Exercícios Resolvidos de Eletricidade, Magnetismo e Circuitos

Índice
Eletricidade, Magnetismo e Circuitos
Exercícios Resolvidos
9. Campo elétrico

9. Indução eletromagnética

Problema 3

O comprimento total entre as pontas das asas de um avião Boeing 747 é 60 m . O avião voa a 800 km/h e com altura constante, na direção sul-norte, numa região onde o campo magnético terrestre faz um ângulo de 60° com a vertical e a sua intensidade é 0.5 G. Calcule a diferença de potencial induzida entre as pontas da asas.

Escolhendo o eixo x na direção de oeste para leste, o eixo y na direção de sul para norte e o eixo z na vertical, de baixo para cima, a velocidade do avião e o campo magnético são (unidades SI):

v = 80 0 3 . 6ˆ B = 5 × 10 5 3 2ˆ + ˆ k 2

O campo elétrico induzido é igual a

E i = v × B = 80 0 × 5 × 10 5 3 . 6ˆ × 3 2ˆ + ˆ k 2 = 5 . 55 6 × 10 3 ˆ ı

O deslocamento infinitesimal ao longo das assas do avião é:

d r = ˆ ı d x

E a f.e.m. induzida nas assas é o integral de linha do campo elétrico induzido, ao longo das assas:

ε i = E i · d r = 60 0 5 . 55 6 × 10 3 (ˆ ı · ˆ ı )d x = 5 . 55 6 × 10 36 0 0 d x = 0 . 33 3 V

Problema 5

A figura mostra uma barra condutora de comprimento d e massa m que desliza sobre dois trilhos metálicos verticais, dentro de um campo magnético B uniforme. A resistência elétrica dos trilhos e da barra são desprezáveis comparadas com R . A barra mantém sempre o contato com os trilhos, permitindo que circule corrente pela resistência R , mas o atrito é desprezável, assim como o efeito da resistência do ar na barra. Quando a barra começa a cair livremente, o seu movimento é inicialmente acelerado mas rapidamente atinge uma velocidade constante v . Calcule o valor dessa velocidade limite v .

Condutor em queda livre dentro de campo magnético

Quando a barra já desceu uma distância y em relação à resistência R , a área da espira retangular formada pela barra, os trilhos e a resistência é A = y d e o fluxo magnético através dela é Ψ = B y d .

A f.e.m. e a corrente induzidas na espira são:

ε i = B d d y d t = B v d I i =| ε i | R = B v d R

A variação do fluxo aponta para lá da folha e, pela lei de Lenz, a corrente induzida passa pela barra de esquerda para direita, dando origem a força magnética para cima, com módulo:

F m = I i B d = B 2 v d 2 R

Inicialmente (no repouso) essa força é nula e a barra desce com a aceleração da gravidade. Enquanto a velocidade v aumenta, a força magnética também aumenta, fazendo diminuir a força resultante. No instante em que a força resultante é nula, a velocidade atinge o valor limite e os módulos da força magnética e do peso são iguais:

m g = B 2 v d 2 R   =   v = m g R B 2 d 2

Problema 7

Uma espira condutora retangular, paralela ao plano O y z , desloca-se com velocidade constante v = 3ˆ (m/s) dentro de uma região onde existe um campo magnético com componentes: B x = (6 y ) (SI) e B y = B z = 0 . Calcule a f.e.m. induzida na espira, em função do tempo t , a partir do instante t = 0 em que a espira se encontra na posição da figura, com um lado ao longo do eixo dos z .

Espira em movimento num campo magnético

A componente do campo perpendicular à espira é (unidades SI):

B · ˆ n = B · ˆ ı = B x = 6 y

A aresta que se encontra no eixo dos z em t = 0 , estará na posição 3 t num instante t , e a outra aresta, paralela ao eixo dos z , estará em 3 t + 0 . 2 . As duas arestas paralelas ao eixo dos y estão sempre nas posições z 0 e z 0 + 0 . 3 .

O fluxo magnético através da espira é então:

Ψ = 3 t + 0 . 2 3 t z 0 + 0 . 3 z 0 (6 y )d z d y = 0 . 35 4 0 . 18 t

E a f.e.m. induzida é igual a

ε i = d Ψ d t = 0 . 18 V

O sinal positivo indica que é no sentido da regra da mão direita em relação ao versor ˆ n usado, ou seja, ˆ ı . Como tal, a f.e.m. induzida produz corrente induzida no sentido da rotação do eixo dos y para o eixo dos z .


Problema 8

No circuito da figura, calcule as correntes iniciais no indutor e no condensador, a corrente final no indutor e a carga final no condensador.

Circuito com indutor e condensador

Os circuitos equivalentes inicial e final são os seguintes:

Circuitos equivalentes inicial e final

No instante inicial, a corrente no indutor é nula e a corrente no condensador é:

I 0 = 5 50 = 0 . 1A

No instante final, a corrente no indutor é:

I = 5 50 + 25 0 0 = 1 . 96 1 m A

A diferença de potencial no condensador é:

V = 25 0 0 I = 4 . 90 2 V

e a carga nele é:

Q = 3 . 6 × 10 6 × 4 . 90 2 = 17 . 65 µ C

Problema 11

No circuito representado no diagrama, a fonte foi ligada no instante t = 0 , quando não havia corrente no indutor. (a) Determine a voltagem na resistência de 3.4 kΩ em t = 0 . (b) Determine o valor da derivada voltagem na resistência de 3.4 kΩ, em t = 0 . (c) Determine a voltagem na resistência de 3.4 kΩ, quando o circuito atingir o estado estacionário.

Circuito com duas malhas e dois indutores

(a) O circuito equivalente em t = 0 é o seguinte:

Problema 9.11, alínea a

Como a corrente na resistência de 3.4 kΩ é nula, a voltagem nela também é igual a zero.

(b) Se V ( t ) e I ( t ) são a voltagem e a intensidade da corrente na resistência de 3.4 kΩ, em função do tempo, a lei de Ohm implica (unidades SI):

˙ V ( t ) = 34 0 0 ˙ I ( t )

E como em qualquer instante a corrente na resistência de 3.4 kΩ é igual à corrente no indutor, usando a relação entre voltagem no indutor, V L ( t ) , e a corrente nele, obtém-se:

˙ I ( t ) = V L ( t ) L = V L ( t ) 0 . 41 2

Em t = 0 , o circuito equivalente da alínea a mostra que a voltagem no indutor é V L (0 ) = 5 V. Como tal, a derivada da voltagem na resistência, em t = 0 , é:

˙ V (0 ) = 34 0 0 5 0 . 41 2 = 41 . 26 k V s

É positiva, porque a corrente no indutor, nula em t = 0 , está a aumentar e, portanto, a corrente e voltagem na resistência também estão a aumentar.

(c) O circuito equivalente em t é o seguinte:

Problema 9.11, alínea c

Ou seja, a voltagem na resistência de 3.4 kΩ é igual a 5 V.

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