Problemas Resolvidos

  1. Trabalho e energia

6. Trabalho e energia

Problema 2

A lei da gravitação universal estabelece que qualquer corpo celeste de massa M produz uma força atrativa sobre qualquer outro corpo de massa m , dada pela expressão:

F g = G M m r 2 ˆ r

onde G é a constante de gravitação universal, r é a distância entre os dois corpos e ˆ r é o versor radial, que aponta desde o corpo de massa M até o corpo de massa m . (a) Determine a expressão para a energia potencial gravítica U g devida ao corpo de massa M . (b) Tendo em conta o resultado da alínea anterior, como se justifica a equação 6.17, U g = m g z , para a energia potencial gravítica de um objeto na Terra?

(a) Em coordenadas esféricas, o deslocamento infinitesimal é

d r = d r ˆ r + r d φ ˆ e φ + r si n φ d θ ˆ e θ

Onde φ e θ são dois ângulos (medidos desde o semieixo positivo dos z e no plano x y desde o semieixo positivo dos x ) e os três versores ˆ r , ˆ e φ e ˆ e θ são perpendiculares entre si. Assim sendo, o produto escalar da força gravítica com o deslocamento infinitesimal é igual a:

F g · d r = G M m r 2 d r

Por depender de apenas uma variável, conclui-se que o integral de linha de F g não depende do percurso de integração e a força gravítica é uma força conservativa. A energia potencial associada a essa força conservativa é igual a menos uma primitiva qualquer da força

U g = F g · d r = G M m r 2 d r = G M m r

(b) Para um valor qualquer r 0 , a série de Taylor de U g é:

G M m r = G M m r 0 + G M m r 20 ( r r 0 ) . . .

O primeiro termo é uma constante, que pode ser ignorada, porque a energia potencial pode incluir sempre uma constante arbitrária com qualquer valor. No segundo termo, substituindo r 0 pelo raio da Terra, r r 0 é então a altura z desde a superfície da Terra e G M / r 20 é igual à constante g . Ignorando o resto da série, que para valores de z muito menores que r 0 não altera significativamente a soma dos dois primeiros termos, obtém-se U g m g z .

Problema 3

Num salto com vara, um atleta de 70 kg usa uma vara uniforme de 4.5 kg com 4.9 m de comprimento. O salto do atleta tem três fases: primeiro o atleta corre, com o seu centro de gravidade a 1 m de altura e com o centro de gravidade da vara a 1.5 m de altura, com velocidade de 9 m/s no instante em que possa a vara no chão. Na segunda fase, a energia da corrida é transferida para a vara, que se deforma e volta a esticar ficando vertical e elevando o atleta até uma altura próxima da altura da fasquia (desprezando forças dissipativas, até aqui a energia mecânica é constante). Finalmente o atleta estende os braços, aumentando a sua energia mecânica até o seu centro de gravidade subir a 5.8 m de altura, conseguindo ultrapassar a fasquia a 5.6 m. (a) Determine o trabalho realizado pelo saltador quando estende os braços. (b) Determine a força média que o saltador exerce sobre a vara na terceira fase.

Salto com vara

A energia mecânica do sistema atleta-vara (cinética de translação mais potencial gravítica) na primeira fase é:

E 1 = 1 27 4 . 5 × 9 2 + 70 × 9 . 8 + 4 . 5 × 9 . 8 × 1 . 5 = 37 6 9 . 4J

(a) Na terceira fase, quando o atleta estende os braços, o atleta e a vara estão em repouso: a altura do centro de massa do atleta é 5.8 m e a altura do centro de massa da vara é metade do seu comprimento. A energia mecânica nessa terceira fase é igual à energia potencial gravítica:

E 3 = 70 × 9 . 8 × 5 . 8 + 4 . 5 × 9 . 8 × 2 . 45 = 40 8 6 . 8J

O trabalho realizado pelo atleta é igual ao aumento da energia mecânica desde a fase 1 até a fase 3:

W = E 3 E 1 = 40 8 6 . 8 37 6 9 . 4 = 31 7 . 4J

(b) A energia mecânica na segunda fase, E 2 , é igual a E 1 , porque nas fases 1 e 2 há conservação da energia mecânica. Como na fase dois o atleta e a vara estão em repouso, a energia mecânica é igual à energia potencial gravítica:

E 2 = 70 × 9 . 8 × h + 4 . 5 × 9 . 8 × 2 . 45

Igualando essa expressão ao valor obtido para E 1 , encontra-se a altura que o atleta atinge, antes de estender os braços:

h = 5 . 33 7 m

A força média é igual ao trabalho dividido pelo aumento da altura entre a segunda e a terceira fase:

F = 31 7 . 4 5 . 8 5 . 33 7 = 68 6 N

Problema 4

Resolva o problema 7 do capítulo 4 aplicando o teorema do trabalho e a energia mecânica. A força exercida pelo bloco sobre o cone, quando o cone penetra no bloco, é uma força conservativa ou não?

