Problemas Resolvidos

Índice
Dinâmica e Sistemas Dinâmicos
Problemas Resolvidos
  1. Cinemática vetorial

2. Cinemática vetorial

Problema 2

Um berlinde é lançado sobre a superfície horizontal no topo de umas escadas e sai no início das escadas com velocidade horizontal igual a 3 m/s. Cada degrau tem 18 cm de altura e 30 cm de largura. Qual será o primeiro degrau onde o berlinde bate?

No eixo horizontal x , a projeção da velocidade permanece constante e é igual à velocidade inicial v x = 3 (unidades SI). A distância que o berlinde se desloca na horizontal é então x = 3 t , a partir de t = 0 , quando abandona a superfície horizontal. Como a largura de cada degrau é 0.3, então o tempo que o berlinde demora em avançar cada degrau é 0.1 segundos. Se durante o tempo que demora até avançar algum degrau a distância vertical que cai chega a ultrapassar a distância que esse mesmo degrau desce, em relação ao ponto inicial, então o berlinde não chegará a ultrapassar esse degrau, batendo nele.

Como tal, é necessário calcular a sequencia de posições verticais y n em t n = 0.1, 0.2, 0.3, … e compará-las com as posições verticais dos degraus: h n = 0 . 18 , 0 . 36 , 0 . 54 , … O primeiro valor de n na sequência que faça com que y n seja menor que h n , será o degrau em que o berlinde bate.

A projeção vertical da velocidade em t 0 = 0 é v y = 0 , porque o berlinde é lançado horizontalmente. Integrando a aceleração, a y = 9 . 8 , em ordem a t , obtém-se:

v y = 9 . 8 t

Arbitrando y 0 = 0 , a posição y em qualquer instante t é então o integral de 9 . 8 t , desde zero até t :

y = 4 . 9 t 2

E a sequencia de posições verticais é então,

y n = 0 . 04 9 , 0 . 19 6 , 0 . 44 1 , 0 . 78 4 , . . .

Comparando com h n = 0 . 18 n , conclui-se que o berlinde bate no quarto degrau ( 0 . 78 4 é menor que 0 . 72 ).

Problema 6

A velocidade de uma partícula em movimento no plano x y é dada pela expressão: v = 3e 2 t ˆ ı 5e t ˆ (unidades SI). No instante t = 0 a partícula encontra-se no eixo dos y , na posição 2ˆ .

(a) Determine em que instante passará pelo eixo dos x e a que distância da origem estará nesse instante.

(b) Calcule a aceleração em t = 0 e no instante em que passa pelo eixo dos x .

A expressão da posição obtém-se somando a posição inicial mais o integral da velocidade, em ordem ao tempo, desde o instante inicial até um instante qualquer

(%i1) v: [3*exp(-2*t), -5*exp(-t)]$
(%i2) r0: [0, 2]$
(%i3) r: r0 + integrate(v,t,0,t);
(%o3)     3 1 2 e 2 t 2 , 2 5 1 e t
(%i4) float(solve(r[2]=0, t));
(%o4)     [ t = 0 . 51 0 8 ]
(%i5) float(subst(%,r));
(%o5)     [0 . 96 , 0 . 0]

Ou seja, a partícula passa pelo eixo dos x no instante t = 0 . 51 0 8  s e a uma distância de 0.96 m da origem.

(%i6) a: diff(v,t);
(%o6)     6e 2 t , 5e t
(%i7) subst(t=0,a);
(%o7)     [ 6 , 5]
(%i8) subst(%o4,a);
(%o8)     [ 2 . 16 , 3 . 0]

A aceleração no instante inicial é ( 6ˆ ı + 5ˆ ) ~m/s2 e quando passa pelo eixo dos x é ( 2 . 16 ˆ ı + 3ˆ ) ~m/s2.

Problema 9

Uma pedra roda pelo telhado de uma casa, que faz um ângulo de 20° com a horizontal. No instante em que a pedra abandona o telhado e cai livremente, o valor da sua velocidade é 4 m/s e encontra-se a uma altura de 6 m. Admitindo que a resistência do ar é desprezável,

(a) Calcule o tempo que demora a cair ao chão, desde o instante em que abandona o telhado.

(b) A que distância horizontal bate a pedra no chão, em relação ao ponto onde abandonou o telhado?

(c) Calcule o ângulo que a velocidade da pedra faz com a vertical no instante em que bate no chão.

