Problemas Resolvidos

Índice
Dinâmica e Sistemas Dinâmicos
Problemas Resolvidos
  1. Ciclos limite e dinâmica populacional

11. Ciclos limite e dinâmica populacional

Problema 3

Uma população de dragões, y , e uma população de águias, x , evoluem de acordo com um modelo de Lotka-Volterra:
˙ x = x (2 y )˙ y = y 2( x 3)
Analise a estabilidade e desenhe o retrato de fase do sistema. Qual será o estado limite? Alguma das duas espécies será extinta?

As componentes da velocidade de fase são:

(%i1) u: [x*(2-y), y*(x-3)/2]$

e os pontos de equilíbrio são os pontos onde as duas componentes da velocidade de fase são nulas:

(%i2) p: solve (u);
(%o2)  [ [ y = 0, x = 0], [ y = 2, x = 3] ]

A matriz jacobiana do sistema é:

(%i3) J: jacobian (u, [x,y]);
(%o3)   2 y x y 2 x 3 2

e os valores próprios da matriz da aproximação linear, na vizinhança do primeiro ponto de equilíbrio, (0, 0), são,

(%i4) eigenvalues (subst (p[1], J));
(%o4)   3 2 , 2 , [1 , 1]

Ou seja, o ponto de equilíbrio em (0, 0) é ponto de sela. Os valores próprios da matriz da aproximação linear, na vizinhança do segundo ponto de equilíbrio, (3, 2), são:

(%i5) eigenvalues (subst (p[2],J));
(%o5)   3 i , 3 i , [1 , 1]

E, por serem números imaginários puros, o segundo ponto de equilíbrio é um centro.

O retrato de fase, na região relevante onde as duas populações x e y são positivas ou nulas, constrói-se com o seguinte comando:

(%i6) plotdf (u, [x,y], [x,0,10], [y,0,10]);

Retrato de fase do problema 11.3

O estado limite é um ciclo, em que as populações das duas espécies oscilam, sem que nenhuma das duas seja nunca extinta.

Problema 4

Considere o modelo de Verhulst para duas populações:

˙ x = x (1 x 2 y )˙ y = y (1 + 5 x y )
diga se é um sistema com competição ou um sistema predador presa (e nesse caso quais as presas e quais os predadores). Analise a estabilidade e trace o retrato de fase.

O termo 2 y na expressão de ˙ x implica que a população y faz diminuir a população x . E o termo 5 x na expressão de ˙ y implica que a população x faz aumentar a população y . Como tal, trata-se de um sistema predador presa, onde x são as presas e y os predadores.

As componentes da velocidade de fase são:

(%i1) u: [x*(1-x-2*y), y*(1+5*x-y)]$

e os pontos de equilíbrio são os pontos onde as duas componentes da velocidade de fase são nulas:

(%i2) p: solve (u);
(%o2) y = 0 , x = 0 , y = 0 , x = 1 , y = 1 , x = 0 , y = 6 11 , x = 1 11

Como só interessam os valores positivos das variáveis de estado, o sistema tem então 3 pontos de equilíbrio, nos pontos (0, 0), (1, 0) e (0, 1) do espaço de fase ( x , y ).

A matriz jacobiana do sistema é:

(%i3) J: jacobian (u, [x,y])$

As matrizes das aproximações lineares nas vizinhanças dos 3 pontos de equilíbrio são então:

(%i4) makelist (subst (p[i], J), i, 1, 3);
(%o4)   10 0 1 , 1 20 6 , 10 5 1

A primeira matriz é diagonal e com um único valor próprio, igual a 1. Como tal, o primeiro ponto de equilíbrio, na origem do espaço de fase, é um nó próprio repulsivo.

Os valores próprios nos outros dois pontos de equilíbrio são os seguintes:

(%i5) makelist( eigenvalues (subst (p[i], J))[1], i, 2, 3);
(%o5)   [[ 1 , 6] , [ 1] ]

Ou seja, o segundo ponto de equilíbrio, (1, 0), é ponto de sela e terceiro ponto de equilíbrio, (0, 1), é um nó impróprio atrativo.

O retrato de fase, na região relevante onde as duas populações x e y são positivas ou nulas, constrói-se com o seguinte comando:

(%i6) plotdf (u, [x,y], [x,0,2], [y,0,2]);

Retrato de fase do problema 11.4

Se inicialmente existem predadores ( y maior que zero), o sistema evolui sempre até extinguirem-se todas as presas, ficando a população de predadores igual a uma unidade.

Problema 6

O sistema dinâmico:

˙ x = y + x ( x 2 + y 2 )    ˙ y = x + y ( x 2 + y 2 )

tem um ponto de equilíbrio na origem. Encontre as equações de evolução em coordenadas polares, nomeadamente, as expressões para ˙ r e ˙ θ em função de r e θ . Explique que tipo de ponto de equilíbrio é a origem e quantos ciclos limite existem.

