Exercícios Resolvidos de Eletricidade, Magnetismo e Circuitos

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Eletricidade, Magnetismo e Circuitos
Exercícios Resolvidos
11. Circuitos de corrente alternada

11. Circuitos de corrente alternada

Problema 2

A resistência de uma bobina é 150 Ω e a sua indutância é 1.4 H. A bobina é ligada à rede elétrica com tensão máxima 325 V e frequência de 50 Hz. Encontre a expressão para a corrente na bobina em função do tempo t .

Usaremos unidades SI. A frequência angular da tensão e da corrente é

ω = 2 π f = 10 0 π 31 4 . 16

A bobina é considerada como uma resitência em série com um indutor. Como tal, a sua impedância é a soma das impedâncias da resistência e do indutor:

Z = 15 0 + i1 . 4 × 31 4 . 16 = 15 0 2 + 43 9 . 82 4 2 ta n 1 43 9 . 82 4 15 0 = 46 4 . 7 1 . 24 2

Admitindo que a tensão da rede elétrica em função do tempo seja 32 5 c o s ( ω t ) , a voltagem máxima na bobina será 325~V, com fase ϕ V = 0. A corrente máxima e o desfasamento da corrente na

I má x = V má x | Z | = 32 5 46 4 . 7 = 0 . 66 9 4 ϕ = ϕ V ϕ Z = 1 . 24 2

E a expressão para a corrente é

I ( t ) = 0 . 66 9 4 c o s ( 3 1 4 . 16 t 1 . 24 2 )

Problema 6

Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tensão em todos os elementos do circuito.

Associação de impedâncias

(a) Usando unidades de kΩ para as impedâncias, H para as indutâncias, µF para as capacidades, V para as voltagens e kHz para as frequências, a frequência angular da fonte e as impedâncias dos 3 elementos no circuito são as seguintes:

(%i1) w: 2*%pi*60/1000;
(%o1)     3 π 25
(%i2) [z1,z2,z3]: float([3, 1/%i/w, %i*2*w])$

A voltagem no sistema da resistência em série com o condensador é igual à voltagem da fonte; como tal, o fasor da corrente através desses dois elementos é

(%i3) I1: 170/(z1+z2)$
(%i4) [cabs(I1), carg(I1)];
(%o4)    [42.45, 0.724]

Ou seja, se t for dado em ms, a expressão da corrente é:

I 1 = I 2 = 42 . 45 c o s 3 π 25 t + 0 . 72 4

As voltagens na resistência e no condensador são então

(%i5) V1: z1*I1$
(%i6) [cabs(V1), carg(V1)];
(%o6)    [127.4, 0.724]
(%i7) V2: z2*I1$
(%i8) float([cabs(V2), carg(V2)]);
(%o8)    [112.6, -0.8468]

V 1 = 12 7 . 4c o s 3 π 25 t + 0 . 72 4 V 2 = 11 2 . 6c o s 3 π 25 t 0 . 84 6 8

No indutor, a voltagem é a mesma voltagem da fonte:

V 3 = 17 0 c o s 3 π 25 t

e a corrente é

(%i9) I3: 170/z3$
(%i10) [cabs(I3), carg(I3)];
(%o10)     22 5 . 5 , π 2

I 3 = 22 5 . 5c o s 3 π 25 t π 2

(b) Segue-se exatamente o mesmo procedimento da alínea (a), mas com os novos valores de frequência e voltagem máxima da fonte e tendo em conta que agora z 1 é a impedância do condensador, z 2 a impedância do indutor e z 3 a impedância da resistência.

(%i11) w: 2*%pi*50/1000;
(%o11)     π 10
(%i12) [z3,z1,z2]: float([3, 1/%i/w, %i*2*w])$
(%i13) I1: 325/(z1+z2)$
(%i14) [cabs(I1), carg(I1)];
(%o14)     12 7 . 2 , π 2
(%i15) V1: z1*I1$
(%i16) [cabs(V1), carg(V1)];
(%o16)    [404.9, 0]
(%i17) V2: z2*I1$
(%i18) [cabs(V2), carg(V2)];
(%o18)     [7 9 . 93 , π ]
(%i19) I3: 325/z3$
(%i20) [cabs(I3), carg(I3)];
(%o20)    [108.3, 0]

Como tal, a corrente e a voltagem no condensador são:

