Exercícios Resolvidos de Eletricidade, Magnetismo e Circuitos

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Eletricidade, Magnetismo e Circuitos
Exercícios Resolvidos
8. Campo magnético

8. Campo magnético

Problema 2

Considere dois fios de cobre, retilíneos e paralelos, de 60 cm de comprimento, distanciados de 9 cm e com raios de 2 mm e 3 mm. Calcule o valor da força magnética entre os fios quando cada um deles for ligado a uma f.e.m. de 1.5 V. (Use o valor da resistividade do cobre à temperatura ambiente: 17 nΩ·m.)

As resistências dos fios, R 1 e R 2 , calculam-se multiplicando a resistividade do cobre pelo comprimento do fio, dividido pela área da secção transversal do fio (unidades SI):

R 1 = ρ L 1 π r 21 = 17 × 10 9 × 0 . 6 π × 0 . 00 2 2 = 8 . 11 7 × 10 4
R 2 = ρ L 2 π r 22 = 17 × 10 9 × 0 . 6 π × 0 . 00 3 2 = 3 . 60 8 × 10 4

A corrente em cada fio é igual à diferença de potencial sobre a resistência do fio:

I 1 = V R 1 == 1 . 5 8 . 11 7 × 10 4 = 18 4 8 A I 2 = V R 2 = 1 . 5 3 . 60 8 × 10 4 = 41 5 8 A

O módulo da força magnética entre os dois fios é:

F = k m I 1 I 2 L d = 2 × 10 7 × 0 . 6 × 18 4 8 × 41 5 8 0 . 09 = 10 . 25 N

Comentários: A diferença de potencial de 1.5 V em cada fio conduz a correntes de milhares de ampere, que queimavam um fio de apenas uns poucos milímetros de raio. Se fosse usada uma pilha de 1.5 V, a resistência interna provavelmente seria maior do que a resistência de cada fio; como tal, a diferença de potencial no fio seria muito menor do que 1.5 V e a própria pilha aqueceria com o fio. Para realizar esse tipo de experiências para medir a força magnética entre dois fios de cobre, costuma ligar-se uma resistência em série para reduzir a intensidade da corrente, e a força magnética a medir será muito menor.


Problema 3

A figura mostra dois fios compridos e paralelos, no plano perpendicular a eles. A intensidade da corrente em cada fio é a mesma, I , mas com sentidos opostos, como indicam o ponto e o x nos dois fios. (a) Represente graficamente os vetores de campo magnético devido a cada fio e o campo magnético resultante no ponto P. (b) Encontre a expressão do módulo do campo magnético em qualquer ponto P sobre o eixo x , em função da distância x de P à origem.

Dois fios paralelos com correntes opostas

(a) No plano x y , as linhas do campo B 1 devido a fio de cima são circunferências com centro no fio, no sentido contrário aos ponteiros do relógio. No ponto P, o vetor B 1 é perpendicular ao segmento entre P e o fio, no sentido indicado na figura seguinte. As linhas do campo devido ao fio de baixo rodam no sentido dos ponteiros do relógio e no ponto P o campo B 2 é perpendicular ao segmento entre P e esse fio, como mostra a figura:

Campos magnéticos de dois fios retos paralelos

Como os dois fios estão à mesma distância do ponto P, e transportam correntes com a mesma intensidade, os módulos de B 1 e B 2 são iguais. E como o ângulo que cada um desses vetores faz com o eixo dos x é o mesmo, o campo resultante em P, B = B 1 + B 2 , será no sentido positivo do eixo dos x , tal como mostra a figura acima.

(b) Os módulos dos dois campos no ponto P são:

B 1 = B 2 = 2 k m I d

O campo resultante, B = B ˆ ı , no sentido positivo do eixo dos x , tem módulo B igual à soma das componentes x de B 1 e B 2

B = 2 B 1 co s θ = 4 k m I d co s θ = 4 k m I a d 2 = 4 k m I a x 2 + a 2

Problema 4

Um feixe de protões desloca-se com velocidade constante v , segundo o eixo dos x , atravessando duas regiões, I e II, caraterizadas do seguinte modo: em I, existe um campo magnético, B 1 e em II, coexistem um campo magnético, B 2 , e um campo elétrico, E = E ˆ . Todos os campos são uniformes nas regiões em que foram definidos e anulam-se fora delas. O peso dos protões não é significativo. Quais as condições a que devem obedecer os campos B 1 e B 2 para que o feixe não sofra qualquer perturbação no seu movimento, enquanto atravessa duas regiões? Se em vez de protões, fosse um feixe de eletrões, as condições estabelecidas manter-se-iam?

