Exercícios Resolvidos de Eletricidade, Magnetismo e Circuitos

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Eletricidade, Magnetismo e Circuitos
Exercícios Resolvidos
5. Circuitos de corrente contínua

5. Circuitos de corrente contínua

Problema 1

No circuito da figura, determine quais das fontes de força eletromotriz fornecem ou absorvem energia e calcule a potência fornecida, ou absorvida, por cada uma.

Circuito com duas fontes e duas malhas

Usando unidades de kΩ para as resistências e V para as voltagens, as correntes obtidas estarão em mA. Definem-se duas correntes de malha i 1 e i 2 , que podem ser no sentido dos ponteiros do relógio:

Correntes de malha

Como tal, as equações das malhas são o seguinte sistema:

13 . 3 7 71 2 . 6 i 1 i 2 = 11 5

Multiplicando os dois lados da equação pela inversa da matriz que aparece no lado esquerdo, obtêm-se as correntes de malha:

i 1 i 2 = 13 . 3 7 71 2 . 6 1 11 5

No Maxima o resultado pode obter-se com o seguinte comando:

(%i1) I: invert( matrix ([13.3, -7],[-7, 12.6])).[11, -5];
(%o1)      0 . 87 3 7 0 . 08 8 5 5

Os dois valores positivos obtidos indicam que os sentidos das duas correntes de malha sim é o que foi arbitrado (dos ponterios do relógio). A corrente que passa pela f.e.m. de 6 V é a própria corrente de malha i 1 = 0.8737 mA, que atravessa a fonte de 6 V do elétrodo negativo para o positivo; como tal, essa fonte fornece 6×0.8737 = 5.24 mW.

Na fonte de 5 V, a corrente é de cima para baixo, porque i 1 > i 2 , e tem intensidade i 1 i 2 = 0 . 87 3 7 0 . 08 8 5 5 = 0 . 78 5 1 5 mA. Essa fonte também fornece potência (a corrente atravessa do elétrodo negativo para o positivo) de valor 5×0.78515 = 3.93 mW.


Problema 4

Determine a potência dissipada em cada resistência no circuito e a potência fornecida pela f.e.m. Verifique que a potência fornecida pela f.e.m. é igual à soma das potências dissipadas em todas as resistências.

Circuito com 3 malhas

Há três correntes de malha, i 1 , i 2 e i 3 , que podem ser definidas no sentido dos ponteiros do relógio (unidades SI):

Circuito com 3 malhas

As equações das três malhas são:

25 0 0 10 0 0 1 4 0 60 10 0 60 1 8 0 i 1 i 2 i 3 = 66 0

E a solução desse sistema linear é:

i 1 i 2 i 3 = 25 0 0 10 0 0 1 4 0 60 10 0 60 1 8 0 1 66 0

No Maxima o sistema pode ser resolvido armazenando as 3 correntes de malha numa lista, por meio do seguinte comando:

(%i2) i: list_matrix_entries( invert( matrix( [250,0,-100], [0,140,-60], [-100,-60,180])).[-6,6,0]);
(%o2)      11 7 50 0 0 , 87 20 0 0 , 3 20 0 0

O produto da matriz inversa pela lista das voltagens, que dá uma matriz com as correntes de malha, foi convertida em lista usando a função list_matrix_entries.

Observando o diagrama acima, conclui-se que a lista das correntes no 6 ramos, I 1 I 6 , nos sentidos escolhidos, têm a seguinte relação com as correntes das malhas:

(%i3) I: float ([i[1], i[2], i[3], i[3]-i[1], i[2]-i[3], i[2]-i[1]]);
(%o3)  [ -0.0234, 0.0435, 0.0015, 0.0249, 0.042, 0.0669 ]

O sinal negativo de I 1 indica que é no sentido oposto ao que foi indicado no diagrama. As respetivas resistências nos seis ramos são:

(%i4) R: [150, 80, 20, 100, 60, 0]$

A potência dissipada em calor em cada uma dessas resitências é P i = R i I 2 i . Como tal, a lista das seis potências dissipadas em calor nos seis ramos é:

(%i5) P: R*I^2;
(%o5)   [ 0.08213, 0.1514, 4.5×10-5, 0.062, 0.1058, 0 ]

No ramo 6 não há potência dissipada em calor porque não há resistência. A resistência de 150 Ω dissipa 82.13 mW, a resistência de 80 Ω dissipa 151.4 mW, a resistência de 20 Ω dissipa 45 µW, a resistência de 100 Ω dissipa 62 mW e a resistência de 60 Ω dissipa 105.8 mW.

A potência fornecida pela fonte é 6 I 6 = 0 . 40 1 4 W. Para conferir que é igual à potência total dissipada nas resistências, somam-se as potências dissipadas nos seis ramos, ou seja, somam-se os elementos da lista P no Maxima, que pode ser feito aplicando o operador "+" à lista:

(%i6) apply ("+", P);
(%o6)     0.4014

Problema 5

No circuito representado no diagrama, os dois condensadores estão inicialmente descarregados. Determine: (a) As correntes iniciais nas resistências e condensadores. (b) As cargas finais nos condensadores, indicando as suas polaridades.

