< 2. Fluxo elétrico

2. Fluxo elétrico

Índice
Eletricidade, Magnetismo e Circuitos
  1. Fluxo elétrico
    1. Fluxo elétrico
    2. Lei de Gauss
    3. Condutores em equilíbrio eletrostático
      1. Eletrização por indução
      2. Carga e campo num condutor em equilíbrio
Carl F. Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Gauss é considerado um dos maiores matemáticos da história. Nasceu em 1777 em Brunswick, Alemanha, e desde cedo mostrou grande habilidade para a matemática. São muitas as suas contribuições nos campos da teoria dos números, dos números complexos, da geometria e da álgebra. A sua tese de doutoramento foi a primeira demonstração do teorema fundamental da álgebra. No domínio da astronomia, Gauss interessou-se pelo estudo das órbitas planetárias e pela determinação da forma da Terra, e foi diretor do observatório astronómico da Universidade de Göttingen. Desenvolveu um método para calcular, com grande precisão, os parâmetros de uma órbita planetária a partir de apenas três observações da posição do planeta. A partir de 1831, e em conjunto com o físico Wilhelm Weber, desenvolveu o estudo teórico e experimental do eletromagnetismo. A contribuição de Gauss para a determinação do campo magnético terrestre é reconhecida na unidade de campo magnético que leva o seu nome.

2.1. Fluxo elétrico

No caso das distribuições contínuas de carga com simetria plana, esférica ou cilíndrica, é possível determinar a expressão do campo elétrico aplicando a lei de Gauss. Para enunciar a lei de Gauss vai-se introduzir primeiro o conceito de fluxo elétrico.

No caso particular de uma superfície perpendicular às linhas de campo elétrico e quando o módulo do campo é constante em todos os pontos dessa superfície, define-se o fluxo elétrico igual ao produto do módulo do campo e da área da superfície

(2.1)
Ψ = E A .

A figura 2.1 mostra dois exemplos em que o campo é perpendicular à superfície. Se a superfície é perpendicular às linhas de campo, mas o módulo do campo não é constante em toda a superfície, divide-se a superfície em sub-regiões com área suficientemente pequena para que o módulo do campo possa ser considerado aproximadamente constante em cada sub-região; o fluxo total através da superfície é igual à soma dos fluxos em todas as sub-regiões:

(2.2)
Ψ n i = 1 E i A i .
Superfícies perpendiculares às linhas de campo
Figura 2.1: Superfícies perpendiculares às linhas de campo.

Define-se o fluxo elétrico por analogia com um fluído. No escoamento de um fluído, as linhas de campo são tangentes à velocidade do fluído em cada ponto e o fluxo do campo de velocidades é igual ao volume de fluido que passa através da superfície, por unidade de tempo.

O volume delimitado pelas linhas de campo que passam por uma curva fechada, por exemplo, a fronteira da superfície S1 na figura 2.2, chama-se tubo de fluxo. Se o fluido é incompressível e não existem no tubo pontos onde entra ou sai fluído, então o fluxo é o mesmo em todas as secções transversais do tubo, independentemente da curvatura ou inclinação dessas secções. Na figura 2.2, o fluxo é igual através de S1, S2 e S3.

Tubo de fluxo

Figura 2.2: Tubo de fluxo.

Na equação 2.2, se numa sub-região i as linhas de campo não são perpendiculares à superfície mas estão inclinadas um ângulo θ i em relação ao versor ˆ n i normal à superfície, como mostra a figura 2.3, o fluxo através da área A i é igual ao fluxo através da projeção dessa área no plano perpendicular às linhas de campo, ou seja através da superfície a tracejado na figura 2.3. Isto é devido a que a superfície A i e a superfície a tracejado fazem parte do mesmo tubo de fluxo, formado pelas linhas de campo que passam pela fronteira das duas superfícies.

Fluxo numa superfície não perpendicular ao campo
Figura 2.3: Versor normal ˆ n i a uma superfície e projeção da superfície no plano perpendicular às linhas de campo.

A área da superfície a tracejado é A i co s θ i e, como essa superfície é perpendicular às linhas de campo, pode aplicar-se a expressão 2.1 para calcular o fluxo: Ψ i = E i co s θ i A i . Como tal, o fluxo total numa superfície qualquer que não seja perpendicular às linhas de campo é:

(2.3)
Ψ n i = 1 E i co s θ i A i .

Costuma definir-se o vetor A i , na direção e sentido do versor ˆ n i , normal à superfície, e com módulo igual à área da superfície, A i . Como tal, o produto E i co s θ i A i é igual ao produto escalar E i · A i . A aproximação 2.3 torna-se exata no limite em que as sub-regiões são infinitesimalmente pequenas, o somatório converte-se num integral e E i · A i escreve-se E · d A , em que a plica indica que os vetores são calculados sobre os pontos da superfície, como mostra a figura 2.4.

campo na superfície
Figura 2.4: Campo elétrico e versor normal num ponto de uma superfície.