Feixe de partículas atravessando regiões com campos

A velocidade de cada protão é igual a,

v = v ˆ ı

Na região I, a força magnética que atua sobre cada protão é,

F 1 = q v × B 1 = q v ˆ ı × B x ˆ ı + B y ˆ + B z ˆ k = q v B y ˆ k B z ˆ

Para que o feixe não seja desviado, a duas componentes ˆ e ˆ k da força devem ser nulas, ou seja, B y = B z = 0 . O campo na região I tem então a forma geral B 1 = B 1 ˆ ı , onde B 1 pode ter qualquer valor, positivo ou negativo. Como tal, basta com que o campo magnético na região I seja na mesma direção da velocidade dos protões para que não sejam desviados.

Na região II é necessário acrescentar a força elétrica:

F 2 = q E + q v × B 2 = q E ˆ + v B y ˆ k v B z ˆ

Para que a componente ˆ k seja nula, é necessário B y = 0 , e para que a componente ˆ seja nula, é necessário E = v B z . Como tal, a forma geral do campo magnético na região II é a seguinte

B 2 = B x ˆ ı + E v ˆ k

onde B x pode ter qualquer valor, positivo ou negativo. Ou seja, o campo magnético na região II deverá ter uma componente perpendicular à velocidade e ao campo elétrico, com módulo igual ao módulo do campo elétrico dividido pela velocidade, e pode ter também uma componente paralela à velocidade.

Se o feixe fosse composto por eletrões, ou qualquer outro tipo de partículas com carga, as condições obtidas seriam as mesmas, já que os resultados não dependem do valor de q nem da massa das partículas.

Comentários: Observe-se que na região II o campo magnético necessário para que as partículas não sejam desviadas depende da velocidade v das partículas. Como tal, na região II há um filtro de velocidades, em que as partículas com velocidade v = B z / E passam sem serem desviadas, mas as partículas com velocidades diferentes desse valor serão desviadas.


Problema 7

A figura mostra as linhas de campo magnético de um fio com corrente, dentro de um campo magnético uniforme B ex t ; o fio é perpendicular à folha e os eixos y e z foram escolhidos sobre o plano da folha. (a) Escreva o versor na direção do campo externo, usando o sistema de eixos dado.(b) Escreva o vetor unitário na direção da corrente no fio. (c) Calcule e represente o vetor unitário na direção da força sobre o fio. (d) Considerando que I = 0 . 5 A e se o valor da força sobre o fio, por unidade de comprimento, é 2×10-5 N/m, calcule a distância até o ponto P.

Fio com corrente dentro de campo magnético uniforme

(a) O campo externo aponta da direita para a esquerda, que no sistema de eixos y z é:

ˆ B ex t = co s 3 0 ˆ + si n 3 0 ˆ k = 1 2 3ˆ + ˆ k

(b) Na vizinhança do fio, as linhas de campo rodam no sentido contrário dos ponteiros do relógio, indicando que a corrente do fio é para cá da folha, ou seja, na direção de ˆ × ˆ k que é o versor ˆ ı .

(c) A direção e sentido da força é a mesma de I × B ex t , ou seja,

ˆ ı × ˆ B ex t = 1 2ˆ ı × 3ˆ + ˆ k = 1 2 ˆ 3ˆ k

Não é necessário dividir pelo módulo do vetor, porque este vetor já tem módulo unitário. Observe-se que a direção e sentido da força é de cima para baixo na figura.

(d) A força magnética sobre o fio é produzida pelo campo externo B ex t . Usando a expressão para a força magnética sobre o fio por unidade de comprimento, F / L , obtém-se o módulo do campo externo (unidades SI):

F L = I B ex t = 2 × 10 5 = 0 . 5 B ex t = B ex t = 4 × 10 5

No ponto P, o campo produzido pelo fio tem o mesmo módulo do campo externo. Igualando à expressão para o módulo do campo produzido pelo fio no ponto P ao módulo do campo externo, encontra-se a distância d (unidades SI):

2 k m I d = B ex t = d = 2 k m I B ex t = 10 7 4 × 10 5 = 2 . 5 × 10 3

O ponto P encontra-se a 2.5 mm do fio.

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