Problemas Resolvidos

  1. Cinemática

1. Cinemática

Problema 3

A expressão da aceleração tangencial de um objeto é a t = 4  m/s2. Se em t = 0 , v =+ 24 m/s e a posição na trajetória é s = 0 , determine a velocidade e a posição em t = 8  s e a distância total percorrida, ao longo da trajetória, entre t = 0 e t = 8  s.

Para calcular a velocidade em t = 8 , substitui-se a expressão da aceleração constante na equação que relaciona a aceleração com a velocidade e o tempo

4 = d v d t

Separando variáveis e integrando, encontra-se a velocidade em t = 8

4 8 0 d t = v 24 d v = v = 8

Para calcular a posição final, substitui-se a expressão da aceleração constante na equação que relaciona a aceleração com a velocidade e a posição

4 = v d v d s

Separando variáveis e integrando,

4 s 0 d s = 8 24 v d , v = s = 64

O valor negativo da velocidade final quer dizer que o objeto deslocou-se até um ponto onde parou e em t = 8 está de regresso na direção da origem. Para calcular a distância total percorrida é necessário determinar a posição do ponto onde parou

4 s 0 d s = 0 24 v d v = s = 72

Como tal, o objeto deslocou-se desde s = 0 até s = 72  m e depois deslocou-se outros 8 metros até x = 64  m. A distância total percorrida foi então 80 m.

Problema 4

Em t i = 0 , um objeto encontra-se em repouso na posição s i = 5  cm num percurso. A partir desse instante o objeto começa a deslocar-se no sentido positivo de s , parando novamente num instante t 1 . A expressão da aceleração tangencial, entre t i e t 1 , é: a t = 9 3 t 2 , onde o tempo mede-se em segundos e a aceleração em cm/s2. Determine: (a) O instante t 1 em que o objeto volta a parar. (b)) A posição no percurso nesse instante.

A expressão dada para a aceleração tangencial em função do tempo pode ser substituída na equação cinemática a t = ˙ v , conduzindo a uma equação diferencial de variáveis separáveis:

9 3 t 2 = d v d t

com variáveis v e t . Separando as variáveis, integrando t desde 0 até t 1 e integrando v desde zero até zero novamente, obtém-se a seguinte expressão

t 1 0 9 3 t 2 d t = 0 0 d v

que pode ser resolvida no Maxima

(%i1) integrate(9-3*t^2, t, 0, t1) = integrate(1, v, 0, 0);
(%o1)     9 t 1 t 31 = 0
(%i2) solve(%);
(%o2)     [ t 1 = 3 , t 1 = 3 , t 1 = 0]

O objeto volta a parar então em t 1 = 3 s.

Para calcular a posição em função do tempo, é necessário saber a expressão da velocidade em função do tempo, que pode ser obtida separando variáveis novamente na equação a t = ˙ v , mas deixando os limites superiores como variáveis t e v .

t 0 9 3 t 2 d t = v 0 d v

E resolvendo os integrais encontra-se a expressão de v em função de t

(%i3) integrate(9-3*t^2, t, 0, t) = integrate(1, v, 0, v);
(%o3)     9 t t 3 = v

Substitui-se essa expressão na equação cinemática v = ˙ s , conduzindo a uma equação de variáveis separáveis:

9 t t 3 = d s d t

Separando variáveis, integrando t desde t 0 = 0 até t 1 = 3 e s desde a posição inicial s 0 = 5 até a posição final s 1 obtém-se

3 0 9 t t 3 d t = s 1 5 d s

E o valor de s 1 determina-se resolvendo os integrais

(%i4) integrate (lhs(%), t, 0, 3) = integrate(1, s, 5, s1);
(%o4)     81 4 = s 1 5
(%i5) solve(%);
(%o5)     s 1 = 101 4

A posição final do objeto é s 1 = 25 . 25 cm.

Problema 7

A expressão da aceleração tangencial de um objeto que oscila numa calha é a t = k s , onde k é uma constante positiva. Determine:

(a) O valor de k para que a velocidade seja v = 15  m/s em s = 0 e v = 0 em s = 3  m.

(b) A velocidade do objeto em s = 2  m.

A expressão da aceleração tangencial permite resolver a seguinte equação

k s = v d v d s

Separando variáveis e integrando entre os dois valores de s e de v dados, obtém-se o valor da constante k (unidades SI)

3 0 k s d s = 0 15 v d v 9 k = 225 = k = 25

Para calcular a velocidade em x = 2 , resolvem-se os mesmos integrais, mas agora o valor de k é conhecido e a variable desconhecida é a velocidade em s = 2

2 0 25 s d s = v 15 v d v 100 = v 2 225 = v =± 11 . 18m s

Os valores positivos e negativos de v são devidos a que, como a partícula oscila, passa muitas vezes por s = 2 , umas vezes no sentido positivo e outras vezes no sentido negativo.

Problema 9

O quadrado da velocidade v de um objeto diminui linearmente em função da posição na sua trajetória, s , tal como se mostra no gráfico. Calcule a distância percorrida durante os dois últimos segundos antes do objeto chegar ao ponto B.

Quadrado da velocidade, num caso particular.

Encontra-se a equação da reta, usando os dois pontos dados no gráfico e tendo em conta que a variável no eixo das abcissas é s e a variável no eixo das ordenadas é v 2

v 2 900 = 900 2500 400 100 ( s 400) v 2 = 9100 3 16 3 s

Como o enunciado diz que a velocidade diminui, então o objeto desloca-se de A para B e a sua velocidade é positiva. A expressão para v em ordem a s é então a raiz positiva do lado direito na equação anterior:

v = 9100 16 s 3

Substituindo na equação v = ˙ s , obtém-se uma equação diferencial de variáveis separáveis

9100 16 s 3 = d s d t

Para separar variáveis, a expressão no lado esquerdo passa a dividir ao lado direito:

d t = 3d s 9100 16 s

Dois segundos antes de chegar ao ponto B, o objeto encontra-se num outro ponto C, onde podemos arbitrar t igual a zero. Como tal, a variável t será integrada desde 0 até 2 e a variável s desde s C até 400

(%i6) integrate (1,t,0,2) = integrate (sqrt(3)/sqrt(9100-16*s),s,sC,400);
Is sC - 400 positive, negative or zero?

neg;
(%o6)   2 = 3 9100 16 s C 8 5 × 3 3/2 4
(%i7) float (solve (%));
(%o7)   [ s C = 334 . 7]

A distância percorrida nos últimos dois segundos antes de chegar a B, é s B s C . O resultado %o7 pode substituir-se nessa expressão para obter a distância

(%i8) subst (%, 400-sC);
(%o8)   65 . 33

A resposta é 65.33 m.