6. Trabalho e energia

Índice
Dinâmica e Sistemas Dinâmicos
  1. Trabalho e energia
    1. Trabalho e energia cinética
    2. Forças conservativas
      1. Energia potencial gravítica
      2. Energia potencial elástica
      3. Energia potencial de forças centrais
    3. Energia mecânica
      1. Gráficos de energia
    4. Movimento harmónico simples
    5. Energia cinética de rotação

Introdução

Salto com vara

Num salto com vara, a energia cinética da corrida inicial é convertida em energia potencial elástica da vara dobrada. Enquanto a vara recupera a forma reta, essa energia potencial elástica é transformada em energia potencial gravítica. No instante em que a vara recupera a forma reta o saltador exerce sobre a barra uma força vertical, para baixo, aumentando ainda mais a sua energia potencial gravítica para atingir uma altura maior; finalmente, o saltador larga a vara e cai livremente transformando-se a energia potencial gravítica em energia cinética.

6.1. Trabalho e energia cinética

A segunda lei de Newton (equação 4.4)

6.1
F = m a

onde F é a resultante de todas as forças externas, conduz a uma relação útil chamada teorema do trabalho e da energia cinética. Para demonstrar esse teorema, considere-se um deslocamento vetorial infinitesimal d r durante um intervalo infinitesimal de tempo d t (figura 6.1).

Vetor deslocamento
Figura 6.1: Vetores posição e velocidade num instante t e num instante posterior t + d t .

No limite infinitesimal em que d t tende para zero, o deslocamento vetorial é na direção tangencial e com módulo igual ao deslocamento ao longo da trajetória:

(6.2)
d r = v d t = ( v d t ) e t = d s e t

Usando esta expressão e multiplicando com produto escalar os dois lados da equação 6.1 pelo deslocamento infinitesimal, obtém-se

(6.3)
F · (d s e t ) = m a · (d s e t ) = F t d s = m a t d s

A equação cinemática a t = v d v /d s implica que a t d s é igual a v d v e, como tal,

(6.4)
F t d s = m v d v

Integrando os dois lados da equação desde uma posição s 1 , onde a velocidade é v 1 , até outra posição s 2 onde a velocidade é v 2 , obtém-se o teorema do trabalho e a energia cinética:

(6.5)
s 2 s 1 F t d s = 1 2 m v 22 1 2 m v 21

A função da velocidade:

(6.6)
E c = 1 2 m v 2

chama-se energia cinética e o integral da componente tangencial da força ao longo da trajetória chama-se trabalho da força:

(6.7)
W 12 = s 2 s 1 F t d s

Ou seja, o teorema estabelece que

O trabalho realizado pela força resultante, ao longo da trajetória, é igual ao aumento da energia cinética da partícula.

Observe-se que em geral o trabalho de uma força pode ser calculado integrando F · d r ao longo de qualquer curva, mas se essa curva não é a trajetória da partícula, o resultado pode não ser igual ao aumento de energia cinética. Em geral, um integral de linha entre dois pontos produz diferentes valores para diferentes curvas que unem esses pontos.

Unicamente a componente tangencial da força realiza trabalho ao longo da trajetória e pode alterar a energia cinética da partícula. Uma força perpendicular à trajetória não realiza trabalho e não altera a energia cinética da partícula.

O trabalho e a energia cinética têm unidades de energia, ou seja, joules no Sistema Internacional de unidades (1 J = 1 N·m).

Em coordenadas cartesianas, o deslocamento infinitesimal d r é,

(6.8)
d r = d x ˆ ı + d y ˆ + d z ˆ k

Exemplo 6.1

Um canhão dispara uma bala com 5 cm de raio, desde o terraço de um edifício, na posição inicial (em metros):

r 0 = 9ˆ ı + 4ˆ + 15 ˆ k

com velocidade inicial (metros sobre segundo):

v 0 = 13 ˆ ı + 22 . 5ˆ + 15 ˆ k

determine a altura máxima atingida pela bala (valor máximo da coordenada z ) e a posição em que a bala bate no chão ( z = 0 ).

Bala lançada desde um prédio

Resolução. Este é o mesmo exemplo 2.3 que já foi resolvido no capítulo 2, mas será agora resolvido através do trabalho e do impulso. Uma bala metálica tem massa volúmica aproximadamente 8 vezes maior que a da água. Nessas condições, a velocidade terminal da bala é da ordem de 132 m/s. O problema será resolvido ignorando a resistência do ar e a solução obtida será usada para comparar a velocidade máxima com a velocidade terminal. Um valor da velocidade máxima próximo ou por cima da velocidade limite indicará que a solução obtida tem um erro elevado.

No sistema de eixos da figura, o peso escreve-se m g ˆ k e o impulso que produz desde o instante do lançamento da bala, t = 0 , até um instante t posterior é,

I = t 0 m g ˆ k d t = m g t ˆ k

igualando o impulso à variação da quantidade de movimento, e dividindo pela massa, obtém-se,

(6.9)
v = v 0 g t ˆ k = v = 13 ˆ ı + 22 . 5ˆ + (1 5 9 . 8 t )ˆ k

Assim sendo, as componentes x e y da velocidade permanecem constantes. O valor mínimo do módulo da velocidade ocorrerá no instante em que ( 15 9 . 8 t ) for igual a zero; o valor mínimo da velocidade, v mi n = 13 2 + 22 . 5 2 = 25 . 99 , corresponde ao ponto de altura máxima.

