Problemas Resolvidos

Índice
Dinâmica e Sistemas Dinâmicos
Problemas Resolvidos
  1. Movimento curvilíneo

3. Movimento curvilíneo

Problema 2

Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que o valor da velocidade diminua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando a figura, faça uma estimativa do raio de curvatura da estrada e calcule o valor da aceleração do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem.

Carro a travar numa curva

O raio é aproximadamente 16.7 m. A aceleração tangencial (taxa de aumento da velocidade) é igual a

a t = 4 . 5k m / h s = 45 0 0 36 0 0 m s 2 = 1 . 25 m s 2

Resolvendo a equação que relaciona a aceleração tangencial com a velocidade e o tempo obtém-se a velocidade após os 4 segundos (72 km/h equivale a 20 m/s)

v 20 d v = 4 0 1 . 25 d t = v = 15

E a aceleração total é

a = a 2t + a 2n = 1 . 25 2 + 15 4 16 . 7 2 = 13 . 53 m s 2

Este valor é uma aproximação, porque o raio foi calculado de forma aproximada.

Problema 5

Dois carros numa curva

Dois carros A e B passam por uma curva usando trajetórias diferentes. A figura mostra a curva delimitada pela reta C. O carro B faz um percurso semicircular com raio de 102 m; o carro A avança uma distância em linha reta, a seguir segue um semicírculo com raio 82 m e termina com outro trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à velocidade máxima que podem ter para conseguir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que produz uma aceleração normal de 0 . 8 g , onde g é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva.

Como cada carro faz a curva com velocidade constante, o tempo que demora é

t = s v

A velocidade de cada carro é a que conduz ao valor máximo da aceleração normal, ou seja

v 2 R = 0 . 8 g = v = 7 . 84 R

No caso do automóvel B, o percurso é metade da circunferência de 102 metros de raio

s = 10 2 π v = 7 . 84 × 10 2 = 28 . 27 9

E como tal, o tempo que demora é

t = 10 2 π 28 . 27 9 = 11 . 33 s

No caso do automóvel A, o percurso é metade da circunferência de 82 metros de raio, mais dois segmentos retos de 20 m cada um

s = 2 × 20 + 82 π v = 7 . 84 × 82 = 25 . 35 5

E o tempo que demora o carro A é

t = 40 + 82 π 25 . 35 5 = 11 . 74 s

Problema 7

Trajetória com duas curvas

Uma partícula segue a trajetória que mostra a figura, partindo do repouso em A e aumentando a velocidade com aceleração constante até o ponto B. Desde B até E mantém velocidade constante de 10 m/s e a partir de E começa a abrandar, com aceleração constante, até parar no ponto F. A distância AB é 60 cm, CD é 20 cm e EF é 45 cm; o raio do arco BC é 60 cm e o raio do arco DE é 45 cm. Determine:
(a) O módulo da aceleração da partícula em cada um dos trajetos AB, BC, CD, DE e EF.
(b) O tempo total do movimento desde A até F e a velocidade média nesse percurso.

(a) No trajeto AB,

a t = v d v d s = a t0 . 6 0 d s = 10 0 v d v = a t = 83 . 33 m / s 2

o módulo da aceleração é 83.33 m/s2. No trajeto EF,

a t = v d v d s = a t0 . 45 0 d s = 0 10 v d v = a t = 11 1 . 11 m / s 2

o módulo da aceleração é 111.11 m/s2. No trajeto CD, o módulo da aceleração é nulo, porque o movimento é retilíneo e uniforme. No trajeto BC, a aceleração tem unicamente componente normal:

a n = v 2 r = 10 2 0 . 6 = 16 6 . 67 m / s 2

o módulo da aceleração é 166.67 m/s2. No trajeto DE, a aceleração também tem unicamente componente normal:

a n = v 2 r = 10 2 0 . 45 = 22 2 . 22 m / s 2

o módulo da aceleração é 222.22 m/s2.

(b) A distância total percorrida é a soma dos três segmentos AB, CD e EF, mais os dois arcos BC e DE, ambos com ângulo de π /2 radianos:

d = 0 . 6 + 0 . 2 + 0 . 45 + π 2( 0 . 6 + 0 . 45 ) = 2 . 90 m

O tempo que a partícula demora a percorrer o trajeto BCDE é:

t 1 = 0 . 2 + π 2( 0 . 6 + 0 . 45 ) 10 = 0 . 18 5 s

Para calcular o tempo que demora no trajeto AB, integra-se uma equação de movimento

a t = d v d t = t 2 = 1 a t1 0 0 d v = 10 83 . 33 = 0 . 12 0 s

e usa-se o mesmo procedimento para calcular o tempo que demora no trajeto EF:

a t = d v d t = t 3 = 1 a t0 10 d v = 10 11 1 . 11 = 0 . 09 0 s

A velocidade média é igual à distância percorrida dividida pelo tempo que demorou:

v m = d t 1 + t 2 + t 3 = 2 . 90 0 . 18 5 + 0 . 12 0 + 0 . 09 0 = 7 . 34 m / s

Problema 8

Roda dupla

A roda na figura tem duas partes com raios de 3 cm e 6 cm, que estão em contacto com duas barras horizontais A e B. A barra A desloca-se para a direita, com valor da velocidade de 10 m/s e a barra B desloca-se para a esquerda com valor da velocidade de 35 m/s, enquanto a roda mantém o contacto com as duas barras, sem derrapar. Determine para que lado se desloca o centro O da roda e calcule os valores da velocidade do ponto O e da velocidade angular da roda.