Com x na horizontal e y na vertical, a velocidade inicial é (unidades SI)

v i = 4c o s ( 2 0 )ˆ ı 4s i n ( 2 0 )ˆ = 3 . 75 9 ˆ ı 1 . 36 8 ˆ

A posição inicial é 6ˆ e a aceleração é constante: a = 9 . 8ˆ . A expressão da velocidade obtém-se integrando a aceleração desde o instante inicial até um instante qualquer

v ( t ) = v i + t 0 a ( t )d t = 3 . 75 9 ˆ ı (1 . 36 8 + 9 . 8 t )ˆ

e a expressão da posição obtém-se integrando essa expressão da velocidade desde o instante inicial até um instante qualquer

r ( t ) = r i + t 0 v ( t )d t = 3 . 75 9 t ˆ ı + 6 1 . 36 8 t 4 . 9 t 2 ˆ

O tempo que demora até bater no chão é o tempo que faz com que a componente y da posição seja nula

t = 1 . 36 8 1 . 36 8 2 + 4 × 4 . 9 × 6 9 . 8 = 0 . 97 5 7

e a distância horizontal é o valor da componente x da posição nesse instante

3 . 75 9 × 0 . 97 5 7 = 3 . 66 8

A velocidade no instante em que bate no chão é

3 . 75 9 ˆ ı (1 . 36 8 + 9 . 8 × 0 . 97 5 7 ) ˆ = 3 . 75 9 ˆ ı 10 . 93 ˆ

e o ângulo que faz com a vertical é a tangente inversa da componente x dividida pelo valor absoluto da componente y

θ = ar c t a n 3 . 75 9 10 . 93 = 18 . 98

Problema 10

Um barco transposta passageiros de uma margem de um rio para a outra margem, seguindo o percurso mais curto de 1.5 km entre as duas margens. Quando o motor do barco funciona na potência máxima, a travessia demora 20 minutos, num dia em que o valor da velocidade da corrente no rio é 1.2 m/s; calcule o valor da velocidade do barco, nesse dia, (a) em relação à Terra e (b) em relação à água. (c) Determine o tempo mínimo que o barco demorava a atravessar o mesmo rio, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse 0.8 m/s.

A velocidade do barco, em relação à terra é constante e igual a

v = s t = 15 0 0 20 × 60 = 1 . 25 m / s

A velocidade do barco em relação à água, v b/ a , mais a velocidade da corrente é igual à velocidade do barco. Como o barco atravessa o rio na direção perpendicular às margens, a velocidade da corrente é perpendicular à velocidade do barco e essas duas velocidades são os catetos num triângulo retângulo onde v b / a é a hipotenusa.

Velocidade de um barco a atravessar um rio

Como tal, a velocidade do barco em relação à água é 1 . 25 2 + 1 . 2 2 = 1 . 73 3  m/s. A velocidade máxima do barco em relação à água depende apenas do funcionamento do motor e, por isso, será a mesma no dia em que a corrente tem velocidade 0.8 m/s e a velocidade máxima do barco nesse dia será então 1 . 73 3 2 0 . 8 2 = 1 . 53 7  m/s. Com essa velocidade, o tempo mínimo necessário para atravessar o rio é 1500/1.537 = 975.9 s, ou seja, aproximadamente 16 minutos e 16 segundos.

Problema 13

Sistema com duas roldanas e três cilindros

Três cilindros A, B e C foram pendurados no sistema de duas roldanas que mostra a figura. Num instante, a velocidade do bloco A é v A = 3  m/s, para cima, e a sua aceleração é a A = 2  m/s2, para baixo; no mesmo instante, a velocidade e aceleração do bloco C são: v C = 1  m/s, para baixo, a C = 4  m/s2, para cima. Determine a velocidade e aceleração do bloco B, no mesmo instante, indicando se são para cima ou para baixo.


Variáveis no sistema com duas roldanas e três cilindros

Definem-se 4 variáveis y A , y B , y C e y R para medir as posições dos cilindros e da roldana móvel, em relação a algo fixo, por exemplo o teto, tal como mostra a figura ao lado.

Como o cilindro A e a roldana móvel estão ligados por um fio, então

y A + y R = co n s t a n t e

e a ligação dos cilindros B e C com outro fio que passa pela roldana móvel implica:

y B y R + y C y R = co n s t a n t e

Derivando essas duas equações em ordem ao tempo, obtêm-se as relações para as velocidades:

v A + v R = 0 v B + v C 2 v R = 0 = v B = 2 v A v C

Como as distâncias y aumentam quando os objetos descem, então as velocidades para baixo são positivas e para cima são negativas. Assim sendo, as velocidades dadas no enunciado são v A = 3 e v C = 1 e a equação acima dá v B = 5 ; ou seja, a velocidade do cilindro B é 5 m/s, para baixo.

Derivando novamente a relação entre as velocidades obtém-se a relação entre as acelerações:

a B = 2 a A a C

e substituindo os valores dados, a A = 2 e a C = 4 , obtém-se a B = 0 ; ou seja, a aceleração do cilindro B é nula.

Problema 14

No sistema da figura, encontre a relação entre os valores das velocidades e das acelerações da barra A e do cilindro B, admitindo que a barra A permanece sempre horizontal.

Cilindro ligado a uma barra

Há dois movimentos diferentes: o movimento da barra e das duas roldanas móveis e o movimento do cilindro. Esses dois movimentos são a variação da posição da barra e do cilindro em relação a algum objeto fixo; usando como referência o teto (ver figura) as posições da barra e do cilindro são x A e x B .

Cilindro_ligado_a_uma_barra

A distância entre o centro de uma das roldanas móveis e o centro de uma das roldanas fixas é x A menos uma constante. Assim sendo, o comprimento do fio é

L = 4 x A + x B + co n s t a n t e s

Derivando esta equação em ordem ao tempo obtém-se

v B = 4 v A

e derivando novamente

a B = 4 a A