O trabalho realizado pelo peso é:

r 2 r 1 F · d r = m g r 2 r 1 ˆ k · (d x ˆ ı + d y ˆ + d z ˆ k ) = m g z z 0 d z = m g ( z 0 z )

igualando à variação da energia cinética e dividindo pela massa,

(6.10)
2 g ( z 0 z ) = v 2 v 20

Substituindo v pelo valor mínimo da velocidade, calcula-se a altura máxima z m

2 × 9 . 8 × (1 5 z m ) = 25 . 99 2 30 2 z m = 26 . 47 m

Para calcular a posição em que a bala bate no chão, calcula-se o valor da velocidade, quando a bala bate no chão, substituindo z = 0 na equação 6.10:

2 × 9 . 8 × 15 = v 2 30 2 = v = 34 . 55 m / s

e, de acordo com a equação 6.9, o quadrado do módulo da velocidade é:

34 . 55 2 = 13 2 + 22 . 5 2 + (1 5 9 . 8 t ) 2 = t = 3 . 85 5 s

(tendo em conta que o tempo t é positivo). Durante esse tempo, o deslocamento horizontal é igual a: d = 3 . 85 5 ( 1 3 ˆ ı + 22 . 5ˆ ) = (5 0 . 11 ˆ ı + 86 . 73 ˆ )m , já que a componente horizontal da velocidade é constante. Somando os valores das componentes x e y na posição inicial, obtém-se a posição em que a bala bate no chão:

r = (5 9 . 11 ˆ ı + 90 . 73 ˆ )m

Observe-se que os resultados são ligeiramente diferentes dos que foram obtidos no exemplo 2.3. Em ambos casos os resultados intermédios foram apresentados arredondando para 4 algarismos significativos, mas todos os cálculos foram feitos usando formato de vírgula flutuante com precisão dupla (16 algarismos significativos). A diferença está em que, apesar de o tempo que a bala demora em bater no chão aparecer igual nos dois casos (3.855 s) os valores internos em precisão dupla são diferentes, por terem sido usados métodos diferentes e o erro numérico é diferente nos dois casos.

O valor máximo da velocidade, atingido quando a bala bate no chão, é 34.55 m/s. Como esse valor é muito menor que a velocidade terminal (132 m/s), a solução obtida ignorando a resistência do ar não estará muito longe da solução verdadeira.


O teorema do trabalho e da energia cinética só contém uma parte da informação contida na segunda lei de Newton, já que a equação vetorial 6. são realmente 3 equações (uma para cada componente) agrupadas convenientemente em vetores. Contudo, é possível extrair as mesmas três equações a partir da energia cinética. Tendo em conta que:

(6.11)
E c = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( v 2 x + v 2 y + v 2 z )

então as três componentes cartesianas da equação 6.1 obtêm-se assim:

(6.12)
d d t E c v x = F x = m a x = F x

e de forma análoga para as componentes y e z . Esta equação é generalizada no capítulo 8 para qualquer outro sistema de coordenadas diferentes das cartesianas.

6.2. Forças conservativas

Uma força F ( r ) que depende unicamente da posição r chama-se conservativa, se o integral de linha entre dois pontos nas posições r 1 e r 2 ,

(6.13)
r 2 r 1 F · d r

dá o mesmo resultado, para qualquer percurso possível desde r 1 ate r 2 .

Assim sendo, é possível escolher um ponto arbitrário na posição r 0 e definir uma função que U em qualquer ponto:

(6.14)
U = r r 0 F · d r

observe-se que com essa definição, U = 0 na posição r 0 .

A função U não pode ser definida quando o resultado do integral de linha em 6.14 não está bem definido, ou seja, quando o resultado é diferente usando diferentes percursos. A escolha do sinal negativo na definição é explicada mais à frente. A função U tem unidades de energia e denomina-se energia potencial associada à força conservativa F . A vantagem de definir energias potenciais é que U ( r ) é uma função escalar, mais simples do que a função vetorial F ( r ) , que permite caraterizar completamente a força; ou seja, dada uma energia potencial qualquer é possível encontrar a expressão da força associada.

Usando o teorema fundamental do cálculo vetorial, o integral de linha da força conservativa F é igual a:

(6.15)
r 2 r 1 F · d r = U ( r 1 ) U ( r 2 )

isto é:

O trabalho realizado entre dois pontos por uma força conservativa é igual à diminuição da energia potencial associada a essa força.

Observe-se que o trabalho é igual à diminuição da energia potencial, e não o seu aumento, devido à escolha do sinal negativo na definição da energia potencial. observe-se também que a definição 6.14 implica que a energia potencial tem valor nulo na posição de referencia r 0 ; o efeito de usar diferentes escolhas do ponto de referencia r 0 é acrescentar ou subtrair uma constante a U em todos os pontos, mas as diferenças de energia potencial, U 1 U 2 , são independentes do ponto usado como referencia. O valor numérico da energia potencial num ponto não tem nenhum significado físico; o que tem significado é a diferença dos valores da energia potencial em dois pontos.

Exemplo 6.2

Calcule o integral de linha da força F = (3 x + y )ˆ ı , desde a origem O até o ponto P no plano x O y , com coordenadas x = y = 1 , usando os 3 percursos indicados na figura: C1 é o segmento de reta OR (R com coordenadas x = 1 , y = 0 ), seguido pelo segmento de reta RP , C2 é o segmento de reta OQ (Q com coordenadas x = 0 , y = 1 ), seguido pelo segmento de reta QP e C3 é o segmento de reta OP .

