Exercícios Resolvidos de Eletricidade, Magnetismo e Circuitos

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Eletricidade, Magnetismo e Circuitos
Exercícios Resolvidos
2. Voltagem e corrente

2. Voltagem e corrente

Problema 2

Num tubo de raios X são libertados eletrões, inicialmente em repouso, que são logo acelerados no vácuo do tubo por meio de um campo elétrico, atravessando uma região em que a diferença de potencial é de 4 kV. Os eletrões logo colidem com um alvo metálico produzindo radiação X. (a) Determine a energia cinética e a velocidade com que os eletrões colidem com o alvo. (b) Se a variação de potencial se estender por uma distância de 8 dm, determine a intensidade do campo elétrico médio.

(a) A diminuição da energia potencial elétrica do eletrão é

U e =| q V |= 40 0 0 e V

para passar de eletrão-volt para joule, multiplica-se pela carga elementar

(%i1) dU: 4000*1.602e-19;
(%o1)    6.408e-16

Na passagem pelo tubo de vácuo, não existem forças dissipativas sobre os eletrões e, portanto, ao sua energia mecânica permanece constante. A massa do eletrão, 9.109×10-31 kg, implica que para que a variação da sua energia potencial gravítica fosse da ordem da variação da energia potencial elétrica, 6.408×10-16 J, o eletrão teria de cair uma altura da ordem dos 1013 metros; como tal, vamos ignorar a energia potencial gravítica, admitindo que a energia potencial é apenas elétrica.

Por conservação da energia, a diminuição da energia potencial de cada eletrão, U e , será igual ao aumento da sua energia cinética, m v 2 /2 , onde v é a velocidade final (a velocidade inicial é nula). Substituindo o valor da massa do eletrão obtém-se o módulo da velocidade v :

(%i2) float (solve ((1/2)*9.109e-31*v^2 = dU));
(%o2)    [ v = - 3.751e+7, v = 3.751e+7]

Os eletrões colidem no alvo com energia cinética de 6.408× 10-16 J e velocidade de 3.751×107 m/s.

(b) O campo elétrico médio é igual à diferença de potencial, dividida pela distância:

(%i3) E: 4000/8e-1;
(%o3)    5.0e+3

O valor médio do campo é ¯ E = 50 0 0 V/m (V/m é equivalente a N/C).

Comentários: Na época de Newton não eram feitas experiências com velocidades tao elevadas como a deste problema. Hoje em dia, este tipo de experiência é feita diariamente, por exemplo, no consultório de um dentista. A mecânica clássica, baseada nas leis de Newton, é apenas válida quando a velocidade v dos objetos for muito menor do que a velocidade da luz, c = 3×108 m/s. Para determinar se uma velocidade está dentro do domínio em que a mecânica clássica é boa aproximação, calcula-se a função:

γ = 1 1 ( v / c ) 2

Se γ for muito maior do que 1, ou um número imaginário, a mecânica clássica deixa de ser uma boa aproximação e há que usar os resultados mais precisos da mecânica relativista. A velocidade obtida neste problema, 3.751×107 m/s, próxima da velocidade da luz, poe em causa a validade do resultado; no entanto, com essa velocidade obtém-se γ = 1 . 00 8 , que não é muito maior que 1 e, portanto, o valor obtido para a velocidade é aceitável.

A determinação do valor mais preciso de v , usando mecânica relativista, é feito da forma seguite: em vez de usar a expressão clássica da energia cinética, m v 2 /2 , usa-se a expressão relativista:

E = m γ c 2

Observe-se que quando a partícula estiver em repouso ( v = 0 ) ainda terá energia cinética, igual a E 0 = m c 2 . Como na prática conseguem-se medir apenas diferenças de energia, essa energia em repouso só foi descoberta na época de Einstein. A energia em repouso dum eletrão, dividida pela carga elementar para passar para eletrão-volt, é igual a:

E 0 = m c 2 e = 9 . 10 9 × 10 31 × 9 × 10 16 1 . 60 2 × 10 19 = 5 . 11 7 × 10 5 eV

A expressão q V da energia elétrica continúa válida na física relativista. Como tal, a energia cinética final de cada eletrão será a sua energia em repouso mais os 4000 eV fornecidos pelo campo elétrico no tubo. O fator γ dos eletrões que chocam no alvo obtém-se dividindo a energia final pela energia em repouso:

γ = 5 . 11 7 × 10 5 + 40 0 0 5 . 11 7 × 10 5 = 1 . 00 8

Finalmente resolve-se a equação γ 2 = 1/ ( 1 ( v / c ) 2 ) para determinar a velocidade, obtendo-se o valor 3.73×107 m/s. O resultado obtido usando mecânica clássica está correto nos dois primeiros algarismos significativos, mas o terceiro algarismo já tem erro, devido ao efeito relativista.


