B. Cálculo do campo elétrico

Cálculo do campo elétrico
  1. Campo de uma esfera condutora
  2. Campo de duas esferas condutoras concêntricas

B.1. Campo de uma esfera condutora

Numa esfera condutora isolada, a carga distribui-se uniformemente na superfície. Se o raio da esfera é e a carga total , então a densidade superficial de carga é constante e igual à carga total dividida pela área da superfície da esfera

(B.1)

Para calcular o campo elétrico num ponto P qualquer, que está a uma distância do centro da esfera, é conveniente definir o eixo dos com origem O no centro da esfera e passando pelo ponto P, como se mostra na figura B.1

Esfera condutora com carga
Figura B.1: Esfera condutora com carga.

Divide-se a superfície da esfera em muitos pequenos pedaços, calcula-se o campo produzido por cada pedaço no ponto P e o campo total é a sobreposição de todos esses campos. A figura B.1 mostra um pequeno pedaço infinitesimal de superfície na vizinhança de um ponto S, com coordenadas esféricas ( , , ). O ângulo mede-se desde o eixo dos , num plano que passa por esse eixo e pelo ponto S; o aumento infinitesimal desse ângulo, descreve um arco de círculo de comprimento . O ângulo mede-se num plano perpendicular ao eixo dos e como a distância desde S até o eixo dos é , o aumento infinitesimal de conduz a um arco de círculo de comprimento . Como tal, a área da região infinitesimal na vizinhança do ponto S é

(B.2)

A carga infinitesimal nessa região obtém-se multiplicando esta área pela carga superficial (equação B.1)

(B.3)

Essa carga infinitesimal pode ser considerada uma carga pontual e, assim sendo, o módulo do campo que ela produz no ponto S é dado pela expressão do campo para uma carga pontual (equação 1.5)

(B.4)

onde é a distância desde a região infinitesimal na superfície da esfera, até o ponto P. O vector faz uma ângulo com o eixo dos . Por cada pedaço infinitesimal de superfície esférica na vizinhança do ponto ( , , ), o pedaço de superfície na vizinhança de ( , , ), indicado a tracejado na figura B.1, produz campo com o mesmo módulo na equação B.4 e com o mesmo ângulo em relação ao eixo , mas oposto de forma que as componentes dos dois campos perpendiculares ao eixo anulam-se e só fica a componente paralela ao eixo . Conclui-se então que o campo total deverá ser na direção do eixo e para o calcular basta integrar a componente , do campo produzido pela região infinitesimal, em ordem a e a

(B.5)

Como e dependem de mas não dependem de , o integral em ordem a é simplesmente igual a

(B.6)

Este integral é mais simples de calcular expressando os dois ângulos e em função da distância , usando o teorema do cosseno aplicado ao triângulo na figura B.1

(B.7)
(B.8)

A expressão para obtém-se a partir da equação B.7

(B.9)

Lembre-se que e são constantes para todos os segmentos da superfície esférica. A expressão para obtém-se derivando a equação o B.8

(B.10)

Substituindo as expressões B.9 e B.10 na equação B.6 obtém-se

(B.11)

Onde e são os valores mínimo e máximo da distância , em e . O resultado do integral é

(B.12)

É necessário considerar dois casos diferentes, quando o ponto P está dentro ou fora da esfera. Quando o ponto P está dentro da esfera, , e, como tal, e

Ou seja, o campo elétrico em qualquer ponto dentro da esfera é nulo. Fora da esfera, , e

Que é o mesmo campo produzido por uma carga pontual colocada no centro da esfera. Resumindo, o campo da esfera condutora é na direção radial, atrativo se ou repulsivo se e com módulo igual a

(B.13)

B.2. Campo de duas esferas condutoras concêntricas

A figura B.2 mostra duas esferas condutoras concêntricas isoladas, de raios e . A esfera de raio tem carga total , a esfera de raio tem carga total e . O campo de cada uma das esferas é dado pela expressão obtida na secção anterior e o campo total é a soma desses dois campos.

Esferas condutoras com carga
Figura B.2: Esferas condutoras concêntricas com carga.

No interior da esfera menor, o campo é nulo por todos os pontos nessa região encontram-se no interior das duas esferas e as esferas condutoras não produzem campo no seu interior. Nos pontos que estão entre as duas esferas, o campo é igual ao campo da esfera menor, porque esses pontos estão no interior da esfera maior, onde esta não produz nenhum campo. Nos pontos fora das duas esferas, o campo total é igual à soma dos campos das duas esferas o a subtração deles, segundo e tenham o mesmo sinal ou sinais opostos.

A expressão para o módulo do campo total a uma distãncia do centro das esferas é então

(B.14)

O campo é sempre na direção radial. Entre as duas esferas, o campo aponta no sentido radial se é positiva, ou no sentido oposto se é negativa. Fora das duas esferas, o campo é repulsivo se é positiva, ou atrativo se é negativa.

As expressões obtidas neste apêndice para o campo da esfera condutora e das duas esferas concêntricas podem ser obtidas mais facilmente usando a lei de Gauss, como se explica no capítulo 6. No entanto, o método usado neste apêndice é mais geral e permite obter campos de distribuições de carga mais complicadas. O problema é que os integrais obtidos podem não ter solução analítica, tendo de ser calculados de forma numérica.