Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Apêndice B

B. Equações de Lagrange

Neste apêndice mostra-se como surgem as equações de Lagrange a partir da segunda lei de Newton. Considere-se um sistema formado por m corpos rígidos com vetores posição dos centros de massa: r 1 , r 2 , …, r m . Ou seja, são necessárias 3 m coordenadas, que podem ser distâncias ou ângulos, para determinar a configuração dosistema.

Se o sistema é holonómico, existem equações que relacionam algumas das 3 m coordenadas e que permitem reduzir o número de coordenadas independentes para n coordenadas generalizadas ( n < 3 m ):

q 1 ( t ) , q 2 ( t ) , . . . , q n ( t )

Cada vetor de posição r i pode depender de várias dessas coordenadas e do tempo:

r i ( q 1 , q 2 , . . . , q n , t )

e a velocidade do corpo i é

v i = d r i d t = r i t + n k = 1 r i q k ˙ q k

ou seja, v i também depende das coordenadas generalizadas, do tempo e das velocidades generalizadas ˙ q i :

v i ( q 1 , q 2 , . . . , q n , ˙ q 1 , ˙ q 2 , . . . , ˙ q n , t )

e as derivadas parciais de v i obtêm-se derivando o somatório acima:

(B.1)
v i ˙ q j = r i q j v i q j = r i q j t + n k = 1 2 r i q j q k ˙ q k

O vetor aceleração do corpo i é:

(B.2)
a i = d v i d t

Se num instante dado o valor de cada coordenada q j é modificado para q j + δ q j , cada vetor posição sofre uma alteração:

(B.3)
δ r i = n j = 1 r i q j δ q j

e multiplicando escalarmente os dois lados da equação B.2 pelos dois lados desta equação, obtém-se

(B.4)
a i · δ r i = n j = 1 d v i d t · r i q j δ q j

Como a derivada do produto v i · r i / q j é,

d d t v i · r i q j = d v i d t · r i q j + v i · d d t r i q j = d v i d t · r i q j + v i · r i q j t + n k = 1 2 r i q j q k ˙ q k

De acordo com as equações B.1, a derivada r i / q j e o termo dentro dos parêntesis no lado direito da equação são as derivadas parciais de v i em ordem a ˙ q j e q j , obtendo-se assim o resultado:

d d t v i · v i ˙ q j = d v i d t · r i q j + v i · v i q j

e a equação B.4 pode escrever-se então,

(B.5)
a i · δ r i = n j = 1 d d t v i · v i ˙ q j v i · v i q j δ q j

A seguir observe-se que as derivadas parciais de v 2 i em ordem às coordenadas e velocidades generalizadas são:

v 2 i q j = ( v i · v i ) q j = 2 v i · v i q j v 2 i ˙ q j = ( v i · v i ) ˙ q j = 2 v i · v i ˙ q j

substituindo estas duas expressões na equação B.5 e multiplicando os dois lados da equação pela massa m i do corpo i , obtém-se

m i a i · δ r i = n j = 1 d d t m i 2 v 2 i ˙ q j m i 2 v 2 i q j δ q j = n j = 1 d d t E c i ˙ q j E c i q j δ q j

onde E c i é a energia cinética do corpo i . A segunda lei de Newton diz que m i a i é a força resultante sobre o corpo i ; usando a expressão B.3 e somando sobre todos os corpos i , obtém-se

m i = 1 n j = 1 F i · r i q j δ q j = n j = 1 d d t E c ˙ q j E c q j δ q j

que conduz às equações de Lagrange:

(B.6)
d d t E c ˙ q j E c q j = Q j j = 1 , . . . n

onde E c é a energia cinética total do sistema e a força generalizada Q j é definida por

(B.7)
Q j = i F i · r i q j