Concluindo, o fluxo dum campo elétrico E através de uma superfície S é dado pela expressão:

(2.4)
Ψ = S E · d A .

O integral é um integral duplo, porque d A depende das diferenciais dos dois parâmetros que sejam usados para definir a superfície.

Em cada ponto da superfície existem dois sentidos opostos em que é possível definir o vetor d A , normal à superfície, como mostra a figura 2.5. O sentido escolhido determina o sentido do fluxo calculado com o integral. Os fluxos nos dois sentidos opostos são iguais em valor absoluto, mas com diferentes opostos. No caso de uma superfície fechada, é habitual definir o vetor d A apontando para fora da superfície, de maneira que se o fluxo calculado for positivo será para fora da superfície e se for negativo será para dentro dela.

Superfície dividida em segmentos
Figura 2.5: Uma superfície tem dois versores normais; nas superfícies fechadas escolhe-se o versor que aponta para fora.

Para encontrar o valor do integral na equação 2.4, é conveniente usar uma representação paramétrica da superfície S com dois parâmetros u e v :

(2.5)
\mathrm{S} = \{\vec{r}\,'(u', v');\,\,\text{ u e v parâmetros reais}\}\;.

Por exemplo, se a superfície fosse o plano z = 3 x 2 y , uma possível equação paramétrica é: r = x ˆ ı + y ˆ + (3 x 2 y )ˆ k , em função dos parâmetros x e y .

Superfície com domínio no plano xy
Figura 2.6: Superfície com domínio no retângulo S' do plano x y .

Os dois parâmetros reais que definem uma superfície correspondem aos pontos numa região num plano. Por exemplo, na figura 2.6 os dois parâmetros são as próprias variáveis x e y , e os possíveis valores dos parâmetros correspondem ao retângulo S no plano x y . Os aumentos infinitesimais d x e d y , no retângulo S , são projetados sobre a superfície S, formando uma pequena região na superfície S, com área d A . No limite infinitesimal, d A é a área do paralelepípedo formado pelos vetores:

(2.6)
d r x = r x d x , d r y = r y d y ;

sendo a derivada parcial r / x um vetor que determina o aumento da função r , devido a um aumento unitário da variável x . De igual forma, r / y determina o aumento de r devido ao aumento unitário de y . O produto vetorial dos vetores 2.6 é um vetor de direção normal à superfície, ˆ n , e de módulo igual à área do paralelepípedo; assim sendo, d A , é igual ao produto vetorial entre esses dois vetores:

(2.7)
d A = r x × r y d x d y .

A ordem dos dois vetores no produto vetorial 2.7 determina o lado da superfície para onde aponta d A . Na ordem em que foram multiplicados os vetores na equação 2.7, o vetor d A aponta para o lado de cima da superfície. Os parâmetros x e y usados em 2.7 podem ser quaisquer outros dois parâmetros reais.

Exemplo 2.1

Determine o fluxo elétrico através da superfície AC D E , representada na figura, se o campo eléctrico for:
(a) E = C 0 ˆ
(b) E = C 1 si n ( C 2 x )ˆ ı
( C 0 = 3 N/C, C 1 = 20 N/C e C 2 = 5 ~m 1 ).

Faces de um prisma triangular

Resolução. (a) Como o campo é constante e na direção do eixo dos y , o fluxo através de ACDE é igual ao fluxo através de ABFE na direção positiva do eixo y , e calcula-se a partir da equação 2.1

Ψ AB F E = 3 × 0 . 4 × 0 . 3N · m 2 C = 0 . 36 N · m 2 C .

(b) Neste caso não é necessário escrever a equação do plano e usar encontrar os dois deslocamentos infinitesimais 2.6 para determinar a área infinitesimal na superfície. Como o campo depende de x , convém escolher x como um dos parâmetros que definem a superfície. O segundo parâmetro terá de ser z , porque no plano x y vários pontos diferentes do plano ACDE são projetados num único ponto.

O aumento infinitesimal d z do parâmetro z faz deslocar a projeção no plano ACDE no vetor

d r z = ˆ k d z .

Enquanto x aumenta desde F até E, o ponto correspondente no plano desloca-se desde D até E:

(4 0 ˆ ı 30 ˆ )c m .

Como F E = 40 cm, o deslocamento correspondente ao aumento d x é

d r x = ˆ ı 3 4ˆ d x ,

e usando a equação 2.7 obtém-se

d A = ˆ k × ˆ ı 3 4ˆ d x d z = 3 4ˆ ı + ˆ d x d z .