I 1 = 12 7 . 2c o s π 10 t + π 2 V 1 = 40 4 . 9c o s π 10 t

No indutor:

I 2 = 12 7 . 2c o s π 10 t + π 2 V 2 = 79 . 93 c o s π 10 t + π

E na resistência:

I 3 = 10 8 . 3c o s π 10 t V 3 = 32 5 c o s π 10 t

Problema 7

A figura mostra um filtro rejeita-banda que atenua as frequências angulares próximas de 1 kHz. (a) Determine a função de resposta em frequência, H (i ω ) , do circuito. (b) Mostre que para ω = 1 kHz, H (i ω ) é igual a zero. (c) Calcule o módulo de H (i ω ) e trace o seu gráfico para ω entre 0 e 2 kHz.

Filtro rejeita banda

(a) Usando unidades de kΩ para as impedâncias, H para a indutância, µF para a capacidade e kHz para a frequência ω , as impedâncias do condensador, o indutor e a resistência são:

(%i21) [z1, z2, z3]: [1/(%i*w*10), %i*w/10, 1]$

A impedância equivalente é igual a

(%i22) z: z1*z2/(z1+z2) + z3$

E os fasores da corrente e da voltagem na resistência são então:

(%i23) I: Ve/z$
(%i24) V: I$

A função de resposta em frequência é,

(%i25) H: ratsimp (V/Ve);
(%o25)     10 i w 2 10 i 10 i w 2 + w 10 i

Pode eliminar-se o fator comum i no numerador e denominador, ficando:

H (i ω ) = 10 ω 2 10 10 ω 2 10 i ω

(b) O valor da função de resposta em frequência, para ω = 1 kHz, é então,

(%i26) subst (w=1, H);
(%o26)     0

(c) O módulo da função de resposta, | H (i ω ) | , obtém-se usando a função cabs do Maxima:

(%i27) modH: ratsimp (cabs(H));
(%o27)     10 w 2 10 10 0 w 4 19 9 w 2 + 10 0

| H (i ω ) |= 10 ω 2 10 10 0 ω 4 19 9 ω 2 + 10 0

O gráfico dessa função, entre 0 e 2 kHz, obtém-se com o seguinte comando:

(%i28) plot2d (modH, [w,0,2], [y,0,1.2], [xlabel,"w (kHz)"], [ylabel,"|H(iw)|"]);

Resposta em frequência do filtro rejeita-banda

Comentários: Observe-se que em quase tudo o intervalo de frequências | H (i ω ) | é aproximadamente igual a 1, o que implica que o sinal de entrada não é atenuado. No entanto, em ω = 1 kHz, | H | = 0, ou seja, o sinal de saída é nulo. É por essa razão que o filtro chama-se rejeita-banda; as frequências angulares próximas de uma frequência típica do filtro, neste caso 1 kHz, são eliminadas no sinal de saída.


Problema 10

A figura mostra o ecrã de um osciloscópio onde aparecem a tensão e a corrente num elemento de um circuito. As distâncias L e d foram medidas diretamente no ecrã, obtendo-se os valores L = 6 cm, d = 1 cm. O osciloscópio também permite determinar que a tensão máxima é V má x = 36 V e a corrente máxima é I má x = 12 mA. Com esses dados, calcule a parte real e a parte imaginária da impedância do elemento do circuito.

Sinais num osciloscópio

O ângulo da impedância é igual à constante de fase da tensão menos a constante de fase da corrente:

ϕ Z = ϕ V ϕ I

O gráfico mostra que a tensão está adiantada em relação à corrente ( V passa pelo seu valor máximo ou mínimo um pouco antes que I ); a diferença das fases, ϕ V ϕ I , é então positiva e corresponde à distância d no gráfico. Como a distância L corresponde a um ângulo de 2 π , então a o ângulo da impedância é:

ϕ Z = ϕ V ϕ I = d L 2 π = π 3

O módulo da impedância é, em kΩ, é igual à tensão máxima em volts dividida pela corrente máxima em miliampere.

| Z |= V má x I má x = 36 12 = 3

A impedância, em kΩ, é o número complexo:

Z = 3 π 3

E as partes real e imaginária da impedância são:

Z = 3c o s π 3 + i3 s i n π 3 = (1 . 5 + i2 . 59 8 ) k
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