Três percursos no plano

Resolução. A equação vetorial do segmento de reta OR é: r = x ˆ ı , com 0 x 1 . Como tal, o deslocamento infinitesimal ao longo desse segmento é

d r = d x ˆ ı

e o integral de linha nesse segmento é:

R O F · d r = 1 0 3 x ˆ ı · (d x ˆ ı ) = 1 0 3 x d x = 1 . 5

A equação do segmento RP é r = ˆ ı + y ˆ , 0 y 1 , o deslocamento infinitesimal é d r = d y ˆ , e o integral de linha nesse segmento é igual a:

P R F · d r = 1 0 (3 + y )ˆ ı · (d y ˆ ) = 0

O integral de linha no percurso C1 é então igual a 1.5.

A equação do segmento OQ é r = y ˆ , 0 y 1 , e o integral de linha nesse segmento é,

Q O F · d r = 1 0 y ˆ ı · (d y ˆ ) = 0

A equação do segmento QP é x ˆ ı + ˆ , 0 x 1 , e o integral de linha nesse segmento é,

P Q F · d r = 1 0 (3 x + 1) ˆ ı · (d x ˆ ı ) = 2 . 5

O integral de linha no percurso C2 é então igual a 2.5.

No segmento OP , y é igual a x e, como tal, a equação do segmento é r = x (ˆ ı + ˆ ) , 0 x 1 . O integral de linha no percurso C3 é então

1 0 (3 x + x )ˆ ı · (ˆ ı + ˆ )d x = 1 0 4 x d x = 2

Como o integral é diferente nos 3 percursos considerados, a força F não é conservativa.


No exemplo 6.1 foi possível calcular o integral de linha do peso, sem conhecer a equação da trajetória parabólica da bala de canhão, nem ter de calcular a componente tangencial da força, porque como o peso P é sempre na direção de ˆ k , o produto escalar P · d r é sempre igual a P d z , para qualquer deslocamento em qualquer direção, e o integral de linha reduz-se a um integral ordinário numa única variável.

Em geral, sempre que o produto escalar F · d r dependa de uma única variável, a força F é conservativa porque o integral de linha reduz-se a um integral ordinário e o resultado depende apenas dos valores dessa variável, nas posições inicial e final. As secções seguintes mostram alguns exemplos.

6.2.1. Energia potencial gravítica

Usando um sistema de coordenadas em que o eixo dos z é vertical e aponta para cima, o peso é

(6.16)
P = m g ˆ k

o produto escalar P · d r é igual a m g d z . Ou seja, o peso é uma força conservativa e a energia potencial gravítica pode ser definida por:

(6.17)
U g ( r ) = z 0 ( m g )d z = U g = m g z

Isto é, a energia potencial gravítica de um corpo num ponto é igual ao produto do seu peso e a altura do ponto. As alturas podem medir-se a partir de qualquer ponto escolhido como referencia.

6.2.2. Energia potencial elástica

Quando uma mola elástica é esticada ou comprimida, exerce uma força elástica F e nos dois extremos, no sentido que faz regressar a mola à sua forma original. Se s é a elongação da mola, igual ao seu comprimento atual menos o comprimento que teria quando não estiver nem esticada nem comprimida, o valor absoluto de F e é diretamente proporcional a s

(6.18)
| F e |= k s

onde k é a constante elástica da mola. A equação 6.18 chama-se lei de Hooke.

Mola elástica alongada
Figura 6.2: Mola elástica pendurada dum suporte horizontal.

A figura 6.2 mostra um procedimento usado para medir a constante elástica de uma mola. Pendura-se um objeto com peso P , que estica a mola até ficar numa posição em que a força elástica equilibra o peso e mede-se a elongação; o valor da constante elástica é o peso usado, P , dividido pela elongação.

Mola e barra

Figura 6.3: Sistema com mola.

No sistema da figura 6.3, o cilindro pode deslocar-se ao longo de uma barra fixa e está ligado a uma mola com o outro extremo fixo num ponto fixo O. Em cada posição P do cilindro a elongação s da mola considera-se positiva se a mola estiver esticada, ou negativa se a mola estiver comprimida; como tal, se o vetor ˆ e s aponta no sentido em que s aumenta, o valor da força elástica é F e = k s (faz diminuir s quando é positiva ou aumentar quando é negativa). O produto escalar

(6.19)
F e · d r = k s ˆ e s · d r = k s d s

depende unicamente da variável s e, por isso, a força elástica é conservativa.

Usando como referência o valor s = 0 (posição em que a mola não exerce nenhuma força) a energia potencial elástica é:

(6.20)
U e = s 0 ( k s )d s = U e = 1 2 k s 2

6.2.3. Energia potencial de forças centrais

Uma força central é uma força que depende da posição e em cada ponto do espaço aponta na direção radial (reta que passa pela origem e pelo ponto) e com valor que depende unicamente da distância r até a origem:

(6.21)
F c = f ( r )ˆ r

Como o produto escalar F c · d r = f ( r )d r depende unicamente da variável r , as forças centrais são sempre conservativas e a energia potencial associada é igual a:

(6.22)
U c = r f ( r )d r

O ponto de referência costuma ser colocado no infinito, porque estas forças costumam ser zero quando a distância r é infinita. Dois exemplos de forças centrais são a força gravítica entre partículas e a força elétrica entre cargas pontuais.