As derivadas das expressões x = r co s θ e y = r si n θ são:

˙ x = ˙ r co s θ r ˙ θ si n θ ˙ y = ˙ r si n θ + r ˙ θ co s θ

Substituindo nas equações de evolução, obtém-se as equações de evolução em coordenadas polares:

˙ r co s θ r ˙ θ si n θ = r si n θ + r 3 co s θ ˙ r si n θ + r ˙ θ co s θ = r co s θ + r 3 si n θ

que são duas equações lineares para ˙ r e ˙ θ . Aplicando qualquer método de resolução de equações lineares, obtém-se essas duas expressões. Por exemplo, o método de eliminação; multiplicando a primeira equação por co s θ e a segunda por si n θ ,

˙ r co s 2 θ r ˙ θ si n θ co s θ = r si n θ co s θ + r 3 co s 2 θ ˙ r si n 2 θ + r ˙ θ si n θ co s θ = r si n θ co s θ + r 3 si n 2 θ

e somando as duas equações obtêm-se a expressão para ˙ r

˙ r = r 3

Multiplicando a primeira equação de evolução por si n θ e a segunda por co s θ ,

˙ r si n θ co s θ r ˙ θ si n 2 θ = r si n 2 θ + r 3 si n θ co s θ ˙ r si n θ co s θ + r ˙ θ co s 2 θ = r co s 2 θ + r 3 si n θ co s θ

e subtraindo a primeira equação da segunda obtêm-se a expressão para ˙ θ

r ˙ θ = r = ˙ θ = 1( s e : r = 0)

Fora da origem, r é positiva e, como tal, ˙ r = r 3 é sempre positiva. Ou seja, o estado do sistema afasta-se sempre da origem ( r aumenta). Enquanto o estado se afasta da origem, dá várias voltas no sentido negativo (sentido dos ponteiros do relógio), porque ˙ θ é igual a -1. Isso implica que a origem é um foco repulsivo e não existe nenhum ciclo limite.

As expressões para ˙ r e ˙ θ também podem ser obtidas no Maxima com os seguintes comandos:

(%i1) x: r*cos(q)$
(%i2) y: r*sin(q)$
(%i3) gradef(r,t,v)$
(%i4) gradef(q,t,w)$
(%i5) e1: diff(x,t) = y+(x^2+y^2)*x;
(%o5) co s ( q ) v si n ( q ) r w = co s ( q ) r si n 2 ( q ) r 2 + co s 2 ( q ) r 2 + si n ( q ) r
(%i6) e2: diff(y,t) = -x+(x^2+y^2)*y;
(%o6) co s ( q ) r w + si n ( q ) v = si n ( q ) r si n 2 ( q ) r 2 + co s 2 ( q ) r 2 co s ( q ) r
(%i7) trigsimp(solve([e1,e2],[v,w]));
(%o7) v = r 3 , w = 1

Problema 7

Em relação ao seguinte sistema não linear:

˙ x = x y x 3 x y 2    ˙ y = x + y x 2 y y 3

(a) Encontre as equações de evolução em coordenadas polares (sugestão: use o comando trigreduce para simplificar o resultado).

(b) Trace o gráfico de ˙ r em função de r ( r não pode ser negativo), demonstre que o sistema tem um único ciclo limite e determine se é atrativo ou repulsivo.

(c) Escreva a equação do ciclo limite, em função das coordenadas cartesianas ( x , y ).

(d) Corrobore a resposta traçando o retrato de fase no plano cartesiano ( x , y ).

(a) Substituem-se as coordenadas cartesianas por coordenadas polares nas duas equações de evolução, e resolvem-se em simultâneo para encontrar as expressões para ˙ θ e ˙ r (designadas por w e v nos comandos seguintes):

(%i1) [x, y]: [r*cos(q), r*sin(q)]$
(%i2) gradef (r,t,v)$
(%i3) gradef (q,t,w)$
(%i4) trigsimp (solve( [diff(x,t)=x-y-x^3-x*y^2, diff(y,t)=x+y-x^2*y-y^3], [v,w]));
(%o4)   v = r r 3 , w = 1

As duas equações de evolução, em coordenadas polares, são então: ˙ r = r r 3 , ˙ θ = 1 .

(b) O gráfico de ˙ r em função de r obtém-se com o comando:

(%i5) plot2d (rhs(%[1][1]), [r,0,2]);

Derivada de r no problema 11.7

e mostra que existe uma única raiz diferente de zero, em r = 1 , e r aumenta se for menor que 1 e diminui se for maior que 1. Assim sendo, existe um único ciclo limite, atrativo, que é uma circunferência de raio 1.

(c) O ciclo limite é a circunferência de raio 1 e centro na origem, que em coordenadas cartesianas tem equação x 2 + y 2 = 1

(d) Para criar o retrato de fase, em coordenadas cartesianas, é necessário eliminar primeiro a definição das coordenas polares:

(%i6) remvalue (x,y)$
(%i7) plotdf ([x-y-x^3-x*y^2, x+y-x^2*y-y^3], [x,y], [x,-2,2], [y,-2,2], [vectors,""]);

Problema 11.7, alinea d