3. Movimento curvilíneo

Índice
Dinâmica e Sistemas Dinâmicos
  1. Movimento curvilíneo
    1. Versor tangencial
    2. Versor normal
    3. Movimento circular
    4. Rotação dos corpos rígidos
    5. Vetores velocidade angular e aceleração angular
      1. Produto vetorial
      2. Rotação plana
    6. Movimentos de translação e rotação dependentes

Introdução

Montanha russa

As fortes acelerações sentidas numa montanha russa não são devidas apenas aos aumentos e diminuições de velocidade, mas são causadas também pelo movimento curvilíneo. A taxa de aumento da velocidade é apenas uma das componentes da aceleração, a aceleração tangencial. A outra componente da aceleração depende da velocidade e do raio de curvatura da trajetória como se demonstra neste capítulo.

3.1. Versor tangencial

Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial ˆ e t , na direção tangente à trajetória e no sentido em que a posição s aumenta. A figura 3.1 mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.

Versor tangencial numa trajetoria
Figura 3.1: Versor tangencial ˆ e t em três pontos da trajetória.

Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. Um deles é tangente à curva entre B e P e o outro é tangente à curva entre P e Q. O vetor velocidade de um corpo que segue essa trajetória será sempre na mesma direção do versor tangencial (o sentido pode ser o mesmo ou oposto). Nos pontos como P, onde existem dois vetores tangenciais, a velocidade é necessariamente nula; o corpo fica momentaneamente em repouso nesse ponto, começando logo a deslocar-se em outra direção diferente à que seguia antes de parar.

Nos pontos onde a velocidade não é nula, existe sempre um único versor tangencial ˆ e t , que define a direção do vetor velocidade. Ou seja, a velocidade vetorial pode ser escrita,

(3.1)
v = v ˆ e t

Conforme referido no capítulo 2, a velocidade vetorial v é igual à derivada do vetor posição r

(3.2)
v = d r d t

O vetor posição r não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que r depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura 3.2). No entanto, o vetor deslocamento d r sim é independente da escolha da origem e, assim sendo, a equação 3.2 garante que o vetor velocidade é independente da escolha da origem do referencial.

Deslocamento e trajetoria
Figura 3.2: Deslocamento vetorial entre duas posições r e r + r .

Se r for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo t (figura 3.2), a distância percorrida durante esse intervalo, | s | , é sempre maior ou igual que o módulo de r . A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.

O módulo de r só é igual a s quando a trajetória é reta, com versor tangencial constante. No limite quando t for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e, assim sendo, a direção de r será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de r será aproximadamente igual a | s | ; isto é, o vetor deslocamento é aproximadamente igual a s ˆ e t . A derivada do vetor posição é então,

(3.3)
d r d t = li m t 0 r t = li m t 0 s t ˆ e t = d s d t ˆ e t

E, substituindo na equação 3.2, obtém-se,

(3.4)
v = ˙ s ˆ e t

O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da posição na trajetória, s , em ordem ao tempo. Este resultado explica porquê no capítulo 1 denominou-se "velocidade" à derivada ˙ s , já que ˙ s não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.

3.2. Versor normal

A aceleração vetorial a é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, derivando o lado direito da equação 3.4 obtém-se a expressão da aceleração em relação ao versor tangencial:

(3.5)
a = d v d t = ¨ s ˆ e t + ˙ s dˆ e t d t
Variacao do versor tangencial

Figura 3.3: Variação do versor
tangencial.

Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura 3.3 mostra como calcular a derivada de ˆ e t . Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da figura 3.1 para um ponto comum, o aumento de ˆ e t no intervalo desde A até B é o vetor ˆ e t que une os dois vetores.

Sendo o módulo de ˆ e t igual a 1, os dois versores ˆ e t na figura 3.3 descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo θ . Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a θ . Se o intervalo de tempo t for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor ˆ e t será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo θ ; conclui-se que a derivada de ˆ e t é,

(3.6)
dˆ e t d t = li m t 0 ˆ e t t = li m t 0 θ t ˆ e n = ˙ θ ˆ e n

em que ˆ e n é o versor normal, perpendicular à trajetória, e ˙ θ é a velocidade angular. Substituindo essa derivada na equação 3.5, obtém-se a expressão para a aceleração:

(3.7)
a = ¨ s ˆ e t + ˙ s ˙ θ ˆ e n

Concluindo, a aceleração é um vetor com componentes tangente e normal (perpendicular) à trajetória. A componente na direção tangente, a t = ¨ s , é a aceleração tangencial já introduzida no capítulo 1. A componente normal da aceleração é igual ao produto do valor da velocidade ˙ s pelo valor da velocidade angular ˙ θ ,

(3.8)
a n = ˙ s ˙ θ

Tendo em conta que os versores ˆ e t e ˆ e n são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação 3.7 implica que o módulo da aceleração, | a | , é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então,

(3.9)
a 2 = a 2t + a 2n

O ângulo de rotação do versor tangencial, θ , é também igual ao ângulo de rotação do versor normal ˆ e n . A figura 3.4 mostra os versores normais nos mesmos pontos da trajetória mostrados na figura 3.1. Observe-se que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, chama-se ponto de inflexão.

Versores tangencial e normal
Figura 3.4: Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória.

No ponto P da figura 3.4 existem duas direções normais, porque, como foi discutido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial ˆ e t .

Raio de curvatura da trajetoria

Figura 3.5: Raio de curvatura.

A figura 3.5 mostra o versor normal no ponto inicial A (no instante t i ) e o ponto final B (no instante t i + t ) durante um intervalo de tempo t . Se t é muito pequeno, as direções dos dois versores cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes ( R A e R B ), mas serão iguais no limite t 0 , em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva. A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, R , da trajetória.

