Problemas Resolvidos

  1. Mecânica lagrangiana

9. Sistemas lineares

Problema 1

Em cada caso, use o Maxima para encontrar os valores e vetores próprios do sistema. Diga que tipo de ponto de equilíbrio tem cada sistema e represente os retratos de fase.
(a) ˙ x = x + y      ˙ y = 4 x + y
(b) ˙ x = 3 x + 2 y ˙ y = 2 x 2 y
(c) ˙ x = x y      ˙ y = x + 3 y

(a) No Maxima

(%i1) vars: [x, y]$
(%i2) A: matrix ([1,1], [4,1])$
(%i3) eigenvectors (A);
(%o3)     [[ [ 3 , 1] , [1 , 1] ] , [[ [ 1 , 2] ] , [[ 1 , 2] ] ] ]
(%i4) plotdf (list_matrix_entries (A.vars), vars, [vectors,"blank"]);

E após traçar algumas curvas de evolução, o retrato de fase é

Retrato de fase

Os valores próprios são 3, com vetor próprio (1, 2), e −1, com vetor próprio (1,-2). O ponto de equilíbrio é ponto de sela.

(b)

(%i5) A: matrix ([-3,sqrt(2)], [sqrt(2),-2])$
(%i6) eigenvectors (A);
(%o6)     [[ 4 , 1] , [1 , 1] ] , 1 , 1 2 , 1 , 2
(%i7) plotdf (list_matrix_entries (A.vars), vars, [vectors,"blank"], [x,-2,2], [y,-2,2]);

Os valores próprios são -4, com vetor próprio (1, -1/ 2 ), e −1, com vetor próprio (1, 2 ). O ponto de equilíbrio é nó atrativo.

Retrato de fase

(c)

(%i8) A: matrix ([1,-1], [1,3])$
(%i9) eigenvectors (A);
(%o9)     [[ [ 2 ] , [2 ] ] , [[ [ 1 , 1] ] ] ]
(%i10) plotdf (list_matrix_entries (A.vars), vars, [vectors,"blank"], [x,-2,2], [y,-2,2]);

Existe um único valor próprio igual a 2, com vetor próprio (1, -1). O ponto de equilíbrio é nó impróprio repulsivo.

Retrato de fase

Problema 2

A figura mostra a curva de evolução hipotética de uma bola que cai em queda livre e é disparada para cima novamente após ter batido no chão, se não existisse nenhuma força dissipativa. A parte do gráfico para valores positivos de y corresponde ao lançamento vertical de um projétil, ignorando a resistência do ar. A parte do gráfico para valores negativos de y corresponde à deformação elástica da bola quando choca com o chão; durante o tempo de contacto com o chão, admite-se que o movimento vertical da bola é um movimento harmónico simples, sem dissipação de energia. Retrato de fase de uma bola saltitona Sabendo que a altura máxima atingida pela bola é h = 10  m e que a deformação máxima quando a bola bate no chão é A = 1  cm, determine:
(a) A velocidade máxima da bola ao longo do seu movimento.
(b) A frequência angular da deformação elástica da bola.
(c) O tempo que a bola permanece em contacto com o chão.

(a) No ponto de altura máxima, com coordenadas (10, 0) no espaço de fase, a energia mecânica é

E m = m 2 v 2 + m g h = 0 + 98 m

e no ponto (0, v m ), onde a velocidade é máxima, a energia potencial é nula e a energia mecânica é então igual à energia cinética

98 m = m 2 v 2 m = v m = 19 6 = 14 m s

(b) No ponto (−0.01,0), onde a deformação elástica é máxima, a energia cinética é nula e a energia mecânica é igual à energia potencial de um oscilador harmónico com constante elástica k

98 m = k 20 . 01 2 = k m = 19 6 0 0 0 0

A frequência angular de oscilação é então

= k m = 19 6 0 0 0 0 = 14 0 0 s 1

(c) Como a curva de evolução da bola em contacto com o chão é metade de uma elipse, o tempo de contacto com o chão é metade do período do oscilador harmónico

= 2 π T = T 2 = π = π 14 0 0 = 2 . 24 m s

Problema 4

Um cilindro de massa m está pendurado, na vertical, de uma mola com constante elástica k , tal como na figura 6.2. Em termos da altura y do centro de massa do cilindro, a partir da posição em que a mola não está nem esticada nem comprimida, e desprezando a resistência do ar:
(a) Encontre a equação de movimento, a partir da equação de Lagrange, ou se preferir, a partir da segunda lei de Newton.
(b) Encontre o valor de y no ponto de equilíbrio.
(c) Mostre que o sistema pode escrever-se como sistema linear, com uma mudança de variável de y para uma nova variável z e que a equação de movimento em função de z é a equação de um oscilador harmónico simples com frequência angular k / m .