Circuito com 3 malhas com resistências e condensadores

(a) No instante inicial, em que os condensadores descarregados atuam como curto-circuitos, o circuito equivalente é o seguinte

Circuito equivalente inicial no problema 5.5

A resistência de 1.2 kΩ não foi representada, porque o equivalente dessa resistência em paralelo com o condensador de 68 nF (curto-circuito com resistência nula) é uma resistência nula (curto-circuito).

Arbitrando potencial nulo no ponto onde o elétrodo negativo da f.e.m. de 1.5 V está em contacto com a resistência de 150 Ω, o elétrodo negativo da f.e.m. de 6 V também terá potencial nulo, porque o potencial em todos os pontos no curto-circuito à direita do circuito é o mesmo. Como tal, o potencial no elétrodo positivo da f.e.m. de 1.5 V será 1.5 V, e o potencial do elétrodo positivo da f.e.m. de 6 V será 6 V, tal como mostra o diagrama acima.

Na resistência de 150 Ω a diferença de potencial é 6 V e a corrente será 6/150 = 0.04 A (de esquerda para direita), que é a mesma corrente no condensador de 82 nF (de direita para esquerda). Na resistência de 200 Ω, a diferença de potencial é 1.5 V e a corrente 1.5/200 = 0.0075 A (de cima para baixo). Pela regra dos nós, a corrente no condensador de 68 nF é então, 0 . 04 0 . 00 7 5 = 0 . 03 2 5 A (de cima para baixo). Na resistência de 1.2 kΩ a corrente é nula, porque a diferença de potencial é nula.

(b) No estado final, quando os condensadores completamente carregados são equivalentes a interruptores abertos, o circuito equivalente é o seguinte

Circuito equivalente final no problema 5.5

Observe-se que a corrente na resistência de 150 Ω é nula, porque não tem percurso por onde circular. Como tal, o potencial nos dois extremos dessa resistência é o mesmo e pode arbitrar-se que é nulo, como mostra o diagrama anterior. O potencial no elétrodo negativo da f.e.m. de 6 V será então igual a 6 V e o potencial no elétrodo positivo da f.e.m. de 1.5 V será igual a 1.5 V.

No ponto comum às resistências de 200 Ω e 1.2 kΩ o valor do potencial, V no diagrama, deverá ser obtido pela lei de Ohm. Essas duas resistências, que estão em série, são equivalentes a uma única resistência de 1400 Ω entre os pontos onde o potencial é 0 e 1.5 V; como tal, a corrente através dessas duas resistências é I = 1 . 5/ 1 4 0 0 A, e o valor de V é:

V = 12 0 0 I = 12 0 0 × 1 . 5 14 0 0 = 1 . 28 6 V

Observa-se então que no condensador de 82 nF a carga é positiva na armadura do lado direito (maior potencial), no condensador de 68 nF a carga é negativa na armadura de cima (menor potencial) e os valores das cargas nesses dois condensadores são os seguintes:

Q 1 = 82 × (1 . 28 6 ( 6) ) = 59 7 n C Q 2 = 68 × 1 . 28 6 = 87 . 4n C

Problema 6

(a) Determine a intensidade e sentido da corrente no condensador, no instante inicial em que está descarregado. (b) Determine a carga final do condensador, indicando a sua polaridade.

Circuito com 3 malhas com resistências e condensadores

(a) O circuito equivalente no estado inicial, com o condensador em curto-circuito, é o seguinte

Circuito equivalente inicial no problema 5.6

Usando o método das malhas, com três correntes de malha no sentido contrário aos ponteiros do relógio, o sistema de equações do circuito é então,

65 0 18 0 47 0 18 0 7 8 0 33 0 47 0 33 0 1 3 6 0 i 1 i 2 i 3 = 30 0

A solução desse sistema é i 1 = 0 . 00 8 2 4 , i 2 = 0 . 00 3 4 6 e i 3 = 0 . 00 3 6 9 . A corrente através do condensador é i 1 i 2 , para cima, ou seja, 0.00478 A, para cima.

(b) O circuito equivalente no estado final, com o condensador como interruptor aberto, é o seguinte

Circuito equivalente final no problema 5.6

Onde as resistências de 470 Ω e 330 Ω estão em série entre C e D, e a resistência equivalente ficará em paralelo com a resistência de 560 Ω, conduzindo aos seguintes circuitos equivalentes mais simples:

Circuitos equivalentes finais no problema 5.6

No circuito do lado direito, a corrente é igual a

I = 3 27 0 + 32 9 . 4 = 0 . 00 5 0 0 5 A

e a voltagem entre os pontos D e C é:

V DC = 32 9 . 4 × 0 . 00 5 0 0 5 = 1 . 64 9 V

No circuito do lado esquerdo, a corrente através da resistência de 800 Ω, (de esquerda para direita) é:

I 80 0 = 1 . 64 9 80 0 = 0 . 00 2 0 6 1 A

Que é a mesma corrente I 47 0 que passa de C para D no circuito original. Nesse circuito original, a diferença de potencial entre os dois pontos onde está ligado o condensador é igual a,

V AB = V AC + V CB = 3 47 0 × 0 . 00 2 0 6 1 = 2 . 03 1 V

O resultado positivo indica que a carga é positiva na armadura de baixo (maior potencial em B do que em A) e negativa na armadura de cima. Finalmente, a carga no condensador calcula-se a partir da sua voltagem

Q = C V = 1 . 2 × 2 . 03 1 = 2 . 43 8 µ C
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