Em cada ponto da trajetória existem um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento d s pode ser aproximado por um arco de circunferência de raio R e ângulo d θ ; a distância percorrida é o comprimento desse arco, d s = R d θ . Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é,

(3.10)
˙ θ = li m t 0 θ t = li m t 0 s R t = ˙ s R

Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular ˙ θ é igual ao valor da velocidade, ˙ s , dividida pelo raio de curvatura R nesse ponto. Usando este resultado, a componente normal da aceleração, a n , pode ser escrita do modo seguinte

(3.11)
a n = v 2 R

O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, a n , também costuma chamar-se aceleração centrípeta.

Observe-se que a aceleração tangencial, ¨ s , pode ser positiva ou negativa, mas a aceleração normal, ou centrípeta, é sempre positiva, porque o produto ˙ s ˙ θ = v 2 / R é sempre positivo ( s e θ ambos aumentam, se o movimento é no sentido do versor tangencial, ou ambos diminuem se o movimento é no sentido oposto).

Exemplo 3.1

A posição de uma partícula, em função do tempo t , é dada pela expressão (SI):

r = 5 t ˆ ı + 3 2 t 2 ˆ + 2( 1 t 2 )ˆ k

Determine a expressão para o raio de curvatura da trajetória em função do tempo e calcule o raio de curvatura em t = 0 e t = 1 .

Resolução: Para determinar a expressão do raio de curvatura é necessário saber as expressões do valor da velocidade e da componente normal da aceleração, em função do tempo. Essas expressões podem ser obtidas a partir da velocidade e da aceleração. Usando o Maxima calculam-se esses vetores do modo seguinte

(%i1) vetor_r: [5*t, 3*t^2/2, 2*(1-t^2)]$
(%i2) vetor_v: diff (vetor_r, t);
(%o2)    [5 , 3 t , 4 t ]
(%i3) vetor_a: diff (vetor_v, t);
(%o3)   [0, 3, -4]

Designando por v e a, os módulos desses vetores, iguais à raiz quadrada do produto escalar de cada vetor com si próprio (o produto escalar no Maxima obtém-se colocando um ponto entre os vetores) obtém-se:

(%i4) v: sqrt (vetor_v.vetor_v);
(%o4)    25 t 2 + 25
(%i5) a: sqrt (vetor_a.vetor_a);
(%o5)   5

Observe-se que o valor da aceleração é constante, o que implica uma trajetória parabólica ou linear. Para calcular a componente normal da aceleração, calcula-se primeiro a componente tangencial da aceleração, ˙ v ,

(%i6) at: diff (v, t);
(%o6)    25 t 25 t 2 + 25

e, usando a equação 3.9, obtém-se a componente normal da aceleração:

(%i7) an: ratsimp (sqrt (a^2 - at^2));
(%o7)    5 t 2 + 1

As componentes tangencial e normal da aceleração dependem do tempo, embora o valor da aceleração seja constante; isso já aponta para o facto de que a curvatura da trajetória não será constante e, como tal, a trajetória será parabólica. Usando a equação 3.11 determina-se a expressão do raio de curvatura:

(%i8) R: ratsimp (v^2/an);
(%o8)    t 2 + 1 5 t 2 + 5

Nos instantes t = 0 e t = 1 os raios de curvatura são,

(%i9) subst (t=0, R);
(%o9)   5
(%i10) float (subst (t=1, R));
(%o10)   14.14

3.3. Movimento circular

No caso em que o raio de curvatura R é constante e o centro de curvatura permanece fixo, a trajetória é uma circunferência e o movimento é circular, como no caso ilustrado na figura 3.6. Para determinar a posição em cada instante, basta um único grau de liberdade, que pode ser a posição na circunferência, s , ou o ângulo θ .

Movimento circular
Figura 3.6: Duas posições numa trajetória de um movimento circular.

A relação entre o ângulo e a posição na trajetória, se a origem usada para medir as duas e o sentido positivo são os mesmos (ver figura 3.6), é

(3.12)
s = R θ

Sendo R constante, derivando os dois lados da equação anterior obtém-se,

(3.13)
v = R ω

em que ω = ˙ θ é a velocidade angular. A equação 3.13 é a mesma equação 3.10, que aqui foi obtida no caso particular do movimento circular, em que R é constante, mas trata-se de uma equação geral, válida em qualquer movimento. Derivando os dois lados da equação 3.13 em ordem ao tempo obtém-se,

(3.14)
a t = R α

onde α = ˙ ω é a aceleração angular. A aceleração centrípeta é dada pela equação 3.11, que pode ser escrita também em função do valor da velocidade angular,

(3.15)
a n = R ω 2 = v ω

No caso particular em que a velocidade angular é constante, a velocidade linear também será constante, as acelerações angular e tangencial serão nulas e o movimento chama-se movimento circular uniforme. Nesse caso, como a velocidade angular é constante, a derivada ˙ θ pode calcular-se dividindo o ângulo num intervalo de tempo qualquer, pelo valor desse intervalo de tempo:

(3.16)
ω = θ t

Num intervalo de tempo igual ao período, T , do movimento circular uniforme, o ângulo corresponde a uma volta completa, θ = 2 π , e a equação anterior conduz a uma expressão para o período,

(3.17)
T = 2 π ω

A frequência de rotação, f , igual ao inverso do período, é o número do voltas que o ponto dá por unidade de tempo.

A relação entre o ângulo de rotação θ e os valores da velocidade angular ω e da aceleração angular α , é análoga à relação entre a posição na trajetória, s , o valor da velocidade, v , e a aceleração tangencial, a t ,

(3.18)
ω = ˙ θα = ˙ ωα = ω d ω d θ

Estas são as equações cinemáticas para o movimento de rotação, que podem ser resolvidas usando os mesmos métodos usados no capítulo 1. As equações 3.12, 3.13 e 3.14 mostram que as variáveis cinemáticas de translação ( s , v , a t ) são todas iguais ao produto da respetiva variável cinemática de rotação, ( θ , ω , α ), pelo raio de curvatura R .