O fluxo através de ACDE é (ignorando, por enquanto, as unidades)

Ψ AC D E = C 10 , 4 00 , 3 0 si n ( C 2 x )ˆ ı · 3 4ˆ ı + ˆ d z d x ;

Como o produto escalar de ˆ ı consigo próprio é 1 e com ˆ é zero:

Ψ AC D E = 9 C 1 40 0 , 4 0 si n ( C 2 x )d x = 9 C 1 40 C 2 (1 co s 0 . 4 C 2 ) = 1 . 27 N · m 2 C .

Observe-se que neste caso as linhas de campo elétrico são perpendiculares ao plano y z , mas os fluxo no retângulo ACDE não é igual ao fluxo no quadrado BCDF. No quadrado BCDF ( x = 0 ) o campo elétrico é nulo e, assim sendo, o fluxo é nulo. As linhas de campo que passam pelo quadrado BCDF e pelo retângulo ACDE não constituem um tubo de fluxo, porque entre esses dois planos devem existir cargas pontuais (fontes do campo).

Exemplo 2.2

Determine o fluxo elétrico através da superfície esférica de raio R (unidades SI) e centro na origem, quando a expressão do campo elétrico for (unidades SI):
(a) E = 2ˆ k
(b) E = 2 z ˆ k

Resolução. Em coordenadas esféricas (ver o apêndice B) o vetor posição dum ponto qualquer na superfície da esfera de raio R e centro na origem é:

r = R ˆ r

onde ˆ r é o versor radial:

(2.8)
ˆ r = si n φ co s θ ˆ ı + si n φ si n θ ˆ + co s φ ˆ k

e os ângulos variam nos intervalos 0 θ < 2 π e 0 φ < π .

Por tratar-se de uma superfície fechada, o vetor diferencial de área define-se apontando para fora da superfície

d A = d r d φ × d r d θ d φ d θ = R 2 ˆ ı ˆ ˆ k co s φ co s θ co s φ si n θ si n φ si n φ si n θ si n φ co s θ 0 d φ d θ = R 2 si n 2 φ co s θ ˆ ı + si n 2 φ si n θ ˆ + si n φ co s φ ˆ k d φ d θ .

Ou seja, o vetor diferencial de área na esfera de raio R é

(2.9)
d A = R 2 si n φ ˆ r d φ d θ .

(a) O fluxo é

Ψ S = S E · d A = 2 R 22 π 0 π 0 si n φ co s φ d φ d θ = 0 .

o resultado nulo indica que o fluxo que entra pela metade da esfera em z < 0 é igual ao fluxo que sai pela outra metade em z > 0 .

(b) Na superfície esférica, a componente z do vetor de posição r é igual a

z = r · ˆ k = R co s φ

como tal, o campo elétrico nessa superfície é igual a 2 R co s φ ˆ k e o fluxo elétrico é

Ψ S = S E · d A = 2 R 32 π 0 π 0 si n φ co s 2 φ d φ d θ = 4 π R 3 co s 3 φ 3 π 0 = 8 π R 3 3

O resultado positivo indica que há fluxo a sair da esfera. Nas duas metades da esfera, em z > 0 e z < 0 , o campo elétrico aponta para fora da esfera.

2.2. Lei de Gauss

O campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas é a sobreposição dos campos produzidos por muitas cargas pontuais. Convém então analisar o fluxo elétrico produzido pelo campo de uma única carga pontual q . Em relação a uma superfície S fechada, a carga q pode estar ou fora ou dentro dessa superfície (figura 2.7).

carga fora ou dentro de uma superfície
Figura 2.7: Carga pontual fora ou dentro de uma superfície fechada.

As linhas de campo da carga pontual q são todas retas. Se a carga estiver fora da superfície S, tal como no lado esquerdo da figura 2.7, esta será atravessada por algumas dessas linhas. Cada uma das linhas que passa através de S passa uma vez de fora para dentro e outra vez de dentro para fora (ou duas ou mais vezes para dentro e o mesmo número de vezes para fora). O resultado é que todo o fluxo elétrico que entra por alguma região de S sai por outra região. Conclui-se que em qualquer superfície fechada, o fluxo elétrico devido a uma carga pontual fora da superfície é sempre nulo.

Se q estiver no interior da superfície S, tal como no lado direito da figura 2.7, será atravessada por todas as linhas de campo. O fluxo total através de S é igual ao fluxo através de uma superfície esférica com centro na carga, porque essa esfera e S estão no mesmo tubo de fluxo (figura 2.8).
fluxo numa superfície fechada
Figura 2.8: Fluxo produzido por uma carga pontual através de uma superfície fechada.

