Exercícios Resolvidos de Eletricidade, Magnetismo e Circuitos

Índice
Eletricidade, Magnetismo e Circuitos
Exercícios Resolvidos
10. Campo elétrico

10. Processamento de sinais

Problema 3

Uma resistência de 3 kΩ e um condensador de 5 nF estão ligados em série a uma fonte com tensão V e ( t ) = 2 2 t , entre t = 0 e t = 4 , e V e ( t ) = 0 nos outros instantes ( t medido em µs e V e em V). Calcule a corrente no circuito em t > 0 .

Convém primeiro definir o sistema de unidades a usar:

1 = 1 F · Hz = 1k = 1 nF · MH z

Como tal, pode usar-se kΩ para a resistência, nF para a capacidade e a frequência s estará em MHz. A impedância equivalente da resistência em série com o condensador é:

(%i1) z: 3 + 1/(5*s)$

A unidade para o tempo será a inversa da unidade da frequência, ou seja, µs e não é necessário alterar a expressão da tensão. A tensão da fonte, em função do tempo, pode escrever-se da forma seguinte:

V e ( t ) = (2 2 t )( 1 u ( t 4) ) = 2 2 t + u ( t 4) ( 6 + 2( t 4) )

Ou seja, é a sobreposição de uma tensão V 1 = 2 2 t mais outra tensão V 2 = 6 + 2 t deslocada 4 unidades em t . Calculam-se as correntes I 1 e I 2 produzidas por cada uma dessas tensões:

(%i2) V1: 2 - 2*t$
(%i3) i1: ratsimp(laplace (V1,t,s)/z);
(%o3)     10 s 10 15 s 2 + s
(%i4) I1: ilt(i1,s,t);
(%o4)     32 e t 15 3 10
(%i5) V2: 6 + 2*t$
(%i6) i2: ratsimp(laplace(V2,t,s)/z);
(%o6)     30 s + 10 15 s 2 + s
(%i7) I2: ilt(i2,s,t);
(%o7)     10 8e t 15

A corrente (em mA, t em µs) é I 1 ( t ) mais I 2 ( t ) deslocada 4 unidades em t :

I ( t ) = I 1 ( t ) + u ( t 4) I 2 ( t 4) = 32 3e t /1 5 10 + u ( t 4) 10 8e ( t 4) / 1 5

Problema 6

No circuito da figura: (a) Calcule a impedância total, em função de s . (b) Calcule a transformada da corrente que passa pelo indutor. (c) Encontre a função de transferência, se a tensão de saída for medida no condensador. (d) Determine a equação diferencial para a tensão de saída.

Circ RLC com condensador e resitência em paralelo

(a) O condensador e a resistência estão em paralelo e esse sistema está em série com o indutor; como tal, a impedância total é:

(%i8) z: ratsimp (L*s + R/(C*s)/(R + 1/(C*s)));
(%o8)   s 2 C L + 1 R + s L s C R + 1

(b) Representando a transformada de Laplace V e da tensão de entrada com a variável ve, a transformada da corrente total (no indutor) é:

(%i9) i: ve/z;
(%o9)   v e ( s C R + 1) s 2 C L + 1 R + s L

(c) A tensão no condensador é a mesma do que no sistema do condensador em paralelo com a resistência; como tal, a transformada da tensão no condensador é:

(%i10) v: ratsimp (i*R/(C*s)/(R + 1/(C*s)));
(%o10)   v e R s 2 C L + 1 R + s L

e a função de transferência é:

(%i11) h: v/ve;
(%o11)   R s 2 C L + 1 R + s L

(d) O resultado %o10 escreve-se com polinómios, em vez de função racional:

R L C s 2 + L s + R V = R V e

A equação diferencial do sistema é a transformada inversa dessa equação, que por simples inspeção é:

R L C ¨ V + L ˙ V + R V = R V e

Problema 7

O circuito na figura é denominado filtro passa-baixo. Escreva a equação que relaciona o sinal de saída com o sinal de entrada. Encontre a função de transferência do sistema e determine o sinal de saída quando o sinal de entrada é o indicado no lado direito da figura. Explique porque se designa este circuito de filtro passa-baixo.

Filtro passa-baixo sinal quadrado na entrada

A impedância total é a soma das impedâncias da resistência e do condensador e a transformada da tensão de saída é igual à corrente vezes a impedância do condensador:

z = R + 1 C s ˜ I = V e z = C s V e R C s + 1 V = ˜ I C s = V e R C s + 1

Ou seja, a equação diferencial do filtro é:

R C ˙ V + V = V e

E a função de transferência é:

H = 1 R C s + 1

Denomina-se passa-baixo, porque H ( s ) é máxima a baixas frequências ( s 0 ) e nula a altas frequências ( s ).

A expressão do sinal de entrada representado no gráfico, em t 0 é:

V e ( t ) = V 0 (1 u ( t t 0 ) = V 0 V 0 u ( t t 0 )

ou seja, a sobreposição linear de um sinal constante, V 0 , mais o mesmo sinal, multiplicado por 1 e deslocado no tempo em t 0 . Como tal, a resposta do circuito será a resposta ao sinal constante V 0 , menos a mesma resposta deslocada no tempo em t 0 .

A resposta ao sinal constante V 0 encontra-se multiplicando a sua transformada de Laplace pela função de transferência e calculando a transformada inversa de Laplace:

(%i12) v: ratsimp (laplace (V0, t, s)/(R*C*s + 1));
(%o12)   V 0 C R s 2 + s
(%i13) U: ilt (v, s, t);
(%o13) V 0 V 0e t C R

O sinal de saída é então:

V ( t ) = V 0 1 e t C R u ( t t 0 ) 1 e t t 0 C R

Problema 8

No circuito representado no diagrama, a fonte foi ligada no instante t = 0 , quando não havia corrente no indutor. Determine a expressão da voltagem na resistência de 3.4 kΩ, em função do tempo t . Com a expressão obtida, confirme as respostas dadas para o problema 11 no capítulo 9.

Circuito com duas malhas e um indutor

No domínio da frequência s , o circuito é o seguinte (unidades SI):

Problema 9.11, alínea a

O indutor e a resistência de 3.4 kΩ estão em série, podendo ser substituidos por um único dispositivo com impedância 34 0 0 + 0 . 41 2 s . A transformada da corrente nesse dispositivo será:

(%i14) i: ratsimp(5/s/(3400+0.412*s));
(%o14)   12 5 0 10 3 s 2 + 85 0 0 0 0 s

E a transformada da voltagem na resistência de 3.4 kΩ é:

(%i15) v: 3400*i$

A voltagem na resistência, em função do tempo, é a transformada inversa de Laplace:

(%i16) V: ilt(v,s,t);
(%o16)   5 5e 85 0 0 0 0 t 10 3

A voltagem na resistência de 3.4 kΩ, em função do tempo é:

V ( t ) = 5 5e 85 0 0 0 0 10 3 t

Finalmente, os resultados do problema 11 do capítulo 9 confirmam-se da forma seguinte:

(%i17) dV: diff(V,t)$
(%i18) subst(t=0,V);
(%o18)   0
(%i19) float(subst(t=0,dV));
(%o19)   4.126e+4
(%i20) limit(V,t,inf);
(%o20)   5
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