3.4. Rotação dos corpos rígidos

O corpo rígido na figura 3.7 está em movimento. Dois pontos a e b, nas posições r a e r b , têm velocidades v a e v b no mesmo instante t . Se o movimento do corpo fosse de translação sem rotação, as velocidades de todos os pontos deviam ser todas iguais, a cada instante, e, como tal, as trajetórias de todos os pontos no corpo seria a mesma curva. Como vimos no capítulo 1, nesse caso bastava estudar o movimento de um ponto qualquer no corpo.

Corpo rígido em movimento
Figura 3.7: Corpo rígido em movimento.

Como as velocidades dos pontos a e b na figura 3.7, são diferentes, conclui-se que o movimento não é de translação. A posição do ponto b relativa ao ponto a, é r b/ a = r b r a , que não permanece constante, já que os pontos a e b estão a deslocar-se em diferentes direções e com rapidez diferente. No entanto, o módulo dessa posição relativa,

(3.19)
| r b/ a |= r b/ a · r b/ a

deverá permanecer constante, porque o corpo é rígido. Como tal, a sua derivada em ordem ao tempo deverá ser nula:

(3.20)
1 2 | r b/ a | ( v b/ a · r b/ a + r b/ a · v b/ a ) = 0

onde, v b/ a é a velocidade do ponto b, relativa ao ponto a, igual à derivada de r b/ a em ordem ao tempo. A equação anterior implica:

(3.21)
v b/ a · r b/ a = 0

Esse resultado é geral para quaisquer dois pontos a e b no corpo rígido, permitindo concluir que:

A velocidade relativa entre dois pontos num corpo rígido é sempre perpendicular à posição relativa entre eles.

Visto desde um ponto a, o ponto b permanecerá sempre à mesma distância, r b/ a , deslocando-se na superfície da esfera de raio r b/ a , com centro em a (figura 3.8). Todos os outros pontos no corpo rígido deslocam-se em esferas com centro em a, e com diferentes raios.

Posição e velocidade relativas num corpo rígido
Figura 3.8: Posição e velocidade relativas a um ponto no corpo rígido.

A cada instante t , a velocidade de b relativa ao ponto a é tangente a uma circunferência na superfície da esfera de raio r b/ a ; essa circunferência poderá ter raio igual a r b/ a ou menor (figura 3.9). Outro ponto c, que esteja à mesma distância de a, r c/ a = r b/ a , deverá ter velocidade tangente a outra circunferência paralela à circunferência de b. Se assim não fosse, a distância entre b e c estaria a variar, que não é possível porque o corpo é rígido. E o sentido do movimento dos dois pontos b e c, nessas circunferências, deverá ser o mesmo (sentido de rotação indicado na figura 3.9).

Movimento de pontos à mesma distância
Figura 3.9: Movimento de dois pontos, b e c, à mesma distância do ponto a.

Como os planos em que se deslocam os pontos b e c, em relação ao ponto a, são paralelos, as duas circunferências na esfera podem ser projetadas num mesmo plano, chamado plano de rotação, com centro no ponto a, como mostra a figura 3.10. Todos os outros pontos à mesma distância terão velocidades tangentes a circunferências com centro em a e raio menor ou igual que o raio da esfera, r b/ a . Em particular, existirão dois pontos z e z , na interseção da esfera com a reta perpendicular ao plano de rotação passando pelo centro a, que estão em repouso em relação ao ponto a ( v z/ a = v z /a = 0 ). Como tal, a velocidade dos pontos no eixo de rotação é a mesma: v z = v v = v a

Movimento no plano de rotação
Figura 3.10: Movimento dos pontos b e c no plano de rotação, em relação ao ponto a.

A reta que passa por a e z é o eixo de rotação do corpo rígido. Qualquer outro ponto no corpo rígido, que não esteja no eixo de rotação, terá velocidade relativa tangente a alguma circunferência com centro em a, no plano de rotação. O ângulo d θ , que se deslocam todos esses pontos, durante um intervalo d t , deverá ser exatamente o mesmo, para garantir que a distância entre todos eles permanece constante. A velocidade angular do corpo rígido é:

(3.22)
ω = d θ d t

Como tal, o valor da velocidade relativa de b, ou de qualquer outro ponto, é igual à sua distância até o eixo de rotação, vezes a velocidade angular do corpo:

(3.23)
v b/ a = R b ω

onde R b é a distância desde o ponto b até o eixo de rotação que passa pelo ponto a.

O movimento do corpo rígido é então a sobreposição do movimento dum ponto qualquer nele (no nosso caso a), mais rotação em torno de um eixo que passa por esse ponto. Se em vez do ponto a fosse escolhido outro ponto d, o eixo de rotação teria exatamente a mesma direção, mas passaria por d. A velocidade angular seria exatamente a mesma do que em relação ao ponto a, e o movimento do corpo seria a sobreposição do movimento do ponto d, mais rotação em torno do eixo de rotação que passa por d. Em diferentes instantes a direção do eixo de rotação, e a velocidade angular, podem ser diferentes, mas a cada instante o eixo e a velocidade angular são os mesmos, independentemente do ponto usado como referência. Resumindo,

A cada instante existe uma direção no espaço (eixo de rotação) tal que se a posição relativa entre dois pontos num corpo rígido for paralela a essa direção, as suas velocidades serão iguais. A velocidade relativa entre dois pontos num corpo rígido, dividida pela distância entre um deles e o eixo de rotação que passa pelo outro, é igual à velocidade angular ω do corpo nesse instante.

Exemplo 3.2

A figura mostra um mecanismo biela-manivela, usado para transformar movimento circular em movimento retilíneo ou vice-versa. A manivela é a barra OQ, que roda à volta de um eixo fixo no ponto O, e a biela é a barra PQ, que liga a manivela a um pistão P que só pode deslocar-se na horizontal. No instante em que a manivela faz um ângulo de 40° com a horizontal, na posição que mostra a figura, a velocidade do ponto P é 60 cm/s, para a esquerda. Determine as velocidades angulares da biela e da manivela, nesse instante, sabendo que OQ é igual a 7.5 cm e PQ é igual a 20 cm.