Admitindo sentido positivo de esquerda para direita, as velocidades das barras A e B são

v A = 10 v B = 35

E a velocidade do ponto da roda em contacto com a barra A, em relação ao ponto da roda em contacto com a barra B, é igual a

v A/ B = v A v B =+ 45

Por ser positiva, conclui-se que a roda está a rodar no sentido horário e com velocidade angular

ω = v A/ B AB = 45 0 . 09 = 50 0

em unidades SI (radianos por segundo). A velocidade do ponto O, relativa ao ponto da roda em contacto com a barra B é positiva, porque a velocidade angular é no sentido horário, e com valor

v O/ B = OB ω = 0 . 03 × 50 0 =+ 15

Finalmente, a velocidade do ponto O é

v O = v O/ B + v B = 15 35 = 20

em m/s. O sinal negativo indica que o ponto O desloca-se para a esquerda.

Problema 9

Uma roda com 20 cm de raio desloca-se, sem derrapar, sobre uma superfície plana, ao longo do eixo dos x . No instante t = 0 o centro da roda encontra-se em x = 0 e y = 20  cm e os pontos P e Q da roda são os pontos que estão em x = 0 com y = 0 e y = 10  cm. O valor da velocidade do centro da roda é 2 m/s, constante. (a) Calcule quanto tempo demora a roda a dar duas voltas completas. (b) Represente os gráficos das trajetórias dos pontos P e Q durante o tempo que a roda demora a dar duas voltas.

Pontos numa roda

(a) Como a velocidade do ponto P é nula, a velocidade de C relativa a P é igual a 2 m/s e a velocidade angular da roda é

ω = 2 0 . 20 = 10

e por ser constante, o tempo que a roda demora a dar duas voltas é

t = θ ω = 4 π 10 = 1 . 26 s

(b) O ângulo que a reta CP faz com a vertical é dado pela expressão

θ = ω t = 10 t

E a posição dos pontos P e Q, relativas a C, são

r P/ C = 0 . 2 si n θ ˆ ı + co s θ ˆ = 0 . 2 si n ( 1 0 t )ˆ ı + co s ( 1 0 t )ˆ
r Q/ C = 0 . 1 si n ( 1 0 t )ˆ ı + co s ( 1 0 t )ˆ

A posição do ponto C, em função do tempo é

r C = 2 t ˆ ı + 0 . 2ˆ

Assim sendo, as posições dos pontos P e Q, em função do tempo, são

r P = (2 t 0 . 2s i n ( 1 0 t )) ˆ ı + (0 . 2 0 . 2c o s ( 1 0 t )) ˆ r Q = (2 t 0 . 1s i n ( 1 0 t )) ˆ ı + (0 . 2 0 . 1c o s ( 1 0 t )) ˆ

O gráfico das trajetórias desses dois pontos, durante duas voltas, obtém-se com o seguinte comando do Maxima

(%i1) plot2d([[parametric, 2*t-0.2*sin(10*t), 0.2-0.2*cos(10*t)], [parametric, 2*t-0.1*sin(10*t), 0.2-0.1*cos(10*t)]], [t,0,1.26], [legend,"P","Q"]);

Cicloides

Problema 10

Um cilindro com raio de 4 cm está colado a uma roda com 6 cm de raio que se encontra sobre uma superfície horizontal plana, tal como mostra a figura. Uma corda foi enrolada à volta do cilindro e está a ser puxada horizontalmente para a direita, com velocidade constante v de valor 2.5 cm/s. O movimento da corda faz rodar a roda sobre a superfície horizontal, sem derrapar.
(a) Determine o valor da velocidade angular da roda.
(b) Diga em que sentido se desloca o ponto O, no eixo da roda e do cilindro, e determine o valor da sua velocidade.
(c) Determine quantos centímetros de corda são enrolados à volta do cilindro a cada segundo.

Roda e cilindro

Roda e cilindro

(a) Como a roda não derrapa, a velocidade do ponto B na figura ao lado é nula. Como tal, a velocidade v A/ B de A relativa a B, é v A v B = v A . Escolhendo o sistema de eixos indicado na figura e distâncias em centímetros, a velocidade do ponto A, que é a mesma velocidade com que a corda está a ser puxada no ponto C, é igual a:

v A/ B = v A = 2 . 5ˆ ı

Essa velocidade está também relacionada com a velocidade angular pela expressão:

v A/ B = ω × BA = ( ω ˆ k ) × (2 ˆ ) = 2 ω ˆ ı

onde o versor ˆ k aponta para fora da figura. Igualando as duas expressões anteriores, obtém-se a velocidade angular:

ω = 2 . 5 2 = 1 . 25 s 1

o sinal negativo indica que o vetor ω aponta para dentro da figura, ou seja, a rotação é no sentido dos ponteiros do relógio.

(b) Como a velocidade angular da roda é no sentido dos ponteiros do relógio, o ponto O desloca-se para a direita com velocidade de valor igual a:

v O = OB ω = 7 . 5c m / s

(c) A velocidade do ponto C, em relação ao ponto O, é:

v C/ O = v C v O = 2 . 5ˆ ı 7 . 5ˆ ı = 5ˆ ı

o sentido dessa velocidade, no sentido negativo do eixo dos x , indica que os pontos O e C estão a aproximarem-se, ou seja, a corda está a enrolar-se ainda mais e cada segundo enrolam-se 5 cm de corda.