num ponto, obtêm-se os valores do potencial nos outros pontos indicados na figura. Assim sendo, na resistência de a diferença de potencial é de  V e a corrente é  A (de esquerda para direita), que é a mesma corrente no condensador de  nF (de direita para esquerda). Na resistência de a diferença de potencial é de  V e a corrente é  A (de cima para baixo). Pela regra dos nós, a corrente no condensador de  nF é então,  A (de cima para baixo). Na resistência de a corrente é nula, porque a diferença de potencial é nula.

O circuito equivalente final é:

Circuito equivalente final no problema 5.5

mostram-se novamente os potenciais nos pontos onde podem ser determinados por simples observação do circuito. Note-se que a corrente na resistência de é nula, porque não tem percurso por onde circular.

Para calcular o potencial indicado na figura, calcula-se a corrente nas resistências de e , que estão em série:  A e multiplica-se por , obtendo-se  V. Observa-se então que no condensador de  nF a carga é positiva na armadura do lado direito, no condensador de  nF a carga é negativa na armadura de cima e os valores das cargas nesses dois condensadores são:

Problema 6

(a) Determine a intensidade e sentido da corrente inicial no condensador. (b) Determine a carga final do condensador e indique a polaridade.

Circuito com 3 malhas com resistências e condensadores

(a) O circuito equivalente no estado inicial, com o condensador em curto-circuito é o seguinte

Circuito equivalente inicial no problema 5.6

Usando o método das malhas, com três correntes de malha no sentido contrário aos ponteiros do relógio, o sistema de equações do circuito é então,

A solução desse sistema é , e . A corrente através do condensador é , para cima, ou seja,  A, para cima.

(b) O circuito equivalente no estado final, com o condensador como interruptor aberto, é o seguinte

Circuito equivalente final no problema 5.6

que é equivalente aos seguintes dois circuitos mais simples:

Circuitos equivalentes finais no problema 5.6

No circuito do lado direito, a corrente é igual a

e a voltagem na resistência de 329.4 Ω é:

Como tal, a corrente na resistência de , no circuito do lado esquerdo, é igual a (de esquerda para direita):

E, no circuito inicial, a diferença de potencial entre os dois pontos onde está ligado o condensador é igual a,

O resultado positivo indica que a carga é positiva na armadura de baixo e negativa na armadura de cima. Finalmente, a carga no condensador calcula-se a partir da sua voltagem