Sistema biela-manivela

Resolução. Como o ponto O está fixo, a velocidade do ponto Q é a mesma velocidade de Q relativa a O, que deve ser perpendicular à barra OQ, porque os dois pontos fazem parte da manivela, que é um corpo rígido. Como tal, a velocidade v Q do ponto Q faz um ângulo de 40° com a vertical, como mostra a figura seguinte:

Sistema biela-manivela

Como o ponto Q também faz parte da biela PQ, a velocidade v Q/ P , do ponto Q, relativa ao ponto P, deverá ser perpendicular ao segmento PQ . O ângulo β que faz com a vertical é o mesmo ângulo que o segmento PQ faz com a horizontal. Esse ângulo pode ser determinado usando a lei dos senos no triângulo OPQ:

si n β = OQ s i n 4 0 PQ = 7 . 5s i n 4 0 20 = 0 . 24 1 0

Como tal, β = 13 . 95 . Os valores das velocidades do ponto Q, relativas aos pontos O e Q, serão iguais às velocidades angulares das barras, vezes os seus comprimentos (usaremos distâncias em cm e velocidades em cm/s):

v Q = 7 . 5 ω m v Q/ P = 20 ω b

onde ω m é a velocidade angular da manivela e ω b é a velocidade angular da biela. Observe-se que na figura acima, estamos a admitir que ω m é no sentido oposto aos ponteiros do relógio e ω b é no sentido dos ponteiros do relógio.

Em coordenadas cartesianas, com eixo dos x horizontal, de esquerda para direita, e eixo dos y vertical, de baixo para cima, as componentes da velocidade do ponto Q são:

(3.24)
v Q = 7 . 5 ω m si n 4 0 ˆ ı + co s 4 0 ˆ = ω m 4 . 82 ˆ ı + 5 . 75 ˆ

Mas a velocidade do ponto Q pode também ser calculada somando a velocidade do ponto P, v P = 60 ˆ ı , mais a velocidade de Q relativa a P:

(3.25)
v Q = 60 ˆ ı + 20 ω b si n β ˆ ı + co s β ˆ = (4 . 82 ω b 60 ) ˆ ı + 19 . 4 ω b ˆ

Igualando as componentes das duas expressões 3.24 e 3.25, encontram-se as velocidades angulares:

ω m = 9 . 60 3 s 1 ω b = 2 . 84 3 s 1

Observe-se que as duas velocidades angulares obtidas resolvendo as equações têm sinais positivos, o que indica que os sentidos que admitimos na figura estão corretos. Podiamos ter admitido sentidos opostos, mudando na figura o sentido das velocidades de Q relativas a O e P, e o resultado teria dado valores negativos para as velocidades angulares, indicando que os sentidos não eram os corretos.

3.5. Vetores velocidade angular e aceleração angular

É conveniente definir a velocidade angular como um vetor ω , na direção do eixo de rotação, tal como se mostra na figura 3.11. O vetor ω tem módulo igual ao valor absoluto da velocidade angular, ω , direção paralela ao eixo de rotação e sentido segundo a regra da mão direita para a rotação, ou seja, imaginando um sistema de eixos cartesianos em que o eixo dos z aponta na direção e sentido de ω , o corpo rígido roda de forma a que o eixo dos x se aproxime do eixo dos y . Também pode fechar-se o punho direito e estender o dedo polegar apontando no sentido de ω e o sentido de rotação é o sentido em que se curvam os outros 4 dedos.

Vetores velocidade angular e posição
Figura 3.11: Vetores velocidade angular e posição.

A vantagem de usar um vetor é que ω contem a informação da velocidade angular ω , direção do eixo de rotação e sentido da rotação. A equação 3.23 pode ser escrita de forma vetorial. Se r for a posição relativa de um ponto qualquer no corpo, em relação ao ponto de referência, a distância R desde o ponto até o eixo de rotação que passa pelo ponto de referência, é igual a r si n φ , onde φ é o ângulo entre os vetores ω e r tal como mostra a figura 3.11. O módulo da velocidade relativa do ponto é então:

(3.26)
| v |= | ω | r si n φ

O vetor velocidade relativa, v , do ponto na posição relativa r é perpendicular aos dois vetores ω e r e o seu módulo é igual ao produto dos módulos desses dois vetores, vezes o seno do ângulo entre eles. Essa é precisamente a definição do produto vetorial entre os vetores ω e r , que vamos denotar com o operador × . A velocidade é então o produto da vetorial da velocidade angular vezes o vetor posição:

(3.27)
v = ω × r

Observe-se que, por definição, o produto na equação 3.27 é um vetor no sentido da regra da mão direita, desde o primeiro vector, ω , até o segundo, r .

O movimento circular dum ponto, em relação ao ponto de referência, com raio R e velocidade angular ω , implica aceleração tangencial R ˙ ω e aceleração centrípeta R 2 ω . Mas a o vetor aceleração relativa pode também ser obtido derivando o vetor velocidade relativa (equação 3.27):

(3.28)
a = d ω d t × r + ω × d r d t

A derivada do vetor velocidade angular é outro vetor α , chamado aceleração angular, e a derivada do vetor posição relativa é o vetor velocidade relativa, dado pela equação 3.27. A expressão vetorial da aceleração relativa é:

(3.29)
a = α × r + ω × ( ω × r )

O primeiro termo é a aceleração tangencial e o segundo termo a aceleração normal ou centrípeta.

3.5.1. Produto vetorial

O produto vetorial entre quaisquer dois vetores A e B é outro vetor C = A × B , com módulo igual ao produto dos módulos de A e B e o seno do ângulo entre eles. Em particular, o módulo do produto vetorial ω × r é | ω | r si n φ . A figura 3.11 mostra o ângulo φ entre os vetores; note-se que si n φ é sempre positivo, porque φ está entre 0 e π . O produto r si n φ é igual a R , já que essa distância é medida no plano de rotação, que é perpendicular ao vetor ω . Assim sendo, o módulo de ω × r é igual a R | ω | , que é igual ao módulo de v .