6.3. Energia mecânica

As forças que não são função unicamente da posição não são conservativas. Por exemplo a reação normal e a força de atrito estático sobre um corpo são reações, que dependem das condições em que se encontra o sistema; colocando o mesmo corpo na mesma posição de uma mesa, mas com diferentes objetos colocados por cima, a reação normal tem valores diferentes. A força de atrito cinético também não é conservativa. Depende da reação normal e também depende da direção do movimento (direção da velocidade).

No teorema do trabalho e a energia cinética (equação 6.5), a resultante das forças externas pode ser escrita como a resultante de todas as forças conservativas mais a resultante de todas as forças não conservativas.

(6.23)
s 2 s 1 F ct d s + s 2 s 1 F nc t d s = 1 2 m v 22 1 2 m v 21

o lado direito é a energia cinética na posição final menos a energia cinética na posição inicial: E c ( s 2 ) E c ( s 1 ) . O primeiro integral no lado esquerdo é igual à soma dos integrais de todas as forças externas conservativas que atuam no sistema e é igual à diminuição da energia potencial total:

(6.24)
s 2 s 1 F ct d s = U ( s 1 ) U ( s 2 )

onde U é a soma de todas as energias potenciais que existam (gravítica, elástica, elétrica, etc.). Passando esses termos para o lado direito da equação obtém-se:

(6.25)
s 2 s 1 F nc t d s = E c ( s 2 ) + U ( s 2 ) E c ( s 1 ) U ( s 1 )

Define-se a energia mecânica igual à soma da energia cinética mais potencial, em qualquer posição da trajetória:

(6.26)
E m = E c + U

e a equação anterior é o teorema do trabalho e a energia mecânica

(6.27)
s 2 s 1 F nc t d s = E m ( s 2 ) E m ( s 1 )

O integral no lado esquerdo é o trabalho realizado por todas as forças externas não conservativas, ao longo da trajetória; ou seja,

O trabalho realizado pelas forças não conservativas, a longo da trajetória, é igual ao aumento da energia mecânica E m .

Uma consequência desse resultado é a lei de conservação da energia mecânica: quando todas as forças que realizam trabalho são conservativas, a energia mecânica do sistema permanece constante.

Observe-se que no integral do lado esquerdo da equação 6.27 o percurso de integração é a trajetória do corpo. Pode acontecer que a trajetória não seja conhecida previamente, mas de qualquer forma é uma curva única e bem definida. Se o integral de linha fosse calculado num percurso diferente à trajetória, o seu valor já não seria igual ao aumento da energia mecânica. O sinal negativo na definição da energia potencial prende-se ao fato de a energia mecânica ser definida como energia cinética mais potencial.

Observe-se ainda que, como a energia cinética nunca pode ser negativa, a energia mecânica E m (potencial mais cinética) em qualquer posição da trajetória é sempre maior ou igual que à energia potencial nessa posição.

6.3.1. Gráficos de energia

O gráfico da energia potencial total U ( s ) de todas as forças conservativas é muito útil na análise do movimento. A figura 6.4 mostra um exemplo; a curva a tracejado representa a energia potencial total do sistema, em função da posição na trajetória, s . A reta contínua é a energia mecânica; como é uma reta com ordenada constante, conclui-se que há conservação da energia mecânica e as únicas forças que realizam trabalho são todas conservativas.

Gráfico da energia potencial
Figura 6.4: Exemplo de energia potencial e energia mecânica.

As regiões do gráfico onde a reta da energia mecânica está por debaixo da curva de energia potencial são posições onde o sistema nunca pode estar, porque a energia mecânica é sempre maior ou igual que a energia potencial. Por exemplo, no caso da figura 6.4, o corpo não pode nunca estar nas posições s = 1 , s = 2 ou s = 3 . Para poder alcançar essas posições, seria necessário aparecer outra força não conservativa que faça aumentar a energia mecânica.

A equação 6.24 significa que U ( s ) é uma primitiva de F ct , com sinal trocado. Assim sendo, conclui-se que

(6.28)
F ct = d U d s

ou seja, nos intervalos do gráfico de U ( s ) onde a função é crescente, a resultante das forças conservativas aponta no sentido negativo de s e nos intervalos onde U ( s ) é decrescente, a força conservativa resultante aponta no sentido positivo de s .

No caso do exemplo da figura 6.4, nos intervalos 2 < s < 1 e 2 < s < 5 , onde a energia potencial é decrescente, a componente tangencial da força resultante é positiva, isto é, aponta no sentido em que a posição s aumenta. Nos intervalos 1 < s < 2 e 5 < s < 6 a componente da força é negativa (aponta no sentido em que s diminui). Nos pontos s = 1 , s = 2 e s = 5 a componente tangencial da força conserrvativa resultante é nula. Esses pontos onde o valor da força é nulo, chamam-se pontos de equilíbrio.

A energia mecânica não pode ser menor que 6 . 75 . A reta da energia mecânica corresponde a um valor de 2.25 unidades. Com essa energia mecânica, o corpo só pode estar a deslocar-se numa vizinhança do ponto s = 1 , ou numa vizinhança do ponto 5.

Nos pontos em que a reta da energia mecânica do corpo corta a curva da energia potencial, a energia cinética é nula e, como tal, a corpo fica em repouso; no entanto, o corpo não permanece sempre em repouso nesses pontos, porque a força nesses pontos não é nula.

