Problemas Resolvidos

10. Processamento de sinais

Problema 3

Uma resistência de 3 kΩ e um condensador de 5 nF estão ligados em série a uma fonte com tensão , entre = 0 e = 4, e = 0 nos outros instantes ( medido em µs e em V). Calcule a corrente no circuito para > 0.

Convém primeiro definir o sistema de unidades a usar:

como tal, pode usar-se kΩ para a resistência e nF para a capacidade e a frequência estará em MHz. A impedância equivalente da resistência em série com o condensador é:

(%i1) z: 3 + 1/(5*s)$

A unidade para o tempo será a inversa da unidade da frequência, ou seja, μs e não é necessário alterar a expressão da tensão. A tensão da fonte, em função do tempo, pode escrever-se da forma seguinte:

ou seja, é a sobreposição de uma tensão mais outra tensão deslocada 4 unidades em . Calculam-se as correntes e produzidas por cada uma dessas tensões:

(%i2) V1: 2 - 2*t$
(%i3) i1: ratsimp(laplace (V1,t,s)/z);
(%o3)    
(%i4) I1: ilt(i1,s,t);
(%o4)    
(%i5) V2: 6 + 2*t$
(%i6) i2: ratsimp(laplace(V2,t,s)/z);
(%o6)    
(%i7) I2: ilt(i2,s,t);
(%o7)    

A expressão da corrente total (em mA e o tempo em μs) é:

Problema 6

No circuito da figura: (a) Calcule a impedância total, em função de . (b) Calcule a transformada da corrente que passa pelo indutor. (c) Encontre a função de transferência, se a tensão de saída for medida no condensador. (d) Determine a equação diferencial para a tensão de saída.

Circ RLC com condensador e resitência em paralelo

(a) O condensador e a resistência estão em paralelo e esse sistema está em série com o indutor; assim sendo, a impedância total é:

(%i8) z: ratsimp (L*s + R*1/(C*s)/(R + 1/(C*s)));
(%o8)  

(b) Representando a transformada de Laplace da tensão de entrada com a variável ve, a transformada da corrente total (no indutor) é:

(%i9) i: ve/z;
(%o9)  

(c) A tensão no condensador é a mesma do que no sistema do condensador em paralelo com a resistência; como tal, a transformada da tensão no condensador é:

(%i10) v: ratsimp (i*R*1/(C*s)/(R + 1/(C*s)));
(%o10)  

e a função de transferência é:

(%i11) h: v/ve;
(%o11)  

(d) O resultado %o10 escreve-se com polinómios, em vez de função racional:

e a equação diferencial do sistema é a transformada inversa desta equação:

Problema 7

O circuito na figura é denominado filtro passa-baixo. Escreva a equação que relaciona o sinal de saída com o sinal de entrada. Encontre a função de transferência do sistema e determine o sinal de saída quando o sinal de entrada é o indicado no lado direito da figura. Explique porque se designa este circuito de filtro passa-baixo.

Filtro passa-baixo sinal quadrado na entrada

A impedância total é a soma das impedâncias da resistência e do condensador e a transformada da tensão de saída é igual à corrente vezes a impedância do condensador:

Ou seja, a equação diferencial do filtro é:

e a função de transferência é:

Denomina-se passa-baixo, porque é máxima a baixas frequências ( → 0) e nula a altas frequências ( → ∞).

O sinal de entrada representado no gráfico representa-se no Maxima por meio da função degrau unitário (unit_step):

(%i12) Ve: V0*unit_step(t) - V0*unit_step(t - t0)$

A transformada desse sinal, multiplicado pela função de transferência, dá a transformada do sinal de saída:

(%i13) v: ratsimp (laplace (Ve, t, s)/(R*C*s + 1));
(%o13)  

No primeiro termo na expressão anterior, as duas exponenciais anulam-se e a transformada inversa é:

(%i14) U: ilt (V0/denom(v), s, t)$

E, como o segundo termo é igual a menos o primeiro, multiplicado por , a transformada inversa desse segundo termo é a mesma função , com sinal negativo, substituindo por e multiplicando pelo degrau unitário . Como tal, a transformada inversa da expressão em %o13 é:

(%i15) V: U - unit_step (t - t0)*subst (t = t - t0, U);
(%o15)  

Problema 8

No circuito representado no diagrama, a tensão da fonte, em volts, é = 0, em ≤ 0, e = 5, em > 0. Determine a expressão da voltagem na resistência de 3.4 kΩ, em função do tempo .

Circuito com duas resistências e um indutor

Usando unidades de kΩ para as resistências e de H para a indutância, a frequência estará em kHz e o tempo em ms. A transformada do sinal de entrada é 5/. A impedância da resistência de 3.4, em série com o indutor de 0.412 é:

(%i16) zs: 3.4 + 0.412*s$

Como a voltagem nesse sistema em série é a mesma voltagem da fonte, então a transformada da corrente que passa pela resistência de 3.4 é:

(%i17) i: 5/s/zs$

E a transformada da voltagem na resistência de 3.4 é igual a:

(%i18) v: ratsimp (3.4*i);
(%o18)    

E a expressão da voltagem nessa resistência é a transformada inversa:

(%i19) V: ilt (v, s, t);
(%o19)    

Onde é dado em ms e em volts.