(a) As energias cinética e potencial gravítica mais potencial elástica são

E c = m 2˙ y 2 U = m g y + k 2 y 2

A equação de Lagrange é

d d t E c ˙ y E c y + U y = m ¨ y + m g + k y = 0

e a equação de movimento é

¨ y = g k m y

(b) No ponto de equilíbrio ˙ y e ¨ y são nulas, ou seja

g k m y e = 0 = y e = m g k

(c) Para que o sistema fosse linear, não podia aparecer o termo constante g na equação de movimento. Introduz-se então uma nova variável z tal que

g k m y = k m z

ou seja, z = y + m g k e, assim sendo, ¨ z = ¨ y e a nova equação de movimento é

¨ z = k m z

que é a equação de um oscilador harmónico simples, com frequência angular

= k m

Problema 5

Um cilindro tem base circular de área A = 10  cm2, altura h = 16  cm e massa volúmica ρ = 0 . 9  g/cm3. Como essa massa volúmica é menor que a da água, ρ a g = 1  g/cm3, quando o cilindro é colocado num recipiente com água flutua na superfície, com uma parte x da sua altura por fora da água, como mostra a figura ( 0 x h ). Empurrando o cilindro para baixo, começará a oscilar com x a variar em função do tempo. Use o seguinte procedimento para analisar a oscilação do cilindro:
(a) Sabendo que a força da impulsão da água, para cima, é igual ao peso da água que ocupava a parte do volume do cilindro que está dentro da água, ou seja,

I = A ( h x ) ρ a g g
Encontre a expressão para a força resultante no cilindro, em função de x (pode ignorar a força de resistência da água, que é muito menor que o peso e a impulsão).
(b) Encontre a equação de movimento do cilindro (expressão para ¨ x em função de x ).
(c) Encontre o valor de x na posição de equilíbrio do cilindro.
(d) Mostre que o sistema dinâmico associado ao movimento do cilindro é linear e encontre a matriz do sistema.
(e) Mostre que o ponto de equilíbrio é um centro, implicando que o movimento é oscilatório e determine o valor do período de oscilação do cilindro.

Cilindro a flutuar na água

(a) A força resultante é vertical e com valor (positivo para cima ou negativo para baixo) igual a:

F = I m g = A ( h x ) ρ a g g A h ρ g = A g h ( ρ a g ρ ) ρ a g x = 10 × 98 0 ( 1 6 × 0 . 1 x ) = 15 6 8 0 98 0 0 x

em gramas vezes cm/s2 e x em centímetros.

(b) A massa do cilindro, em gramas, é

m = A h ρ = 10 × 16 × 0 . 9 = 14 4

e a equação de movimento é

¨ x = F m = 98 0 9 12 2 5 18 x

(em cm/s2 e x em cm).

(c) O valor de x que faz com que a expressão da aceleração, 98 0 / 9 12 2 5 x /1 8 seja nula é

x = 98 0 × 18 9 × 12 2 5 = 1 . 6c m

(d) As equações de evolução são:

˙ x = v ˙ v = 98 0 9 12 2 5 18 x

Define-se y = x 1 . 6 ; como tal, ˙ y = ˙ x e as equações de movimento são equivalentes a

˙ y = v ˙ v = 12 2 5 18 x

que correspondem a um sistema dinâmico linear com matriz

01 12 2 5 18 0

(e) A equação caraterística da matriz é λ 2 + 12 2 5 / 1 8 = 0 . Os dois valores próprios são então números imaginários

λ =± i 12 2 5 18 =± i8 . 25 0

Ou seja, o ponto de equilíbrio em x = 1 . 6  cm é um centro e o movimento do cilindro é oscilatório com frequência angular igual a 8.250 e período (em segundos):

