Problemas Resolvidos

5. Circuitos de corrente contínua

5. Circuitos de corrente contínua

Problema 1

No circuito da figura, determine quais das fontes de força eletromotriz fornecem ou absorvem energia e calcule a potência fornecida, ou absorvida, por cada uma.

Circuito com duas fontes e duas malhas

Usando unidades de k para as resistências e V para as voltagens, as correntes obtidas estarão em mA. Definem-se duas correntes de malha e , que podem ser no sentido dos ponteiros do relógio:

Correntes de malha

Como tal, as equações das malhas são o seguinte sistema:

A matriz com as duas correntes pode ser obtida multiplicando a inversa da matriz das resistências pela matriz das fontes. No Maxima obtém-se:

(%i1) I: invert( matrix ([13.3, -7],[-7, 12.6])).[11, -5];
(%o1)     

A corrente que passa pela f.e.m. de V é = 0.8737 mA e, como o resultado obtido é positivo, então a corrente passa do elétrodo negativo para o positivo; como tal, essa fonte fornece 6×0.8737 = 5.24 mW. Na fonte de 5 V, a corrente é = 0.8737−0.08855 = 0.78515 mA, do elétrodo negativo para o positivo, e a fonte fornece 5×0.78515 = 3.93 mW.

Problema 4

Determine a potência dissipada em cada resistência no circuito e a potência fornecida pela f.e.m. Verifique que a potência fornecida pela f.e.m. é igual à soma das potências dissipadas em todas as resistências.

Circuito
             com 3 malhas

Há três correntes de malha, , e , que podem ser definidas no sentido dos ponteiros do relógio (unidades SI):

Circuito com 3 malhas

Basta olhar para o circuito para determinar a expressão matricial para as três correntes de malha:

O resultado do produto matricial no lado direito pode ser obtido no Maxima, dando uma matriz com uma coluna e 3 linhas. Para usar as componentes dessa matriz nos cálculos seguintes, será conveniente converté-la para uma lista, o qual é feito com o comando list_matrix_entries:

(%i2) i: list_matrix_entries( invert( matrix( [250,0,-100], [0,140,-60], [-100,-60,180])).[-6,6,0]);
(%o2)     

O sinal negativo de indica que é no sentido oposto aos ponteiros do relógio. Tendo em conta os valores e sentidos obtidos para as 3 correntes de malha, conclui-se que as correntes , nos seis ramos do circuito, são nos sentidos que foram indicados no diagrama acima, e os seus valores são os seguintes:

(%i3) I: float ([i[2]-i[1], -i[1], i[3]-i[1], i[3], i[2]-i[3], i[2]]);
(%o3)  [ 0.0669, 0.0234, 0.0249, 0.0015, 0.042, 0.0435 ]

As respetivas resistências nos seis ramos são:

(%i4) R: [0, 150, 100, 20, 60, 80]$

A potência dissipada em calor em cada uma dessas resistências é . A lista das seis potências dissipadas em calor é então:

(%i5) P: R*I^2;
(%o5)   

A potência total dissipada é a soma dessas 6 potências:

(%i6) apply ("+", %);
(%o6)     

que é igual à potência fornecida pela fonte:  W.

Problema 5

No circuito representado no diagrama, os dois condensadores estão inicialmente descarregados. Determine: (a) As correntes iniciais nas resistências e condensadores. (b) As cargas finais nos condensadores, indicando as suas polaridades.

Circuito com 3 malhas com resistências e
             condensadores

Circuito equivalente inicial:

Circuito equivalente inicial no problema 5.5

arbitrando potencial zero no ânodo da f.e.m. de 1.5 V (ver diagrama acima), o ânodo da f.e.m. de 6 V terá esse mesmo potencial nulo, porque está ligada por um curto-circuito ao ânodo da primeira fonte. Os potenciais nos cátodos das duas f.e.m. serão então 1.5 V e 6 V, como foi indicado no diagrama acima. Como tal, na resistência de 150 Ω a diferença de potencial é de 6 V e a corrente é 6/150 = 0.04 A (de esquerda para direita), que é a mesma corrente no condensador de 82 nF (de direita para esquerda). Na resistência de 200 Ω, a diferença de potencial é 1.5 V e a corrente é 1.5/200 = 0.0075 A (de cima para baixo). Pela regra dos nós, a corrente no condensador de 68 nF é então, 0.04−0.0075 = 0.0325 A (de cima para baixo). Na resistência de 1.2 kΩ, a corrente é nula, porque a diferença de potencial é nula.

O circuito equivalente final é:

Circuito equivalente final no problema 5.5

mostram-se novamente os potenciais nos pontos onde podem ser determinados por simples observação do circuito. Note-se que a corrente na resistência de 150 Ω é nula, porque não tem percurso por onde circular.

Para determinar o potencial indicado na figura, calcula-se a corrente nas resistências de 200 Ω e 1.2k Ω, que estão em série: = 1.5/1400 A, e multiplica-se por 1200 Ω, obtendo-se = 1200 (1.5/1400) = 1.286 V. Observa-se então que no condensador de 82 nF a carga é positiva na armadura do lado direito, no condensador de 68 nF a carga é negativa na armadura de cima e os valores das cargas nesses


Problema 6

(a) Determine a intensidade e sentido da corrente no condensador, no instante inicial em que está descarregado. (b) Determine a carga final do condensador, indicando a sua polaridade.

Circuito com 3 malhas com resistências e condensadores

(a) O circuito equivalente no estado inicial, com o condensador em curto-circuito é o seguinte

Circuito equivalente inicial no problema 5.6

Usando o método das malhas, com três correntes de malha no sentido contrário aos ponteiros do relógio, o sistema de equações do circuito é então,

A solução desse sistema é = 0.00824, = 0.00346 e = 0.00369. A corrente através do condensador é , ou seja, 0.00478 A, para cima.

(b) O circuito equivalente no estado final, com o condensador como interruptor aberto, é o seguinte

Circuito equivalente final no problema 5.6

que é equivalente aos seguintes dois circuitos mais simples:

Circuitos equivalentes finais no problema 5.6

No circuito do lado direito, a corrente é igual a

e a voltagem na resistência de 329.4 Ω é:

Como tal, a corrente na resistência de 800 Ω, no circuito do lado esquerdo, é igual a (de esquerda para direita):

E, no circuito inicial, a diferença de potencial entre os dois pontos onde está ligado o condensador é igual a,

O resultado positivo indica que a carga é positiva na armadura de baixo e negativa na armadura de cima. Finalmente, a carga no condensador calcula-se a partir da sua voltagem