Se o raio da superfície esférica é R , o campo elétrico num ponto qualquer dessa superfície é:

(2.10)
E = k q R 2 ˆ r

e o vetor diferencial de área é o mesmo vetor 2.9 do exemplo 2.2.

O fluxo total através da superfície fechada S é igual ao fluxo na superfície esférica, que é

(2.11)
Ψ S = S E · d A = k q 2 π 0 π 0 si n φ d φ d θ = 4 π k q

Independentemente do tamanho o forma da superfície S, o fluxo total através dela é igual a 4 π k q , se a carga pontual q estiver no interior de S. O fluxo é para fora (positivo), se a carga é positiva, ou para dentro (negativo) se a carga é negativa.

Uma distribuição de carga pode ser dividida em várias cargas pontuais q 1 , q 2 , …, q n , e o fluxo total através de uma superfície fechada S será igual à soma dos n fluxos produzidos por cada uma das cargas pontuais. As cargas que se encontram no exterior de S não produzem fluxo total e cada carga q i que esteja dentro de S produz fluxo 4 π k q i . Assim sendo, o fluxo total através da superfície fechada S é:

(2.12)
S E · d A = 4 π k q in t ,

onde q in t é a carga total no interior da superfície S. Esta equação chama-se lei de Gauss:

O fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é igual ao valor da carga total no interior da superfície, multiplicado por 4 π k .

O lado direito na lei de Gauss também costuma ser escrito q in t / 0 , onde 0 é chamada permitividade do vazio e é igual a

(2.13)
0 = 1 4 π k

A equação 2.11 pode ser usada também para calcular o fluxo produzido por uma carga pontual, através de uma superfície qualquer que não tem de ser fechada; basta substituir os limites dos integrais pelos pelas expressões necessárias para delimitar a superfície S:

(2.14)
Ψ S = k q S si n φ d φ d θ = k q ,

onde é o resultado do integral duplo e é o valor do ângulo sólido, com vértice na carga pontual e delimitado pela superfície S. No caso das superfícies fechadas em torno do vértice, o ângulo sólido tem o seu valor máximo possível, 4 π .

A lei de Gauss é útil para descobrir a carga total dentro de uma região do espaço onde existe campo elétrico. No exemplo 2.2, os valores dos fluxos calculados na superfície esférica de raio R permitem determinar a carga total no interior da esfera. Na alínea (a) conclui-se que a carga no interior da esfera é nula, e na alínea (b) a carga no interior da esfera é:

(2.15)
q in t = Ψ S 4 π k = 2 R 3 3 k

A lei de Gauss é também muito útil para calcular o campo elétrico devido a distribuições simétricas de carga. A método de usar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico consiste em descobrir uma superfície fechada imaginária — superfície gaussiana — que passa pelo ponto onde se quer calcular o campo, de forma a que a componente normal à superfície seja sempre constante ou nula. Se existir superfície gaussiana, o fluxo nessa superfície é dado pela equação 2.1 e substituído na lei de Gauss (equação 2.12), dando o resultado:

(2.16)
E = 4 π k q in t A ,

onde A é a área total da parte da superfície onde o campo não é nulo e tem módulo constante E .

Não obstante, existem superfícies gaussianas apenas quando as linhas de campo elétrico têm simetria plana, esférica ou cilíndrica. A lei de Gauss, juntamente com o princípio de sobreposição, permite também calcular o campo em sistemas que não tenham simetria, mas que possam ser obtidos por sobreposição de sistemas com simetria (ver problema 8).

Em alguns casos, pode obter-se uma expressão aproximada para o campo, substituindo a distribuição de carga por uma distribuição idealizada com alguma simetria. Por exemplo, um fio com carga distribuída uniformemente (figura 2.9) pode ser idealizado por um fio infinito e um plano com carga distribuída uniformemente pode ser idealizado por um plano infinito. A expressão obtida para o fio infinito ou o plano infinito será uma boa aproximação nas regiões próximas do centro do fio ou do plano e se a distância até o fio ou plano for muito menor que o comprimento do fio ou as arestas do plano.

Linhas de campo de um fio retilíneo
Figura 2.9: Linhas de campo de um fio retilíneo com carga distribuída uniformemente.

Os exemplos seguintes mostram sistemas em que as linhas de campo elétrico têm simetria esférica, plana ou cilíndrica, que permitem obter o campo elétrico a partir da equação 2.16.

Exemplo 2.3

Uma esfera maciça de raio R tem carga total Q e carga volúmica constante. Determine o campo elétrico no interior e no exterior da esfera.