Problema 3

Uma certa bateria de automóvel tem carga máxima de 250 Ah, que corresponde à carga disponível quando está carregada a 100%. (a) Depois de algum uso, a bateria descarrega até 60% da sua carga máxima. Qual é a carga, em coulombs, com que fica a bateria? (b) A seguir, a bateria liga-se a um carregador de 12 V para a recarregar e observa-se que inicialmente a corrente do carregador tem intensidade de 7 A, mas 6 horas depois diminui a 3 A. Admitindo diminuição linear da corrente em ordem ao tempo, com que percentagem da sua carga máxima fica a bateria no fim das 6 horas?

(a) Após ter descarregado pelo uso, a carga, que é 60% da carga máxima inicial de 250 A·h, que em coulomb é igual a:

(%i4) 0.6*250*3600;
(%o4)    5.4e+5

(b) Como a corrente diminui linearmente, a corrente média durante as 6 horas é a média entre a corrente inicial e final:

¯ I = 7 + 3 2 = 5A

Também podíamos ter encontrado a corrente média da forma seguinte: a equação da reta que que dá 7 A em t = 0 e 3 A em t = 6 (tempo medido em horas) é:

I ( t ) = 7 2 3 t

O valor médio é o integral dessa expressão, de 0 a 6, dividido pelo comprimento do intervalo de integração (6 horas). No Maxima,

(%i5) integrate (7-2*t/3, t, 0, 6)/6;
(%o5)    5

A carga transferida para a bateria durante as 6 horas, é igual à corrente média vezes o tempo: q = (5 A ) × (6 h ) = 30 A·h. Como a bateria descarregada tinha carga de 0.6×250 A·h, a carga final dividida pela inicial será:

(%i6) (0.6*250 + 30)/250;
(%o6)    0.72

Ou seja, a bateria fica com 72% da sua carga inicial.


Problema 7

A corrente num cabo varia de acordo com a função I = 20 + 3 t 2 , onde I mede-se em miliampere e t em segundos. (a) Que carga transporta o cabo desde t = 0 até t = 10 s? (b) Qual o valor da corrente constante que transporta a mesma quantidade de carga no mesmo intervalo de tempo?

(a) A carga transferida é igual ao integral da corrente, em ordem ao tempo, no intervalo de tempo em questão:

(%i7) q: integrate (20 + 3*t^2, t, 0, 10);
(%o7)    1200

As unidades de I eram mA e as unidades de d t segundos. Como tal, o resultado está em mA·s que são mC. A carga transferida é então q = 1 . 2 C.

(b) A corrente média nesse intervalo é q /1 0 , ou seja, seria necessária uma corrente constante de 120 mA para transferir a mesma carga nos mesmos 10 segundos.


Problema 8

Num condutor ligado a uma pilha com f.e.m. de 1.5 V, circulam 9.6×1021 eletrões de condução durante 2 horas. Determine:
(a) A intensidade da corrente média.
(b) A energia fornecida pela pilha durante esse intervalo.
(c) A potência média fornecida pela pilha.
(d) Se a carga inicial da pilha era de 3 A·h, com que carga fica após as 2 horas?

(a) O valor absoluto da carga transferida é o número de eletrões transferidos vezes a carga elementar. A corrente média, em ampere, é a carga transferida, em Coulomb, dividida pelo tempo, em segundos:

(%i8) I: 9.6e21*1.602e-19/7200;
(%o8)    0.2136

A corrente média é 214 mA.

(b) A energia fornecida é igual à carga transferida, vezes a força eletromotriz:

(%i9) U: 9.6e21*1.602e-19*1.5;
(%o9)    2.307e+3

São fornecidos 2307 J.

(c) A potência média fornecida é igual ao produto entre força eletromotriz (constante) e a corrente média (ou, também, energia fornecida dividida pelo intervalo de tempo):

(%i10) P: 1.5*I;
(%o10)    0.3204

A potência fornecida foi de 0.3204 W.

(d) A carga final é igual à carga inicial, menos a carga transferida durante as 2 horas. Em unidades de A·h, a carga transferida é igual à corrente média, em ampere, vezes o intervalo de tempo, em horas:

(%i11) 3 - I*2;
(%o11)    2.573

A pilha fica com 2.573 A·h.

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