A direção de C = A × B é perpendicular ao plano formado por A e B , seguindo a regra da mão direita de A para B : com o punho da mão direita fechado e o polegar estendido, se os outros quatro dedos rodam no sentido de A para B , então o dedo polegar indica o sentido de C . A figura 3.11 mostra o plano formado por ω e r , que é perpendicular ao plano x y , de modo que a direção de ω × r é paralela ao plano x y e perpendicular ao plano de ω e r ; o sentido de ω × r obtém-se pela regra da mão direita de ω para r .

O produto vetorial não é comutativo; ou seja, A × B e B × A não são iguais porque têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentidos opostos. Sendo o ângulo de um vetor consigo próprio zero, o produto A × A é nulo. Em particular, ˆ ı × ˆ ı = ˆ × ˆ = ˆ k × ˆ k = 0. O produto vetorial de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular ao plano deles; é fácil conferir que ˆ ı × ˆ = ˆ k , ˆ × ˆ k = ˆ ı e ˆ k × ˆ ı = ˆ . Usando estas propriedades e a lei distributiva do produto vetorial, obtém-se uma expressão para o produto A × B em função das componentes cartesianas dos vetores

(3.30)
A × B = ( A x ˆ ı + A y ˆ + A z ˆ k ) × ( B x ˆ ı + B y ˆ + B z ˆ k ) = ( A y B z A z B y )ˆ ı + ( A z B x A x B z )ˆ + ( A x B y A y B x )ˆ k

resultado esse que pode ser escrito de forma mais compacta através de um determinante:

(3.31)
A × B = ˆ ı ˆ ˆ k A x A y A z B x B y B z

Observe-se que na figura 3.11 o triângulo sombrejado tem base igual a | ω | e altura igual a R ; assim sendo, a sua área é igual a metade do módulo do produto vetorial da velocidade angular pelo vetor posição: | ω × r | /2 = R | ω | /2 . Em geral,

A área do triângulo formado por dois vetores com origem comum é igual a metade do módulo do produto vetorial dos vetores.

3.5.2. Rotação plana

Quando a direção do eixo de rotação permanece sempre igual, diz-se que a rotação do corpo rígido é plana. Nesse caso o plano de rotação é sempre o mesmo e pode ser definido como o plano x y . Como tal, o vetor velocidade angular é:

(3.32)
ω = ω ˆ k

em que ω pode depender do tempo, e a sua derivada é α = ˙ ω . O vetor aceleração angular estará também na mesma direção do eixo de rotação:

(3.33)
α = α ˆ k

O vetor posição relativa de um ponto qualquer no corpo é r = x ˆ ı + y ˆ + z ˆ k . Os produtos vetoriais nas equações 3.27 e 3.29, em coordenadas cartesianas (equação 3.31), conduzem às seguintes expressões para a velocidade relativa e as componentes tangencial e normal da aceleração relativa:

(3.34)
v = ω x ˆ y ˆ ı
(3.35)
a t = α x ˆ y ˆ ı a n = ω 2 x ˆ ı + y ˆ

Como tal, a coordenada z do ponto não interessa. Basta apenas saber a posição da sua projeção no plano x y (plano de rotação):

(3.36)
R = x ˆ ı + y ˆ

e o módulo desse vetor, R , é a distância desde o ponto até o eixo de rotação.

Exemplo 3.3

Cola-se um extremo de um fio numa roldana com raio de 5 cm, enrolando-o e pendurando um bloco do outro extremo (ver figura). No instante inicial o bloco e a roldana estão em repouso e o ponto P da roldana encontra-se à mesma altura do seu centro C. O bloco começa a descer, com aceleração constante de valor igual a g /4. Determine a velocidade e a aceleração do ponto P, dois segundos após o instante inicial.

Sistema com roldana e bloco

Resolução. O eixo de rotação da roldana é perpendicular ao plano da figura, e permanece fixo. Como tal, a rotação da roldana é uma rotação plana e o plano de rotação é o plano da figura, que designaremos de plano x y .

Sistema de coordenadas para o sistema de roldana e bloco

O ponto de referencia pode ser qualquer ponto na roldana, mas como os pontos no eixo da roldana estão em repouso, neste caso é conveniente escolher como ponto de referência o ponto C no centro da roldana. Em função dos eixos definidos na figura ao lado, a posição do ponto P, após a roldana ter rodado um ângulo θ desde a posição inicial, é:

(3.37)
R P = R co s θ ˆ ı + si n θ ˆ

Para calcular a velocidade do ponto P, é necessária também a velocidade angular, que pode ser obtida a partir do valor da velocidade do bloco. Para encontrar uma expressão para o valor da velocidade do bloco, integra-se a equação ˙ v b = a t

˙ v b = g 4 = v b = g t 4

Como todos os pontos do fio têm esse mesmo valor da velocidade e os pontos da superfície acompanham o movimento do fio, esse será também o valor da velocidade dos pontos na superfície da roldana e o valor da velocidade angular da roldana será v b / R = g t /( 4 R ) . A rotação é no sentido anti-horário (velocidade angular positiva), com velocidade angular:

ω = g t 4 R

A velocidade do ponto P obtém-se a partir da equação 3.34 para rotação plana (ou simplesmente derivando a expressão 3.37, tendo em conta que a derivada de θ é ω ):

v P = g t 4( s i n θ ˆ ı co s θ ˆ )

Observe-se que a equação 3.34 dá a velocidade relativa do ponto, mas neste caso, em que o ponto de referência está em repouso, a velocidade relativa é a mesma velocidade absoluta.