Esfera gaussiana

Resolução. A carga volúmica constante implica distribuição uniforme de carga em todas os pontos da esfera e simetria esférica: em cada ponto, dentro ou fora do espaço, a linha de campo elétrico que passa por esse ponto debe ter direção radial, como mostra a figura ao lado. Assim sendo, qualquer esfera concêntrica com a esfera maciça é uma superfície gaussiana, porque em todos os seus pontos o campo é perpendicular e com o mesmo módulo devido à simetria.

O raio r da esfera gaussiana pode ser menor ou maior do que o raio da esfera maciça, R , como nas duas esferas a tracejado na figura. Em diferentes esferas gaussianas o módulo do campo pode ter diferentes valores, ou seja, E depende unicamente de r .

A área da superfície gaussiana é a área da esfera de raio r , igual a 4 π r 2 . Substituindo na equação 2.16, obtém-se

(2.17)
E = k q in t r 2

No exterior da esfera ( r > R ), a carga no interior da superfície gaussiana de raio r é igual à carga total da esfera: q in t = Q ; como tal, o campo elétrico em r > R é

(2.18)
E = k Q r 2
Campo elétrico de uma esfera

No interior da esfera ( r < R ), a carga no interior da esfera gaussiana aumenta proporcionalmente ao volume, ou seja, é diretamente proporcional a r 3 e a constante de proporcionalidade deve conduzir a q in t = Q quando r = R . Assim sendo, a expressão da carga interna para r < R é

q in t = Q r 3 R 3

e a expressão do campo é

(2.19)
E = k Q r R 3

A figura ao lado mostra o gráfico do módulo do campo em função de r .


Exemplo 2.4

Determine a expressão do campo elétrico devido a um plano infinito com carga superficial constante σ .

cilindro gaussiano

Resolução. O campo elétrico deve ser perpendicular ao plano, em sentidos opostos nos dois lados do plano, porque qualquer translação ou rotação do plano não pode alterar a geometria das linhas de campo (simetria plana). Qualquer superfície cilíndrica com tampas paralelas ao plano, a mesma distância em cada lado do plano, é uma superfície gaussiana (figura ao lado)

A carga no interior da superfície gaussiana é σ A , onde A é a área de cada uma das tampas do cilindro, iguais à área da parte do plano atravessada pelo cilindro.

Não existe fluxo nas paredes laterais do cilindro, porque são tangentes às linhas de campo. Como tal, a área da parte da superfície gaussiana onde há fluxo é a soma das áreas das duas tampas, 2 A . Substituindo na equação 2.16, a expressão do campo é

(2.20)
E = 2 π k σ = σ 2 0

Ou seja, o módulo do campo é constante e diretamente proporcional à carga superficial.

Exemplo 2.5

Determine a expressão do campo elétrico de um fio retilíneo infinito com carga linear uniforme λ .

Resolução. O campo elétrico não se deve alterar se o fio roda ou se desloca ao longo do seu eixo. Assim sendo, as linhas de campo devem ser retas perpendiculares ao fio (ver figura) e o módulo do campo é igual nos pontos à mesma distância R do fio (simetria cilíndrica).

Cilindro gaussiano

Qualquer cilindro circular S com eixo no fio, como o que aparece na figura acima, é uma superfície gaussiana. A carga no interior de S é λ L , onde L é a altura do cilindro.

Há fluxo elétrico unicamente na superfície curva do cilindro, que tem área 2 π R L , onde R é o raio do cilindro. Substituindo na equação 2.16, obtém-se a expressão do módulo do campo

(2.21)
E = 2 k λ R ˆ R

onde ˆ R é o versor na direção perpendicular ao fio, afastando-se dele.

2.3. Condutores em equilíbrio eletrostático

Um condutor é um material que tem algumas cargas livres que podem deslocar-se livremente, chamadas cargas de condução. Quando as cargas de condução não se encontram em movimento, diz-se que o condutor está em equilíbrio eletrostático. Para que o condutor esteja em equilíbrio é necessário que o campo elétrico, em qualquer ponto do condutor, seja nulo. Se assim não fosse, as cargas de condução seriam aceleradas pelo campo e o condutor não estaria em equilíbrio.

Considere-se um condutor em equilíbrio eletrostático. Quando se introduz um campo elétrico externo, as cargas de condução são aceleradas na direção do campo, ficando excesso de eletrões num extremo do condutor e excesso de protões no extremo oposto (figura 2.10). Os eletrões e os protões em excesso produzem campo elétrico que, dentro do condutor, é oposto ao campo externo, fazendo com que o campo total no interior diminua. Enquanto existir campo elétrico dentro do condutor, o movimento de cargas continuará e o campo total diminuirá até se tornar nulo. Nesse instante o condutor atinge o equilíbrio eletrostático e o campo em qualquer ponto interno é nulo. Num condutor típico o tempo necessário para atingir o equilíbrio é muito pequeno, da ordem dos 10-19 segundos, como se verá num problema do capítulo 6.