Por exemplo, se num instante o corpo está na posição s = 5 , deslocando-se no sentido em que s aumenta, continua a deslocar-se no mesmo sentido, até parar perto de s = 6 ; nesse ponto a força aponta no sentido negativo de s , o que faz com que o corpo regresse para o ponto s = 5 , mas agora com velocidade no sentido negativo de s . O corpo aproximar-se-á do ponto s = 3 . 8 , onde o valor da sua velocidade será nula; nesse ponto, como a componente tangencial da força é no sentido positivo de s , o corpo regressa à posição s = 5 começando novamente o mesmo ciclo.

6.4. Movimento harmónico simples

Considere-se um carrinho de massa m sobre uma superfície horizontal, ligado a uma mola com constante elástica k , tal como mostra a figura 6.5. Se o atrito nos eixos das rodas, a massa das rodas e a resistência do ar são desprezadas, a única força que realiza trabalho é a força elástica da mola e há conservação da energia mecânica.

Oscilador harmónico
Figura 6.5: Carrinho a oscilar sobre uma superfície horizontal.

A trajetória é uma reta horizontal; escolhendo a origem O para medir a posição na trajetória, s , na posição em que a mola não está nem esticada nem comprimida, a energia mecânica do sistema é,

(6.29)
E m = 1 2 m v 2 + 1 2 k s 2

A figura 6.6 mostra os gráficos da energia potencial e da energia mecânica constante. O carrinho oscila entre as duas posições s = A e s = A , onde a velocidade é nula, e cada vez que passa pela posição s = 0 a energia cinética é máxima. O valor da amplitude do movimento oscilatório é A , que depende do valor da energia mecânica; quanto maior for a energia, maior a amplitude.

Energia de um oscilador harmónico
Figura 6.6: Energia potencial e energia mecânica deum oscilador harmónico.

A relação entre a amplitude e a energia mecânica obtém-se substituindo v = 0 na equação 6.29:

(6.30)
E m = 1 2 k A 2

A amplitude e a energia inicial não são valores caraterísticos do oscilador, mas são condições iniciais que dependem de como é colocado em movimento o sistema. A equação de movimento do sistema pode ser obtida aplicando a segunda lei de Newton, ou também derivando a expressão da energia mecânica (equação 6.29) em ordem ao tempo e resolvendo para a aceleração tangencial. O resultado é:

(6.31)
a t = k m s

Resolvendo a equação cinemática a t = v d v /d s , com condição inicial v ( s = A ) = 0 , obtém-se v em função de s

(6.32)
v =± k m ( A 2 s 2 )

igualando essa expressão (no caso em que v é positiva) à derivada ˙ s e separando variáveis, obtém-se

(6.33)
k m t t 0 d t = s 0 d s A 2 s 2

onde o tempo t 0 é o instante em que o carrinho passa pela posição de equilíbrio s = 0 . Calculando os integrais obtém-se a expressão para a posição s em função do tempo

(6.34)
s = A si n ( t + φ 0 )

onde a constante , chamada frequência angular, é

(6.35)
= k m

e φ 0 é uma constante que depende da escolha do instante em que t é igual a zero. A frequência, que é o número de oscilações por unidade de tempo, é igual a,

(6.35)
f = 2 π = 1 2 π k m

e o período de oscilação T é o inverso da frequência: T = 1/ f .

A expressão 6.33 é a solução da equação diferencial ¨ s = ( k / m ) s . Qualquer outro sistema em que a segunda derivada da variável seja igual à variável vezes uma constante negativa, é chamado também um oscilador harmónico simples e a solução será semelhante a 6.33.

6.5. Energia cinética de rotação

No movimento de translação de um corpo rígido, em cada instante todas as partes do corpo deslocam-se com a mesma velocidade v e, com tal, a energia cinética total é igual a um meio da massa total vezes o valor da velocidade ao quadrado. No caso mais geral do movimento de rotação sobreposto à translação, para calcular a energia cinética total será necessário ter em conta que as velocidades de diferentes partes do objeto são diferentes. Conforme foi demonstrado no capítulo 3, a velocidade de cada ponto no corpo, em função da velocidade angular ω e da velocidade v O de um ponto fixo no corpo rígido, é:

(6.37)
v = v o + ω × r

em que r é a posição do ponto relativa ao ponto de referência O.

A energia cinética total obtém-se somando a energia de todas as partes infinitesimais do corpo rígido, com massa d m ,

(6.38)
E c = 1 2 v 2 d m

O valor da velocidade ao quadrado é,

(6.39)
v 2 = v · v = v 2o +| ω × r | 2 + 2 v o · ( ω × r )

O módulo de ( ω × r ) é ω R , em que R é a distância desde o ponto até um eixo que passa pelo ponto O, paralelo a ω . Substituindo na expressão da energia cinética,

(6.40)
E c = v 2o 2 d m + ω 2 2 R 2 d m + v o · ω × r d m

O integral no primeiro termo é igual à massa total m . Como foi referido na secção sobre o centro de massa, o único referencial em que o valor médio do vetor posição é nulo (equação (5.15)) é o referencial em que a origem está exatamente no centro de massa. Assim sendo, se o ponto de referência O for o centro de massa, o terceiro integral será nulo e obtém-se

(6.41)
E c = 1 2 m v 2c m + 1 2 I cm ω 2

em que I cm é o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, paralelo a ω .

Exemplo 6.3

Uma esfera de massa m e raio R parte do repouso a uma altura h numa rampa inclinada um ângulo β com a horizontal. A esfera roda na rampa, sem deslizar. Determine o valor da aceleração angular da esfera e a velocidade do centro de massa quando a esfera chega ao fim da rampa.