O cone está em repouso nas posições inicial e final, quando este estava 30 cm acima do bloco e após ter penetrado a distância máxima de 5 cm no bloco. Como tal, não há variação da energia cinética entre essas duas posições e a diminuição da energia mecânica é igual à diminuição da energia potencial gravítica entre esses dois pontos:

E m = m g h = 0 . 3 × 9 . 8 × 0 . 35 = 1 . 02 9 J

Essa diminuição da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não conservativas que neste caso, desprezando a resistência do ar, é apenas o trabalho da força que o bloco exerce no cone desde a posição em que o cone toca o bloco ( x = 0 ) até quando penetra a distância máxima:

1 . 02 9 = 0 . 05 0 k x 2 d x = 0 . 05 3 3 k

Que conduz ao valor k = 24 6 9 6 . Como as unidades de k x 2 são newton, então as unidades da constante k são N/m2. A força do bloco não é conservativa, porque só atua quando o cone está a penetrar; se o cone voltasse a subir, após ter penetrado no bloco, o bloco já não produzia nenhuma força sobre o cone. Ou seja, a força do bloco depende implicitamente da velocidade, porque é diferente quando o cone está a descer (velocidade negativa) ou quando está a subir (velocidade positiva) e quando o cone para a força é nula.

Problema 7

Uma esfera de raio r roda, sem deslizar, dentro de uma calha semicircular de raio R , que está num plano vertical (ver figura).

(a) Demonstre que, em função da derivada do ângulo θ , a energia cinética da esfera é

E c = 7 10 m ( R r ) 2 ˙ θ 2

(b) Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica é constante e a sua derivada em ordem ao tempo é nula; derive a expressão da energia mecânica em ordem ao tempo e iguale a zero para encontrar a expressão da aceleração angular ¨ θ em função do ângulo.

(c) Entre que valores deve estar a energia mecânica para que a esfera permaneça oscilando dentro da calha?

(d) A partir do resultado da alínea b, determine a expressão para ¨ θ , no limite quando o raio da esfera é muito menor que o raio da calha ( R r R ) e explique porque o resultado é diferente do resultado obtido para o pêndulo simples no problema 6.

Esfera numa calha circular

(a) O centro de massa da esfera desloca-se num arco de círculo com ângulo θ e raio constante R r ; ou seja, a velocidade do centro de massa da esfera é

v e = ( R r )˙ θ

E como não desliza, o ponto da esfera em contacto com a calha tem velocidade nula. A diferença de velocidades do centro de massa da esfera e do ponto em contacto com a calha, dividida pela distância entre eles, dá a velocidade angular da esfera

ω = ( R r )˙ θ r

A energia cinética da esfera é

E c = 1 2 m v 2c m + 1 2 I cm ω 2

Substituindo a expressão para o momento de inércia de uma esfera (ver tabela 5.1) e as expressões da velocidade do centro de massa e da velocidade angular obtém-se

E c = 1 2 m ( R r ) 2 ˙ θ 2 + 1 2 2 m r 2 5 ( R r ) 2 ˙ θ 2 r 2 = 7 10 m ( R r ) 2 ˙ θ 2

(b) A energia mecânica é

E m = 7 10 m ( R r ) 2 ˙ θ 2 m g ( R r )c o s θ

e a sua derivada em ordem ao tempo é

d E m d t = 7 5 m ( R r ) 2 ˙ θ ¨ θ + m g ( R r )˙ θ si n θ

Igualando a zero obtém-se

¨ θ = 5 g 7( R r )s i n θ

(c) A energia mínima é quando a esfera fica no ponto mais baixo da calha ( θ = 0 ) com velocidade nula ( ˙ θ = 0 ):

E mi n = m g ( R r )

e a energia máxima é quando a esfera chega até o ponto A ( θ = 90 ) com velocidade nula ( ˙ θ = 0 ):

E ma x = 0

(d) O valor absoluto de ¨ θ é menor num fator 5/7, devido a que parte da energia potencial gravítica é transformada em energia cinética de rotação da esfera. A energia cinética de rotação é sempre 2/5 da energia cinética de translação, independentemente do valor de r ; assim sendo, no limite r 0 também 2/7 da energia gravítica são convertidos em energia de rotação e apenas os restantes 5/7 fazem aumentar θ .

Do ponto de vista das forças, no caso do pêndulo não há nenhuma força oposta ao movimento do centro de massa, enquanto que neste caso a força de atrito estático é oposta ao movimento do centro de massa. No entanto, essa força não realiza nenhum trabalho porque o ponto da esfera onde é aplicada não se desloca e a força de atrito não reduz a energia mecânica da esfera; simplesmente faz com que a energia fornecida pela gravidade sela distribuída entre energias cinéticas de translação e de rotação.

Problema 9

Resolva o problema 13 do capítulo 5 aplicando o princípio de conservação da energia mecânica.

A figura seguinte mostra as posições inicial e final da tampa da janela. C é o centro de massa e E o eixo das dobradiças.

Posições inicial e final no problema 6.9

Como a velocidade do ponto E é nula, a velocidade do centro de massa é v C = d ω , onde ω é a velocidade angular da tampa. O momento de inércia, em torno do eixo perpendicular à figura, passando pelo centro de massa C, é dado pela expressão para um paralelepípedo na tabela 5.1:

I C = 1 12 m (2 d ) 2 = 1 3 m d 2

A expressão da energia cinética da tampa, em função da velocidade angular é:

E c = m 2 v 2C + I C 2 ω 2 = m 2 d 2 ω 2 + m 6 d 2 ω 2 = 2 3 m d 2 ω 2

Em função da altura h C do centro de massa, a energia potencial gravítica é:

U g = m g h C

Por conservação da energia mecânica, E c + U g deve ser igual nas posições inicial e final. Medindo h C desde o ponto E, obtém-se:

0 + 0 . 1 m g = 2 3 m d 2 ω 2 0 . 6 m g

Que conduz ao valor da velocidade angular na posição final:

ω = 3 × 0 . 7 g 2 d 2 = 3 × 0 . 7 × 9 . 8 2( 0 . 6 2 + 0 . 1 2 ) = 5 . 27 4 s 1