T = 2 π ω = 0 . 76 2

Problema 7

Num transformador há duas bobinas, a primária, com resistência R 1 e indutância L 1 e a secundária, com resistência R 2 e indutância L 2 . Quando se liga uma fonte na primeira bobina, produzindo corrente I 1 nela, na segunda bobina é induzida outra corrente I 2 . Quando se desliga a fonte na primeira bobina, as duas correntes começam a diminuir gradualmente, de acordo com as seguintes equações:

L 1 ˙ I 1 + M ˙ I 2 + R 1 I 1 = 0 L 2 ˙ I 2 + M ˙ I 1 + R 2 I 2 = 0

onde M é a indutância mútua entre as duas bobinas e as constantes M , L 1 , L 2 , R 1 e R 2 são todas positivas.
(a) Escreva as equações do transformador como equações de evolução de um sistema dinâmico linear e encontre a matriz do sistema.
(b) Num transformador real, M 2 é menor que L 1 L 2 . Que tipo de ponto de equilíbrio terá o sistema no caso L 1 = 2 , L 2 = 8 , M = 3 , R 1 = 1 , R 2 = 2 (usando unidades que conduzem a valores entre 0 e 10).
(c) Trace o retrato de fase do sistema no caso considerado na alínea anterior.
(d) Os valores L 1 = 2 , L 2 = 8 , M = 5 , R 1 = 1 e R 2 = 2 , correspondem a um caso hipotético que não pode descrever um transformador real porque M 2 > L 1 L 2 . Diga que tipo de ponto seria o ponto de equilíbrio nesse caso e explique porque esse sistema não pode descrever um transformador real.

(a) Resolvem-se as duas equações do transformador para encontrar expressões para ˙ I 1 e ˙ I 2 . O comando coefmatrix pode ser usado para extrair a matriz num sistema de combinações lineares; é necessário indicar as expressões lineares e as variáveis:

(%i11) eq1: L1*dI1+M*dI2+R1*I1=0$
(%i12) eq2: L2*dI2+M*dI1+R2*I2=0$
(%i13) sys: solve ([eq1, eq2], [dI1, dI2]);
(%o13) d I 1 = I 1 L 2 R 1 I 2 M R 2 M 2 L 1 L 2 , d I 2 = I 1 M R 1 I 2 L 1 R 2 M 2 L 1 L 2
(%i14) vars: [I1, I2]$
(%i15) A: coefmatrix (map (rhs, sys[1]), vars);
(%o15) L 2 R 1 M 2 L 1 L 2 M R 2 M 2 L 1 L 2 M R 1 M 2 L 1 L 2 L 1 R 2 M 2 L 1 L 2

(b) Substituem-se os valores dos parâmetros na matriz do sistema e determinam se os valores próprios:

(%i16) A1: subst ([L1=2, L2=8, M=3, R1=1, R2=2], A);
(%o16) 8 76 73 7 4 7
(%i17) eigenvectors (A1)$
(%i18) float (%);
(%o18) [ [ [-1.527, -0.1871], [1.0, 1.0] ], [ [ [1.0, -0.4484] ], [ [1.0, 1.115] ] ] ]

Como os valores próprios são reais e ambos negativos, o ponto de equilíbrio é um nó atrativo.

(c) As componentes da velocidade de fase são os lados direitos das equações na lista sys

(%i19) u1: subst ([L1=2, L2=8, M=3, R1=1, R2=2], map (rhs, sys[1]));
(%o19) 8 I 1 6 I 2 7 , 3 I 1 4 I 2 7
(%i20) plotdf (u1, vars)$

E traçando algumas curvas de evolução, incluindo as que passam pelos vetores próprios, obtém-se o seguinte retrato de fase:

Retrato de fase de um transformador

(d) Com os valores dos parâmetros dados, a matriz do sistema e os seus valores próprios são:

(%i21) A2: subst ([L1=2, L2=8, M=5, R1=1, R2=2], A);
(%o21) 8 9 10 9 5 94 9
(%i22) eigenvectors (A2)$
(%i23) float (%);
(%o23) [ [ [-0.1498, 1.483], [1.0, 1.0] ], [ [ [1.0, 0.9348] ], [ [1.0, -0.5348] ] ] ]

O ponto de equilíbrio seria, nesse caso, um ponto de sela. Não pode descrever um transformador real, porque é um ponto instável, em que as correntes poderiam aumentar até valores infinitos.

Problema 8

Um isótopo radioativo A, decai produzindo outro isótopo radioativo B e este decai produzindo um isótopo estável C.