A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em ordem ao tempo,

α = g 4 R

e as componentes da aceleração do ponto P obtêm-se a partir da equação 3.35 (ou derivando a expressão da velocidade do ponto P):

a t = g 4( s i n θ ˆ ı co s θ ˆ ) a n = g 2 t 2 16 R (c o s θ ˆ ı + si n θ ˆ )

Para encontrar a expressão para θ em função do tempo, integra-se a equação ˙ θ = ω , com t i = 0 e θ i = 0

˙ θ = g t 4 R = θ = g t 2 8 R

substituindo os valores de t = 2 , R = 0 . 05 e g = 9 . 8 , em unidades SI, obtêm-se a velocidade e a aceleração nesse instante,

v P = 2 . 81 ˆ ı + 4 . 01 5 ˆ a P = 39 4 . 8ˆ ı 27 3 . 3ˆ

3.6. Movimentos de translação e de rotação dependentes

Numa roda em movimento sobre uma superfície, sem derrapar, o ângulo de rotação e o deslocamento da roda estão relacionados. Na figura 3.12, uma roda de raio R desloca-se para a direita, sobre uma superfície, sem derrapar.

Roda a rodar sem deslizar
Figura 3.12: Roda que se desloca rodando sem derrapar.

Num instante inicial um ponto P da roda está em contacto com a superfície; após alguns instantes, a roda rodou um ângulo θ e o centro da roda percorreu uma distância s . O arco de circunferência R θ deverá ser igual à distância percorrida s , já que todos os pontos nesse arco estiveram em contacto com pontos da superfície.

(3.38)
s = R θ

derivando os dois lados da equação, obtém-se a relação entre a velocidade do centro C e a velocidade angular,

(3.39)
v = R ω

e derivando novamente, observa-se que a aceleração de tangencial de C é igual ao produto do raio pela aceleração angular:

(3.40)
a t = R α

No caso das roldanas, se a roldana roda sem o fio derrapar sobre a sua superfície, os pontos na superfície da roldana terão a mesma velocidade do fio e subtraindo a velocidade do centro da roldana obtém-se a velocidade do ponto na superfície da roldana, relativa à roldana; o valor dessa velocidade relativa, dividido pelo raio da roldana, deverá ser igual à velocidade angular da roldana.

Exemplo 3.4

A roldana fixa no sistema da figura tem raio de 3 cm e a roldana móvel tem raio de 5 cm. Calcule o valor da velocidade do carrinho e das velocidades angulares das roldanas, no instante em que o cilindro desce com velocidade de valor 1.5 m/s, admitindo que o fio não derrapa nas roldanas.

Carrinho e cilindro ligados por um fio

Resolução. Este sistema já foi estudado na secção 2.5 onde mostrou-se que o valor da velocidade do carrinho é o dobro da velocidade do cilindro. Assim sendo, o valor da velocidade do carrinho é 3 m/s.

Na roldana fixa, o valor da velocidade dos pontos na superfície será o mesmo que no carrinho, 3 m/s e, como tal, o valor da velocidade angular da roldana fixa é,

ω 1 = 3 0 . 03 = 10 0 s 1

O centro da roldana móvel também desce a 1.5 m/s. No ponto da sua superfície, no lado direito, o fio está estático e, assim sendo, esse ponto desloca-se para cima, em relação ao centro, com velocidade de valor 1.5 m/s. O ponto na superfície da roldana, no lado esquerdo, desloca-se para baixo, com a velocidade do carrinho, 3 m/s, de modo que em relação ao centro da roldana desloca-se para baixo, com velocidade de valor 1.5 m/s. O valor da velocidade angular da roldana móvel é,

ω 2 = 1 . 5 0 . 05 = 30 s 1

A parte do fio no lado direito da roldana móvel, que permanece estático, pode ser considerado como uma superfície vertical em que a roldana roda como uma roda sobre uma superfície. O valor da velocidade do centro da roda, que é igual ao valor da velocidade do cilindro, é igual ao produto do valor da velocidade angular da roda pelo raio da roda. O valor da velocidade do ponto mais à esquerda na roda, que é o valor da velocidade do carrinho, é o produto do valor da velocidade angular da roda pelo diâmetro da roda. Essa é outra forma de explicar porque o valor da velocidade do carrinho é o dobro do valor da velocidade do cilindro, porque o diâmetro da roda é o dobro do seu raio.

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

  1. No intervalo de tempo 0 < t < 1 , o valor da velocidade de um objeto em função do tempo verifica a expressão v = 5 + 3 t 2 + 2 t 3 . Se a trajetória do objeto for uma reta, qual das cinco funções na lista poderá ser a expressão correta para o valor da aceleração?
    1. a = 5 + 6 t + 6 t 2
    2. a = 5
    3. a = 6 t
    4. a = 5 + 6 t
    5. a = 6 t + 6 t 2
  2. Um objeto com movimento circular tem aceleração angular com valor constante α = 3/ π  radiano/s2. Se o objeto parte do repouso, quanto tempo, em segundos, demorará a completar as primeiras 3 voltas?
    1. π
    2. 2 π
    3. 3 π
    4. 4 π
    5. 5 π
  3. Um ponto num objeto descreve numa trajetória curva, com velocidade de valor constante. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
    1. A aceleração é perpendicular à trajetória.
    2. O valor da aceleração é constante.
    3. A aceleração é tangente à trajetória.
    4. A aceleração é constante.
    5. A aceleração é nula.
  4. Um projétil é lançado com velocidade inicial com valor v i e direção inclinada que faz um ângulo θ com o plano horizontal. Determine o raio de curvatura da trajetória parabólica no instante inicial.
    1. v 2 i ta n θ g
    2. v 2 i si n θ g
    3. v 2 i co s θ g
    4. v 2 i g si n θ
    5. v 2 i g co s θ
  5. O movimento circular de uma roda de raio R A é transmitido para outra roda de raio R B , através de uma correia que se desloca com as rodas, sem derrapar. Qual é a relação entre os valores das velocidades angulares ω A e ω B de ambas rodas?
    Rodas interligadas por uma correia
    1. R A ω A = R B ω B
    2. ω A = ω B
    3. R 2A ω A = R 2B ω B
    4. R B ω A = R A ω B
    5. R 2B ω A = R 2A ω B