Esfera num plano inclinado

Resolução. Como a esfera roda sem deslizar, o ângulo de rotação θ está relacionado com a posição do centro de massa C, de acordo com a expressão que foi obtida no capítulo 3 para rodas que rolam sem derrapar:

s = R θ

conclui-se então que o sistema tem um único grau de liberdade, que pode ser o ângulo θ que a esfera roda desde o instante inicial no topo do plano inclinado. O valor da velocidade angular é ω = ˙ θ e o valor da velocidade do centro de massa é v cm = R ω .

Escolhendo a posição s = 0 no topo da rampa, com s positivo no sentido em que a esfera desce e energia potencial gravítica nula em s = 0 , em qualquer posição s = R θ a esfera tem descido uma altura R θ si n β , em que β é o ângulo de inclinação do plano inclinado. A energia mecânica total é,

E m = 1 2 m R 2 ω 2 + 1 2 I cm ω 2 m g R θ si n β

Enquanto a esfera rode sem derrapar, a força de atrito com a superfície do plano é atrito estático, que não realiza trabalho. Ignorando a resistência do ar, a energia mecânica conserva-se e a sua derivada em ordem ao tempo é nula. Substituindo a expressão do momento de inércia da esfera em relação ao seu centro de massa, 2 m R 2 /5 , na equação anterior, derivando em ordem ao tempo e igualando a zero, obtém-se

m R ω 7 5 R α g si n β = 0

e a expressão para a aceleração angular α é,

α = 5 g si n β 7 R

Como a esfera parte do repouso, no ponto inicial a sua energia cinética é nula e na parte mais baixa da rampa a energia cinética será igual à energia potencial gravítica inicial, 0, menos a energia gravítica final, m g h

(6.42)
1 2 m R 2 ω 2 + 1 5 m R 2 ω 2 = m g h

e a velocidade do centro de massa C no fim da rampa é

(6.43)
v C = R ω = 10 g h 7

Perguntas

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  1. A posição de uma partícula em função do tempo é dada pela expressão r = 2 t 2 ˆ ı + 5 3 t 3 ˆ (SI). Qual dos vetores na lista é perpendicular à trajetória da partícula no instante t = 2  s?
    1. 4ˆ ı 5ˆ
    2. 2ˆ ı 5ˆ
    3. 5ˆ ı + 2ˆ
    4. 5ˆ ı 4ˆ
    5. 2ˆ ı + 3ˆ
  2. Sobre uma partícula atua uma força com direção, sentido e módulo constantes. O módulo da força é 1.6 N. Qual é o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca uma distância de 20 cm numa direção que faz 60° com a força?
    1. 0.28 J
    2. 160 mJ
    3. 0.68 J
    4. 28 J
    5. 16 J
  3. Num oscilador harmónico simples formado por um corpo de massa m pendurado duma mola vertical com constante elástica k , se a massa for quadruplicada, qual das afirmações será correta?
    1. A frequência duplica.
    2. O período duplica.
    3. A amplitude duplica.
    4. A energia mecânica duplica.
    5. A energia potencial duplica.
  4. A figura mostra o gráfico da energia potencial U ( s ) , de uma partícula em função da posição na trajetória, s . Se a partícula está a oscilar à volta da posição s = 1 , com energia mecânica igual a 2 J, qual é o valor máximo da sua energia cinética?

    Energia potencial cúbica
    1. −3 J
    2. 3 J
    3. 0
    4. 2 J
    5. 5 J
  5. A figura mostra o gráfico da força tangencial resultante F t , conservativa, sobre uma partícula. Quantos pontos de equilíbrio existem na região apresentada no gráfico?

    Forca cúbica
    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    5. 4

Problemas

  1. Calcule o integral de linha da força do exemplo 6.2: F = (3 x + y )ˆ ı , desde a origem O até o ponto P no plano x O y , com coordenadas x = y = 1 , em que o percurso de integração é o arco mais curto da circunferência ( x 1) 2 + y 2 = 1 (centro em x = 1 , y = 0 e raio 1), que passa pela origem e pelo ponto P.
  2. A lei da gravitação universal estabelece que qualquer corpo celeste de massa M produz uma força atrativa sobre qualquer outro corpo de massa m , dada pela expressão:
    F g = G M m r 2 ˆ r
    onde G é a constante de gravitação universal, r é a distância entre os dois corpos e ˆ r é o versor radial, que aponta desde o corpo de massa M até o corpo de massa m . (a) Determine a expressão para a energia potencial gravítica U g devida ao corpo de massa M . (b) Tendo em conta o resultado da alínea anterior, como se justifica a equação 6.17, U g = m g z , para a energia potencial gravítica de um objeto na Terra?
  3. Num salto com vara, um atleta de 70 kg usa uma vara uniforme de 4.5 kg com 4.9 m de comprimento. O salto do atleta tem três fases: primeiro o atleta corre, com o seu centro de gravidade a 1 m de altura e com o centro de gravidade da vara a 1.5 m de altura, com velocidade de 9 m/s no instante em que possa a vara no chão. Na segunda fase, a energia da corrida é transferida para a vara, que se deforma e volta a esticar ficando vertical e elevando o atleta até uma altura próxima da altura da fasquia (desprezando forças dissipativas, até aqui a energia mecânica é constante). Finalmente o atleta estende os braços, aumentando a sua energia mecânica até o seu centro de gravidade subir a 5.8 m de altura, conseguindo ultrapassar a fasquia a 5.6 m. (a) Determine o trabalho realizado pelo saltador quando estende os braços. (b) Determine a força média que o saltador exerce sobre a vara na terceira fase. Salto com vara
  4. Resolva o problema 7 do capítulo 4 aplicando o teorema do trabalho e a energia mecânica. A força exercida pelo bloco sobre o cone, quando o cone penetra no bloco, é uma força conservativa ou não?
  5. Num sistema como o da figura 6.5, o carrinho tem massa de 450 g. O carrinho é deslocado 5 cm da posição de equilíbrio e libertado a partir do repouso, começando a oscilar com um período de 1.2 s. Determine:
    (a) A amplitude das oscilações.
    (b) A constante elástica da mola.
    (c) A velocidade máxima do carrinho.
  6. Um pêndulo simples é composto por uma esfera de massa m , pendurada de uma corda muito fina, de comprimento l e massa desprezável. Quando a esfera parte do repouso, há um único grau de liberdade, que pode ser o ângulo θ que o fio faz com a vertical. (a) Determine a expressão para a energia mecânica, em função do ângulo θ e da sua derivada ˙ θ , arbitrando que a energia potencial é nula em θ = 90 . (b) Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica permanece constante e a sua derivada em ordem ao tempo é nula; derive a expressão da energia mecânica em ordem ao tempo e iguale a zero para encontrar a expressão para ¨ θ em função do ângulo.