Condutor em equilíbrio eletrostático
Figura 2.10: Efeito de um campo externo num condutor isolado.

2.3.1. Eletrização por indução

O fenómeno de indução de cargas nos extremos de um condutor, dentro de um campo elétrico, pode ser usado para carregar metais (figura 2.11). Por exemplo, se deslocarmos um objeto com carga positiva perto de uma peça metálica isolada, a parte do metal que estiver mais perto do objeto carregado acumulará uma carga negativa, enquanto no lado oposto (mais distante) ficará uma carga positiva da mesma ordem de grandeza. Se nesse momento o extremo mais distante do condutor isolado for ligado a outro condutor sem carga, as cargas positivas passam para o segundo condutor. Desligando os dois condutores, antes de retirar o objeto usado para induzir as cargas, os dois condutores ficam com cargas iguais e de sinais opostos.

Eletrização por indução
Figura 2.11: Procedimento para carregar dois condutores com cargas iguais mas de sinais opostos.

2.3.2. Carga e campo num condutor em equilíbrio

Como já vimos, o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio tem que ser necessariamente nulo. O fluxo elétrico em qualquer superfície fechada no interior do condutor será nulo, pois o campo é nulo em qualquer ponto do condutor. No entanto, a lei de Gauss garante que não existe carga dentro de uma superfície fechada onde o fluxo elétrico seja nulo. Isso implica que não pode existir carga em qualquer ponto interno do condutor. Não considerámos os pontos na superfície do condutor, já que qualquer superfície fechada, que tenha no seu interior pontos da superfície do condutor, sai fora do condutor. Assim, os únicos pontos onde pode existir carga num condutor em equilíbrio eletrostático é na sua superfície; qualquer excesso de carga num condutor isolado deverá estar distribuída sobre a sua superfície (lado esquerdo da figura 2.12).

Carga num condutor isolado
Figura 2.12: Condutor isolado com carga. À esquerda, fluxo em superfícies interna e externa e à direita, linhas de campo.

O campo elétrico dentro do condutor em equilíbrio é zero. Na superfície do condutor, se o campo tivesse uma componente ao longo da superfície, esta aceleraria os eletrões de condução ao longo da superfície, e o condutor não estaria em equilíbrio. A componente do campo elétrico normal à superfície terá uma tendência a "puxar para fora" os eletrões da superfície, ou a atrair eletrões do exterior, mas, como o condutor está isolado, isso será impossível e o condutor permanecerá em equilíbrio. Concluimos assim, que o campo elétrico na superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático é sempre perpendicular à superfície (lado direito da figura 2.12).

Para calcular o campo elétrico na superfície de um condutor em equilíbrio, considere-se um pequeno cilindro de bases paralelas à superfície, como se mostra na figura 2.13. Se o cilindro for suficientemente pequeno, será aproximadamente uma superfície gaussiana.

Só existe fluxo elétrico na base do cilindro no exterior do condutor, e o fluxo total através da superfície gaussiana é

(2.22)
Ψ E A = 4 π k q

onde A é a área da parte da superfície no interior do cilindro, e q é a carga que ela contém. No limite A 0 a equação anterior é exata e

(2.23)
E = 4 π k li m A 0 q A

O limite na equação anterior é igual à carga superficial. Assim, o campo num ponto da superfície do condutor é

(2.24)
E = 4 π k σ ˆ n = σ 0 ˆ n

onde σ é a carga superficial e ˆ n o versor normal para fora do condutor.

Superfície gaussiana na superfície de um condutor
Figura 2.13: Pequena superfície gaussiana na superfície de um condutor isolado.

O campo na superfície do condutor é o dobro do campo de uma superfície plana infinita (ver equação 2.20). Podia pensar-se que, na proximidade da superfície do condutor, uma boa aproximação seria admitir que a superfície é muito extensa, mas como se viu não é assim.

No caso de uma superfície plana infinita, o campo num ponto da superfície é devido só à carga nesse ponto, pois, por simetria, o campo total produzido pelos outros pontos no plano é zero. No condutor fechado, o campo num ponto da superfície é o resultado da sobreposição dos campos produzidos pelo próprio ponto mais o campo produzido pelos restantes pontos da superfície. O campo do próprio ponto deverá ser o mesmo que no caso do plano infinito e, portanto, será igual a 2 π k σ nos dois lados da superfície e em sentidos opostos. O campo que falta para completar o campo total é o campo devido ao resto da superfície. Como o campo total é nulo no interior e igual a 4 π k σ no exterior, o campo produzido pela superfície, sem incluir o ponto P, é igual a 2 π k σ nos dois lados da superfície e com o mesmo sentido.