Problemas

  1. No intervalo de tempo 0 < t < 10 , os valores da velocidade e da aceleração de uma partícula com movimento em 3 dimensões são dadas pelas funções: v = t 4 t 2 + 9 e a = 16 t 2 + 9 (unidades SI). Encontre, no mesmo intervalo de tempo, as expressões para:
    (a) A componente tangencial da aceleração.
    (b) A componente normal da aceleração.
    (c) O raio de curvatura.
  2. Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que o valor da velocidade diminua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando a figura, faça uma estimativa do raio de curvatura da estrada e calcule o valor da aceleração do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem. Carro a travar numa curva
  3. A equação da trajetória de um objeto é: r = 8c o s 2 (2 t )ˆ ı + 4s i n ( 4 t )ˆ (unidades SI e ângulos em radianos).
    (a) Demonstre que o movimento do objeto é circular uniforme.
    (b) Determine o valor da velocidade angular do objeto e o seu período.
    (c) Encontre a posição do centro da trajetória circular.
  4. Avião a realizar um loop Um piloto de corridas de aviões executa um loop vertical, igual a meia circunferência de raio 1200 m. O valor da velocidade no ponto A, no início do loop, é 160 m/s e no ponto C, no fim do loop, é 140 m/s. Calcule o valor da aceleração no ponto B, no meio do loop, admitindo que a aceleração tangencial permanece constante durante o loop (observe que também é negativa).
  5. Dois carros numa curva Dois carros A e B passam por uma curva usando trajetórias diferentes. A figura mostra a curva delimitada pela reta C. O carro B faz um percurso semicircular com raio de 102 m; o carro A avança uma distância em linha reta, a seguir segue um semicírculo com raio 82 m e termina com outro trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à velocidade máxima que podem ter para conseguir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que produz uma aceleração normal de 0 . 8 g , onde g é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva.
  6. (a) Calcule a área do triângulo com vértices nos pontos A, B e C, com coordenadas cartesianas A = (3, 5, 4), B = ( 1 ,2,1) e C = (2, 2 ,2).
    (b) Demonstre a Lei dos senos, para um triângulo com lados de comprimentos a , b e c ,
    si n α a = si n β b = si n γ c
    em que α , β e γ são os ângulos opostos aos lados a , b e c .
  7. Trajetória com duas curvas Uma partícula segue a trajetória que mostra a figura, partindo do repouso em A e aumentando a velocidade com aceleração constante até o ponto B. Desde B até E mantém velocidade constante de 10 m/s e a partir de E começa a abrandar, com aceleração constante, até parar no ponto F. A distância AB é 60 cm, CD é 20 cm e EF é 45 cm; o raio do arco BC é 60 cm e o raio do arco DE é 45 cm. Determine:
    (a) O módulo da aceleração da partícula em cada um dos trajetos AB, BC, CD, DE e EF.
    (b) O tempo total do movimento desde A até F e a velocidade média nesse percurso.
  8. Roda dupla A roda na figura tem duas partes com raios de 3 cm e 6 cm, que estão em contacto com duas barras horizontais A e B. A barra A desloca-se para a direita, com valor da velocidade de 10 m/s e a barra B desloca-se para a esquerda com valor da velocidade de 35 m/s, enquanto a roda mantém o contacto com as duas barras, sem derrapar. Determine para que lado se desloca o centro O da roda e calcule os valores da velocidade do ponto O e da velocidade angular da roda.
  9. Uma roda com 20 cm de raio desloca-se, sem derrapar, sobre uma superfície plana, ao longo do eixo dos x . No instante t = 0 o centro da roda encontra-se em x = 0 e y = 20  cm e os pontos P e Q da roda são os pontos que estão em x = 0 com y = 0 e y = 10  cm. O valor da velocidade do centro da roda é 2 m/s, constante. (a) Calcule quanto tempo demora a roda a dar duas voltas completas. (b) Represente os gráficos das trajetórias dos pontos P e Q durante o tempo que a roda demora a dar duas voltas.

    Pontos numa roda
  10. Um cilindro com raio de 4 cm está colado a uma roda com 6 cm de raio que se encontra sobre uma superfície horizontal plana, tal como mostra a figura. Uma corda foi enrolada à volta do cilindro e está a ser puxada horizontalmente para a direita, com velocidade constante v de valor 2.5 cm/s. O movimento da corda faz rodar a roda sobre a superfície horizontal, sem derrapar.
    (a) Determine o valor da velocidade angular da roda.
    (b) Diga em que sentido se desloca o ponto O, no eixo da roda e do cilindro, e determine o valor da sua velocidade.
    (c) Determine quantos centímetros de corda são enrolados à volta do cilindro a cada segundo.

    Roda e cilindro
  11. Sistema com tres roldanas Na máquina representada na figura, todas as roldanas têm raio igual a 5 cm. Determine os valores das velocidades angulares das quatro roldanas, quando o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor constante 2 m/s.
  12. A figura mostra o mecanismo biela-manivela analisado no exemplo 3.2 (as distâncias estão em cm). Observe que há três variáveis que mudam em função do tempo: x P , θ e β ; e as suas derivadas são a velocidade do pistão e as velocidades angulares da manivela e da biela: v P , ω m e ω b . Mas basta uma dessas 3 variáveis para encontrar as outras duas. Outra forma diferente de resolver o mesmo problema é a seguinte:
    (a) Encontre uma expressão para x P que dependa apenas do ângulo θ . Derive essa expressão para obter a velocidade angular da manivela, em função da velocidade do pistão e do ângulo θ .
    (b) Encontre a relação entre os senos dos ângulos θ e β . Derive essa relação e substitua o cosseno de β em termos do ângulo θ , encontrando assim uma expressão para a velocidade angular da biela, em função da velocidade angular da manivela e do ângulo θ .
    (c) Substitua os valores do exemplo 3.2, θ = 40 e v P = 60  cm/s, nos resultados das duas alíneas anteriores, para conferir os resultados obtidos no exemplo. Sistema biela-manivela

Respostas

Perguntas: 1. E. 2. B. 3. A. 4. E. 5. A.

