Apêndice C. Transformada de Laplace

C.1 Definição

Neste apêndice apresenta-se apenas um sumário sobre a transformada de Laplace. Um estudo mais completo do tema encontra-se nos livros de matemática para engenharia ou nos livros sobre equações diferenciais, por exemplo: An Introduction to Differential Equations and their Applications (Farlow, 1994).

Define-se a transformada de Laplace de uma função como o integral:

(C.1)

Note-se que o resultado desse integral já não depende de mas sim do parâmetro , que se admite ser um número real.

Neste livro, para representar a transformada de Laplace, utiliza-se um til por cima da letra que representa a função. Por exemplo, é a função obtida por aplicação da transformada de Laplace à função .

A variável tem as unidades de inverso do tempo, ou seja unidades de frequência, já que o expoente é adimensional. Assim sendo, e costumam ser designadas de representações da função no domínio do tempo e no domínio da frequência, respetivamente.

Tal como no caso da derivação, uma forma rápida de calcular a transformada de uma função é por meio de algumas regras simples que se vão obter nas secções seguintes. A transformada inversa de uma função é a função cuja transformada de Laplace é igual a .

Para que a transformada de Laplace de uma função exista, é necessário que observe as duas propriedades seguintes:

  1. A função tem de ser parcelarmente contínua, isto é, pode ter alguns pontos isolados onde é descontínua, mas é necessariamente contínua em cada intervalo entre dois pontos de descontinuidade.

  2. A função deve ser de ordem exponencial: existe um número real tal que o limite

    (C.2)

    existe. O domínio da respetiva transformada de Laplace é > .

Note-se que no cálculo da transformada de Laplace não interessa a forma como a função seja definida para ≤ 0. Isto é devido ao intervalo de integração usado na definição da transformada. É possível usar outros intervalos diferentes, mas o intervalo > 0 é particularmente útil nos problemas físicos estudados neste livro, em que unicamente interessa a evolução de um sistema físico a partir de um instante inicial arbitrado = 0.

C.2. Propriedades

C.2.1. Linearidade

Para quaisquer duas funções e e duas constantes e , verifica-se:

(C.3)

e a transformada inversa também é um operador linear:

(C.4)

C.2.2. Derivada da transformada

A derivada da transformada de , em ordem à frequência é,

(C.5)

e derivando sucessivamente vezes conclui-se que

(C.6)

C.2.3. Transformada da derivada

A transformada da derivada de em ordem ao tempo está relacionada com a própria transformada de . Integrando por partes no integral que define a transformada, obtém-se:

(C.7)

o último integral é a transformada de e no primeiro termo, o limite de quando tende para infinito é zero, já que é uma função de ordem exponencial. Como tal, obtém-se a relação seguinte:

(C.8)

A transformada de derivadas de ordem superior calcula-se aplicando a mesma propriedade vezes sucessivas, por exemplo, a transformada da segunda derivada é igual a:


(C.9)

C.2.4. Deslocamento na frequência

A transformada do produto entre uma função exponencial e outra função qualquer é:

(C.10)

Nomeadamente, quando se multiplica uma função por , no domínio do tempo, a sua representação no domínio das frequências é desloca-se unidades no sentido positivo do eixo da frequência .

C.2.5. Deslocamento no tempo

Define-se a função degrau unitário, ou função de Heaviside, como:

(C.11)

Como tal, o produto,

(C.12)

é a função deslocada uma distância no sentido positivo do eixo do tempo , sendo nula para < . Calculando a transformada de Laplace desse produto obtém-se:

e conclui-se que:

(C.13)

Isto é, quando a função é deslocada unidades no sentido positivo do tempo , a sua representação no domínio da frequência fica multiplicada por .

Note-se que no caso particular = 0, esta propriedade implica que a transformada de é idêntica à transformada de ; o produto simplesmente torna o resultado nulo para ≤ 0 deixando a função igual para e como já foi dito, no cálculo da transformada de Laplace apenas interessa a definição da função para > 0.

Esta propriedade é muito útil para calcular as transformadas de Laplace de funções com descontinuidades. Uma outra forma equivalente é

(C.14)

C.3. Transformadas de funções importantes

C.3.1. Polinómios

A transformada de , onde é qualquer número real, pode ser simplificada usando a mudança de variável =


(C.15)

e este último integral é a função gama de ; como tal, a transformada de é

(C.16)

em particular, quando é um número inteiro positivo , a função gama de + 1 é igual ao fatorial de e obtém-se:

(C.17)

e para = 0

(C.18)

C.3.2. Funções exponenciais

Aplicando a propriedade de deslocamento na frequência , com = 1 e tendo em conta que = 1/, obtém-se a transformada da função exponencial,

(C.19)

e como a derivada de é , usando a propriedade da derivada da transformada conclui-se:

(C.20)

O mesmo resultado pode ser obtido a partir da transformada de e usando a propriedade de deslocamento em .

C.3.3. Funções sinusoidais

Para calcular a transformada de Laplace das funções sinusoidais é conveniente usar a fórmula de Euler:


(C.21)

onde é a função que dá a parte real dum número complexo . Assim sendo, a transformada de Laplace da função sinusoidal é:


(C.22)

Definindo o fasor da função sinusoidal como o produto , a transformada de Laplace da função sinusoidal é então:

(C.23)

onde é o respetivo fasor. Como , conclui-se também que:

(C.24)

C.3.4. Função impulso unitário

A função impulso unitário, ou função delta de Dirac, , é a derivada da função degrau unitário . Note-se que não é realmente uma função, porque em = a função é descontínua e a sua derivada não existe.

Pode imaginar-se imaginando uma função degrau que não muda abruptamente de 0 para 1, em = , mas sim aumenta gradualmente de 0 para 1 num pequeno intervalo que inclui = ; como tal, é nula excepto nesse pequeno intervalo em que o degrau unitário passa de 0 para 1 e a área total sob deve ser igual a 1; no limite em que o comprimento desse intervalo se aproxima para zero, o valor de aproxima-se de infinito, em = , e de zero em qualquer outro valor de .

Uma função , contínua em , verifica a propriedade seguinte:

(C.25)

A transformada da função impulso unitário é a transformada da derivada da função degrau unitário. Aplicando a propriedade da transformada da derivada, obtém-se:

(C.26)

As propriedades da transformada de Laplace e as transformadas das funções calculadas nas secções anteriores encontram-se resumidas na tabela C.1.

Tabela C.1: Propriedades da transformada de Laplace.
    Função        Transformada