O campo 2 π k σ produzido pela superfície, sem incluir o ponto P, actua sobre a carga local no ponto P, produzindo uma força para fora da superfície:

(2.25)
d F = 2 π k σ 2 d A

Esta força aponta sempre para fora do condutor, independentemente do sinal da carga superficial σ .

Perguntas

(Para conferir a sua resposta, clique nela.)

  1. Um plano com 2500 cm2 de área tem uma carga total de 20 nC, distribuida uniformemente. O módulo do campo elétrico perto do plano é, aproximadamente:
    • A. 18.1 mN/C
    • B. 4.52 kN/C
    • C. 1.81 N/C
    • D. 45.2 N/C
    • E. 0.452 N/C
  2. Uma esfera condutora de 3 cm de raio, isolada e com carga positiva, produz um campo de módulo 36 µN/nC, num ponto que se encontra a 1 cm da superfície da esfera. Calcule a carga total da esfera.
    • A. 3.6 nC
    • B. 0.4 nC
    • C. 1.6 nC
    • D. 6.4 nC
    • E. 1.2 nC
  3. Num sistema de coordenadas cartesianas ( x , y , z ) (em metros), existe uma carga pontual de 2 nC em (1,0,0), uma carga pontual de -4 nC em (0,2,0) e uma carga pontual de 3 nC em (0,0,4). Calcule o fluxo elétrico (em unidades SI) através de uma esfera de raio 3 m, com centro na origem.
    • A. 36  π
    • B. 72  π
    • C. −72  π
    • D. 108  π
    • E. −144  π
  4. A carga existente numa esfera de raio 1 m está distribuída nesta de uma forma desconhecida. O fluxo do campo elétrico criado pela distribuição através de uma superfície esférica de raio 4 m, concêntrica com a esfera carregada, é de 11.3×104 N·m2/C. Qual é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície esférica de raio 2 m?
    • A. 45.2×104 N·m2/C
    • B. 22.6×104 N·m2/C
    • C. 11.3×104 N·m2/C
    • D. 56.5×103 N·m2/C
    • E. 28.2×103 N·m2/C
  5. Se numa superfície fechada o campo elétrico aponta para dentro da superfície em todos os pontos, o que é que podemos concluir?
    • A. Existe carga positiva dentro da superfície.
    • B. Existe carga negativa dentro da superfície.
    • C. Não existe nenhuma carga dentro da superfície.
    • D. O campo é necessariamente perpendicular à superfície.
    • E. O campo é necessariamente paralelo à superfície.