Problemas

  1. (a) 8 t 2 + 9 4 t 2 + 9     (b) 6 t 4 t 2 + 9     (c) t 6 4 t 2 + 9 3/ 2
  2. Com raio igual a 16 m, o valor da aceleração é aproximadamente 14 m/s2
  3. (a) O cálculo do módulo do vetor velocidade dá um valor constante v = 16 e as componentes obtidas para a aceleração são a t = 0 e a n = 64 . Assim sendo, o movimento é uniforme, porque o valor da velocidade permanece constante e circular, porque o movimento é num plano e o raio de curvatura, v 2 / a n , é constante. (b) ω = 4  rad/s, T = π /2 (segundos). (c) coordenadas (4, 0).
  4. 18.85 m/s2
  5. 11.74 s para o carro A e 11.33 s para o carro B.
  6. (a) 14.79 (b) Os três produtos ( a b si n γ ), ( a c si n β ) e ( b c si n α ) são todos iguais ao dobro da área do triângulo; igualando cada par de produtos demonstra-se cada uma das igualdades.
  7. (a) 83.33 m/s2 em AB, 111.11 m/s2 em EF, 166.67 m/s2 em BC e 222.22 m/s2 em DE. (b) 0.395 s e 7.34 m/s.
  8. Para a esquerda, com v o = 20  m/s e ω = 50 0 s 1 .
  9. (a) 1.26 s (b)
    Cicloides
  10. (a) 1.25 s−1, no sentido dos ponteiros do relógio. (b) Para a direita com velocidade de valor 7.5 cm/s. (c) 5 cm (a corda enrola-se no cilindro, porque este roda no sentido dos ponteiros do relógio).
  11. De esquerda para direita, 5 s−1, 10 s−1, 20 s−1 e 40 s−1.
  12. (a) x P = 7 . 5c o s θ + 40 0 56 . 25 s i n 2 θ
    ω m = v P 7 . 5s i n θ + 56 . 25 s i n θ co s θ 40 0 56 . 25 s i n 2 θ
    (b) 3s i n θ = 8s i n β    ω b = 3 ω m co s θ 8 1 9 64 si n 2 θ
Pergunta 1, resposta A: Errada

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a t .

(clique para continuar)

Pergunta 1, resposta B: Errada

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a t .

(clique para continuar)

Pergunta 1, resposta C: Errada

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a t .

(clique para continuar)

Pergunta 1, resposta D: Errada

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a t .

(clique para continuar)

Pergunta 1, resposta E: Certa

No movimento retilíneo a aceleração é igual à aceleração tangencial, igual à derivada da velocidade em ordem a t .

(clique para continuar)

Pergunta 2, resposta A: Errada

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de 6 π .

(clique para continuar)

Pergunta 2, resposta B: Certa

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de 6 π .

(clique para continuar)

Pergunta 2, resposta C: Errada

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de 6 π .

(clique para continuar)

Pergunta 2, resposta D: Errada

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de 6 π .

(clique para continuar)

Pergunta 2, resposta E: Errada

É necessario integrar a aceleração angular, em ordem ao tempo, para determinara a expressão da velocidade angular e a seguir integrar novamente para determinar a relação entre o ângulo e o tempo. Três voltas corresponde a um ângulo de 6 π .

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Pergunta 3, resposta A: Certa

A aceleração só tem componente normal porque a aceleração tangencial (derivada do valor da velocidade) é nula.

(clique para continuar)

Pergunta 3, resposta B: Errada

A aceleração normal, relacionada com a mudança da direção da velocidade, pode ter qualquer valor e, como tal, a celeração total pode variar.

(clique para continuar)

Pergunta 3, resposta C: Errada

A aceleração total não pode ser tangente à trajetória porque a componente tangencial da aceleração (derivada do valor da velocidade) é nula.

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Pergunta 3, resposta D: Errada

Existem movimentos curvilíneos com aceleração constante. Um exemplo é o movimento parabólico de um projétil. No entanto, como a aceleração normal está sempre a mudar de direção, é necessário que exista também aceleração tangencial para compensar a variação da aceleração normal. Neste caso, como não há aceleração tangencial, a aceleração total não pode ser constante.

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Pergunta 3, resposta E: Errada

Se a aceleração fosse nula, o movimento deveria ser retilíneo mas neste caso a trajetória é curva.

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Pergunta 4, resposta A: Errada

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

(clique para continuar)

Pergunta 4, resposta B: Errada

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

(clique para continuar)

Pergunta 4, resposta C: Errada

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

(clique para continuar)

Pergunta 4, resposta D: Errada

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

(clique para continuar)

Pergunta 4, resposta E: Certa

O raio de cuvatura é igual à velocidade ao quadrado, dividida pela aceleração normal. A aceleração normal encontra-se projetando o vetor da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade.

(clique para continuar)

Pergunta 5, resposta A: Certa

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rodas devem ser iguais.

(clique para continuar)

Pergunta 5, resposta B: Errada

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rodas devem ser iguais.

(clique para continuar)

Pergunta 5, resposta C: Errada

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rodas devem ser iguais.

(clique para continuar)

Pergunta 5, resposta D: Errada

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rodas devem ser iguais.

(clique para continuar)

Pergunta 5, resposta E: Errada

A velocidade de todos os pontos da correia deve ser a mesma e, como tal, as velocidades dos pontos nas superfícies das duas rodas devem ser iguais.

(clique para continuar)

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