    Pêndulo simples
  7. Uma esfera de raio r roda, sem deslizar, dentro de uma calha semicircular de raio R , que está num plano vertical (ver figura).
    (a) Demonstre que, em função da derivada do ângulo θ , a energia cinética da esfera é
    E c = 7 10 m ( R r ) 2 ˙ θ 2

    (b) Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica é constante e a sua derivada em ordem ao tempo é nula; derive a expressão da energia mecânica em ordem ao tempo e iguale a zero para encontrar a expressão da aceleração angular ¨ θ em função do ângulo.
    (c) Entre que valores deve estar a energia mecânica para que a esfera permaneça oscilando dentro da calha?
    (d) A partir do resultado da alínea b, determine a expressão para ¨ θ , no limite quando o raio da esfera é muito menor que o raio da calha ( R r R ) e explique porque o resultado é diferente do resultado obtido para o pêndulo simples no problema 6.

    Esfera numa calha circular
  8. Um cilindro com massa de 80 g desliza a partir do repouso, no ponto A, até ao ponto B, devido a uma força externa constante de 60 N; o comprimento normal da mola é 30 cm e a sua constante elástica é 6 N/cm. Admitindo que não existe atrito com a barra fixa, calcule a velocidade com que o cilindro chega ao ponto B.

    Cilindro numa calha vertical
  9. Resolva o problema 13 do capítulo 5 aplicando o princípio de conservação da energia mecânica.
  10. Um cilindro desce uma rampa de altura h , a partir do repouso, rodando à volta do seu eixo sem deslizar. Calcule a velocidade do centro de massa do cilindro quando chega ao fim da rampa. Compare com o resultado do exemplo 6.3 para uma esfera; qual dos dois corpos desce mais rápido, a esfera ou o cilindro?
  11. Uma esfera pendurada com uma corda de comprimento l parte do repouso na posição A, como mostra a figura. Quando a corda chega à posição vertical, entra em contacto com um prego fixo no ponto B, que faz com que a esfera descreva um arco de raio menor que l . Calcule o valor mínimo que deve ter a para que a trajetória da esfera seja uma circunferência com centro em B (se a não for suficientemente grande, a corda deixa de estar esticada quando a esfera sobe e a esfera não chega até a parte mais alta do círculo).

    Pêndulo com dois comprimentos
  12. Considere um projétil que é lançado desde o chão, num quarto onde existe vácuo, com uma velocidade inicial v 0 que faz um ângulo θ com a horizontal.
    (a) Calcule o tempo que o projétil demora até chegar ao ponto máximo da sua trajetória, onde a velocidade vertical é nula, e a posição nesse ponto.
    (b) Com base no resultado da alínea anterior, demonstre que o alcance horizontal do projétil (distância horizontal desde onde é lançado até onde cai) é igual a:
    (6.43)
    R = v 20 si n ( 2 θ ) g

Respostas

Perguntas: 1. C. 2. B. 3. B. 4. E. 5. D.

Problemas

  1. π 4 + 3 2 2 . 29
  2. (a) U g = G M m r
    (b) Para um valor qualquer r 0 , a série de Taylor de U g é: G M m r 0 + G M m r 20 ( r r 0 ) . . .
    O primeiro termo é uma constante, que pode ser ignorada; no segundo termo, se r 0 for o raio da Terra, r r o será a altura z desde a superfície da Terra e G M / r 20 será igual à constante g . Ignorando o resto da série, que para valores de z muito menores que r 0 não altera significativamente a soma dos dois primeiros termos, obtém-se U g m g z .
  3. (a) 317.4 J (b) 686 N.
  4. 24 696 N/m2. A força do bloco não é conservativa, porque só atua quando o cone está a penetrar; se o cone voltasse a subir, após ter penetrado no bloco, o bloco já não produzia força sobre o cone.
  5. (a) 5 cm. (b) 12.34 N/m. (c) 26.2 cm/s.
  6. (a) E m = 1 2 m l 2 ˙ θ 2 m g l co s θ    (b) ¨ θ = g l si n θ
  7. (a) Observe que a velocidade do centro de massa da esfera é ( R r )˙ θ e a condição de rodamento sem deslizamento implica que a velocidade angular da esfera é igual a essa velocidade dividida por r . (b) ¨ θ = 5 g 7( R r )s i n θ
    (c) Maior que m g ( R r ) e menor que zero; se a energia mecânica é exatamente igual a m g ( R r ) , a esfera não oscila, mas permanece em repouso no ponto mais baixo da calha. (d) O valor absoluto de ¨ θ é menor num fator 5/7, devido a que parte da energia potencial gravítica é transformada em energia cinética de rotação da esfera. A energia cinética de rotação é sempre 2/5 da energia cinética de translação, independentemente do valor de r ; assim sendo, no limite r 0 também 2/7 da energia gravítica são convertidos em energia de rotação e apenas os restantes 5/7 fazem aumentar θ .
  8. 11.74 m/s.
  9. 5.274 s−1
  10. 4 g h 3 . A esfera desce mais rápido que o cilindro, por ter menor momento de inércia.
  11. 3 l 5
  12. (a) t = v 0 g si n θ , r = v 20 2 g si n ( 2 θ )ˆ ı + si n 2 θ ˆ
Pergunta 1, resposta A: Errada