Problemas

  1. Calcule o fluxo do campo elétrico E = x ˆ ı + y ˆ através da superfície
    S = { z = 2 x + 3 y , 0 x 2 , 1 y 1 }
    (As distâncias são dadas em cm, e o campo em N/C.)
  2. Calcule o fluxo produzido pelo campo elétrico E = C 1 si n ( C 2 x )( 3 ˆ ı + 4ˆ k ) , através do triângulo com vértices nos pontos (0, 0, 0), (2 cm, 0, 0) e (0, 3 cm, 0). Os valores das constantes são C 1 = 20 N/C e C 2 = 5 m-1.
  3. Calcule o fluxo associado a um campo vetorial F = e y (ˆ ı x ˆ ) , através do triângulo com vértices (2, 0, 0), (0, 4, 0) e (0, 0, 3).
  4. Uma partícula pontual com massa igual a 25 g e carga de 50 nC encontra-se pendurada de um fio de 7 cm que está colado a um plano vertical. O plano vertical tem uma carga superficial constante σ = 17 nC/cm2 e pode ser considerado infinito. Calcule o ângulo θ que o fio faz com o plano vertical. Carga pendurada próxima de um plano com carga
  5. O campo elétrico numa dada região do espaço é ( r em cm e E em N/C.)
    E = 5 r r 5
    Determine a carga total dentro de uma esfera de 6 cm de raio e centro na origem.
  6. (a) Se uma bola de sabão for eletrizada o seu diâmetro aumentará, diminuirá ou permanecerá igual?
    (b)Se uma bola de sabão, sem carga, for colocada dentro de um campo elétrico como se altera o seu diâmetro?
  7. Considere o protão como uma pequena esfera sólida de raio 10-15 m, com carga distribuída uniformemente no seu interior. Calcule o campo elétrico na sua superfície e num ponto a 0.5×10-15 m do centro.
  8. A figura representa o corte transversal de um cilindro sólido, muito comprido, de raio a = 6 cm e carga volúmica constante ρ = 25 nC/m 3 , com uma cavidade cilíndrica de raio b = 2 cm. Calcule o campo elétrico no ponto P. Cilindro com uma cavidade Sugestão: para calcular o campo, usando a lei de Gauss, é possível considerar o sistema como a sobreposição de um cilindro maciço, de raio a e centro na origem, com carga volúmica ρ (parte a da figura) e um cilindro, de raio b e centro no ponto (0, 2), com carga volúmica ρ (parte b da figura). Princípio de sobreposição
  9. Calcule o campo elétrico produzido pela distribuição de carga (em unidades SI):
    ρ ( r ) = 0 . 05 r 2 e 3 r 0 r 0 . 10 0 . 1 < r
  10. O átomo de hidrogénio é um sistema quântico, em que o eletrão à volta do núcleo não aparece como uma carga pontual, mas sim como uma distribuição contínua de carga (nuvem eletrónica) com carga volúmica dada pela expressão:
    ρ ( r ) = e π a 30 e 2 r / a 0
    onde r é a distância desde o núcleo, e a carga elementar e a 0 uma constante chamada raio de Bohr, aproximadamente igual a 5.3×10-11 m. Átomo de hidrogénio
    (a) Mostre que a carga total da nuvem eletrónica é igual à carga do eletrão, e .
    (b) Calcule o campo elétrico produzido pela nuvem eletrónica.
    (c) Calcule o campo total do átomo de hidrogénio. (Sugestão: o campo do núcleo é igual ao campo de uma partícula pontual de carga e , na origem.)
  11. Calcule, em unidades SI, a carga total dentro do paralelepípedo representado na figura, sabendo que o campo elétrico no paralelepípedo é E = 24 x ˆ ı (paralelo ao eixo dos x ). Paralelepípedo
  12. Considere uma esfera condutora de raio b , com carga total igual a zero. A esfera tem uma cavidade esférica de raio a centrada no seu interior e no centro dessa cavidade, ou seja no centro da esfera, há uma carga pontual q .
    (a) Use a lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio para calcular o campo elétrico em cada uma das regiões r < a , a < r < b e b < r .
    (b) Trace as linhas de campo elétrico nesta situação.
    (c) Descreva a distribuição de carga na superfície externa da esfera. Como seria alterada essa distribuição de carga se a carga pontual na cavidade fosse deslocada do centro? Tracee as linhas de campo elétrico nesse caso.
  13. Uma esfera de raio a tem carga total q , distribuída de tal forma que a carga volúmica é ρ = A r , onde A é uma constante e r a distância ao centro da esfera.
    (a) Calcule o valor da constante A em função da carga q .
    (b) Calcule o campo elétrico no interior e no exterior da esfera, e faça o gráfico do módulo do campo E em função de r .
  14. A carga volúmica no interior de um cilindro muito comprido de raio b é
    ρ ( r ) = 0 r < a ρ 0 a r b
    onde r é a distância ao eixo do cilindro e ρ 0 é uma constante. Calcule o campo elétrico em qualquer ponto do espaço, em função dos parâmetros ρ 0 , a e b .

Respostas

Perguntas: 1. B. 2. D. 3. C. 4. C. 5. B.

Problemas

  1. 8 N·cm2/C, no sentido negativo do eixo z .

  2. 7.99 N·cm2/C.

  3. (3 / 1 6 ) ( 5 e 4 + 7) , no sentido desde o triângulo até à origem.

  4. 62.99°.

  5. 154 nC.

  6. (a) Aumenta, devido à repulsão eletrostática entre as cargas na superfície.

    (b) O campo induz cargas positivas e negativas na bola; as forças sobre essas cargas deformam a bola, tornando-a num elipsóide com o eixo maior na direção do campo.

  7. 1.44×1021 N/C e 7.21×1020 N/C.

  8. ( 56 . 96 ˆ ı + 1 . 66 ˆ ) N/C.

  9. E ( r ) = 1 . 88 × 10 9 1 e 3 r r 2 , r < 0 . 14 . 89 × 10 8 r 2 , r 0 . 1   ( r em m, E em N/C).

  10. (b) E ( r ) = k e r 2 + k e 2 a 20 + 2 a 0 r + 1 r 2 e 2 r / a 0 .

    (c) E ( r ) = k e 2 a 20 + 2 a 0 r + 1 r 2 e 2 r / a 0 .

  11. 1.146 pC.

  12. (a) E r = k q / r 2 , r < a 0 , a < r < b k q / r 2 , r > b

    (c) σ = q /4 π b 2 , uniforme; a carga superficial aumenta na região mais próxima da carga pontual e diminui na região oposta.

  13. (a) q / π a 4 .

    (b) E r = k q r 2 / a 4 , r < a k q / r 2 , r > a

  14. E ( r ) = 0 , r < a 2 π k ρ 0 ( r 2 a 2 )/ r , a r b 2 π k ρ 0 ( b 2 a 2 )/ r , r > b   (na direção radial).

Topo