A B C

Sendo N 1 e N 2 o número de isótopos das espécies A e B existentes em qualquer instante t , as suas derivadas em ordem ao tempo verificam as seguintes equações:

˙ N 1 = k 1 N 1 ˙ N 2 = k 1 N 1 k 2 N 2

onde k 1 é a constante de decaimento dos isótopos A (probabilidade de que um isótopo da espécie A se desintegre durante uma unidade de tempo) e k 2 é a constante de decaimento dos isótopos B.
(a) Determine a matriz do sistema e os seus valores próprios.
(b) Tendo em conta que as constantes de decaimento k 1 e k 2 são positivas, explique que tipo de ponto pode ser o ponto de equilíbrio para os possíveis valores dessas constantes.
(c) Se num instante inicial o número de isótopos A, B e C forem, respetivamente, N 1 = 3 N A , N 2 = 1 . 5 N A e N 3 = 4 . 5 N A , onde N A = 6 . 02 2 × 10 23 é o número de Avogadro, quais serão os valores de N 1 , N 2 e N 3 após um tempo muito elevado?

(a) A matriz do sistema e os seus valores próprios são:

(%i24) A: matrix ([-k1, 0], [k1, -k2]);
(%o24) k 1 0 k 1 k 2
(%i25) eigenvectors (A);
(%o25) [ [ [ k 2 , k 1 ], [1, 1] ], [ [ [0, 1] ], [ [1, k 1 k 2 k 1 ] ] ] ]

(b) Existem dois casos diferentes. Primeiro, se k 1 e k 2 , são diferentes, há dois valores próprios, reais e negativos, ou seja, o ponto de equilíbrio é um nó atrativo. Mas se as duas constantes k 1 e k 2 são iguais, existe um único valor próprio, real e negativo, e o ponto de equilíbrio é um nó impróprio atrativo.

(c) Como o ponto de equilíbrio na origem é atrativo, após um tempo elevado o sistema aproxima-se desse ponto de equilíbrio, ou seja, N 1 = 0 e N 2 = 0 . Se já não existem mais isótopos das espécies A nem B, isso quer dizer que todos os isótopos iniciais transformaram-se na espécie C e, como tal, N 3 será igual ao número total de isótopos das 3 espécies no início, 9 N A .

Problema 9

No sistema dinâmico com equações de evolução:

˙ x = y ˙ y = 10 x + k ( x + y )

onde k é um parâmetro real com qualquer valor entre e + , determine os intervalos de valores de k onde o ponto de equilíbrio ( x = y = 0 ) pode ser nó ou foco, atrativo ou repulsivo, centro ou ponto de sela.

Existem várias formas possíveis de resolver este problema; um método simples é o seguinte. Trata-se de um sistema linear com matriz:

0 11 0 + k k

com traço t e determinante d iguais a:

t = k d = k + 10

A relação entre o traço e o determinante é d = t + 10 . Num plano em que o eixo das abcissas representa o traço t e o eixo das ordenadas representa o determinante d , esta relação é uma reta com declive igual a 1, que corta o eixo das abcissas em t 0 = 10 .

A curva que delimita a região dos focos da região dos nós é a parábola d = t 2 /4 , que corta a reta d = t + 10 nos dois pontos onde:

t 2 2 2 t 20 = 0 = t 1 = 2 2 11 4 . 63 3 t 2 = 2 + 2 11 8 . 63 3

O gráfico seguinte mostra a reta e a parábola:

Relação determinante-traço

O ponto de equilíbrio é ponto de sela, se o traço for menor que t 0 , nó atrativo, se o traço estiver entre t 0 e t 1 , foco atrativo, se o traço estiver entre t 1 e 0, centro se o traço for nulo, foco repulsivo, se o traço estiver entre 0 e t 2 ou nó repulsivo, se o traço for maior que t 2 . Tendo em conta que k é igual ao traço, o resultado é então:

Note-se que quando k = 2 ± 2 11 , o ponto é nó impróprio, que já foi incluído nas categorias acima. Se k = 10 , o determinante é zero, que indica que o sistema se reduz a uma única equação, ˙ y = 10 y , que representa um sistema com espaço de fase de dimensão 1, em que y = 0 é ponto de equilíbrio atrativo; nesse caso a outra equação de evolução mostra que x é igual a y /1 0 mais uma constante.