Este vetor não é perpendicular à trajetória, porque o produto escalar dele com a velocidade, 8ˆ ı + 20 ˆ , não é igual a zero.

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Pergunta 1, resposta B: Errada

Este vetor não é perpendicular à trajetória, porque o produto escalar dele com a velocidade, 8ˆ ı + 20 ˆ , não é igual a zero.

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Pergunta 1, resposta C: Certa

A forma mais fácil de encontrar um vetor perpendicular à velocidade, 8ˆ ı + 20 ˆ , é trocar as componentes e mudar o sinal duma delas: 20 ˆ ı + 8ˆ , que é 4 vezes o vetor da alínea C.

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Pergunta 1, resposta D: Errada

Este vetor não é perpendicular à trajetória, porque o produto escalar dele com a velocidade, 8ˆ ı + 20 ˆ , não é igual a zero.

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Pergunta 1, resposta E: Errada

Este vetor não é perpendicular à trajetória, porque o produto escalar dele com a velocidade, 8ˆ ı + 20 ˆ , não é igual a zero.

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Pergunta 2, resposta A: Errada

O trabalho de uma força constante é igual à componente tangencial de força vezes o deslocamento e a força tangencial é igual a F co s ( 6 0 ) e não F si n ( 6 0 ) .

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Pergunta 2, resposta B: Certa

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Pergunta 2, resposta C: Errada

O trabalho de uma força constante é igual à componente tangencial da força vezes o deslocamento.

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Pergunta 2, resposta D: Errada

A força tangencial é igual a F co s ( 6 0 ) e não F si n ( 6 0 ) e a força, em newton, não pode ser multiplicada pelo deslocamento em centímetros, porque um newton é igual a kg·m/s2. Use o deslocamento em metros.

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Pergunta 2, resposta E: Errada

A força, em newton, não pode ser multiplicada pelo deslocamento em centímetros, porque um newton é igual a kg·m/s2. Use o deslocamento em metros .

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Pergunta 3, resposta A: Errada

A frequência é diretamente proporcional à frequência angular, que é inversamente proporcional à raíz quadrada da massa. Assim sendo, se a massa é quadruplicada, a frequência diminui a metade.

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Pergunta 3, resposta B: Certa

A frequência é diretamente proporcional à frequência angular, que é inversamente proporcional à raíz quadrada da massa. Assim sendo, se a massa é quadruplicada, a frequência diminui a metade e o período, inverso da frequência, duplica.

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Pergunta 3, resposta C: Errada

A amplitude depende apenas da energia mecânica, que pode alterar-se alterando as condições iniciais (posição e velocidade iniciais) independentemente do valor da massa.

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Pergunta 3, resposta D: Errada

A energia mecânica pode alterar-se alterando as condições iniciais (posição e velocidade iniciais) independentemente do valor da massa.

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Pergunta 3, resposta E: Errada

A energia potencial total, elástica mais gravítica, depende apenas da constante elástica e não da massa.

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Pergunta 4, resposta A: Errada

A energia cinética não pode ser negativa.

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Pergunta 4, resposta B: Errada

Com essa energia cinética, a energia potencial seria 2 − 3 = −1, que não é o valor mínimo que pode ter a energia potencial.

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Pergunta 4, resposta C: Errada

Quando a energia cinética é nula, a velocidade é nula; como a partícula oscila, terá velocidade diferente de zero em alguns pontos e, portanto, energia cinética maior que zero.

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Pergunta 4, resposta D: Errada

Com essa energia cinética, a energia potencial seria 2 2 = 0 , que não é o valor mínimo que pode ter a energia potencial.

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Pergunta 4, resposta E: Certa

A energia cinética máxima é igual à energia mecânica, 2 J, menos a energia potencial mínima, −3 J.

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Pergunta 5, resposta A: Errada

Os pontos de equilíbrio são as raízes da função F t ( s ) .

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Pergunta 5, resposta B: Errada

Os pontos de equilíbrio são as raízes da função F t ( s ) .

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Pergunta 5, resposta C: Errada

Os pontos de equilíbrio são as raízes da função F t ( s ) .

(clique para continuar)

Pergunta 5, resposta D: Certa

Os pontos de equilíbrio são as raízes da função F t ( s ) .

(clique para continuar)

Pergunta 5, resposta E: Errada

Os pontos de equilíbrio são as raízes da função F t ( s ) .

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